江蘇省揚州市2021屆新高考第一次大聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

1、江蘇省揚州市2021屆新高考第一次大聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目 要求的。22.21 .函數(shù)f x x x 1 x 4的圖象可能是（）先判斷函數(shù)y f x的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間0,1上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項【詳解】.222222函數(shù)y f x的定義域為R, f x x x 1 x 4 xx1x4 fx,該函數(shù)為偶函數(shù)，排除 B、D選項；當0 x 1時，f x x2 x2 1 x2 4 0 ,排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性

2、、零點以及函數(shù)值 符號，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題2 .某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖 （例如：2017年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%）,根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A. 2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩D 口罩的產(chǎn)量逐年增加【答案】C【解析】【分析】根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、 B、 D 選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷 C 選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠2017年

3、至 2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至 2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法比較，故A、 B、 D 選項錯誤；由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩，C 選項正確.故選： C.【點睛】本題考查堆積圖的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.3已知不同直線l 、 m 與不同平面、 ，且 l ， m ，則下列說法中正確的是（）A.若/ ，則lmB.若，則lmC.若l ，則D.若，則m【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間中平行關系、垂直關系的相關判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結(jié)果對于A,若/ ,則l,m

4、可能為平行或異面直線，A錯誤;對于 B ，若，則 l , m 可能為平行、相交或異面直線，B 錯誤；對于 C ，若 l ，且 l ，由面面垂直的判定定理可知， C 正確；對于 D ，若，只有當m 垂直于, 的交線時才有m ， D 錯誤 .故選： C .【點睛】本題考查空間中線面關系、面面關系相關命題的辨析，關鍵是熟練掌握空間中的平行關系與垂直關系的相 關命題 .4.已知mR,復數(shù)Zl1 3i , Z2 m 2i ,且4馬為實數(shù)，則m2A. 一3【答案】BB.C. 3D. -3【解析】【分析】把z2 m2i和Zi3i代入ZiZ2再由復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，利用虛部為因為乙Z23i2i m3m

5、 2i為實數(shù)，所以3m0,解得本題考查復數(shù)的概念,考查運算求解能力5.復數(shù)1 2iA. iB. 1 iC.D.試題分析:2i(1 2i)(2 i)(2 i)(2 i)4i 25i ,故選A.【考點】復數(shù)運算加減運算類似于多項式的合并【名師點睛】復數(shù)代數(shù)形式的四則運算的法則是進行復數(shù)運算的理論依據(jù), 同類項，乘法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數(shù)化6.如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中左視圖中三角形為等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是（B.323D.20.53八 64.2C.3作出三視圖所表示幾何體的直觀圖，可

6、得直觀圖為直三棱柱，并且底面為等腰直角三角形，即可求得外接球的半徑，即可得外接球的體積 .【詳解】如圖為幾何體的直觀圖，上下底面為腰長為J2的等腰直角三角形，三棱柱的高為 4,其外接球半徑為r 2亞，所以體積為v 4242 3處巨.33故選：C【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意球心的確定.7.閱讀名著，品味人生，是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).學生李華計劃在高一年級每周星期一至星期五的每天閱讀半個小時中國四大名著：紅樓夢、三國演義、水滸傳及西游記，其中每天閱讀一種，每種至少閱讀一次，則每周不同的閱讀計劃共有()A. 120 種B. 240

7、種C. 480 種D. 600 種【答案】B【解析】【分析】首先將五天進行分組，再對名著進行分配，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得結(jié)果【詳解】將周一至周五分為 4組，每組至少1天，共有:c；c；c210種分組方法;將四大名著安排到 4組中，每組1種名著，共有： A4 24種分配方法;由分步乘法計數(shù)原理可得不同的閱讀計劃共有：10 24 240 種本題正確選項：B【點睛】本題考查排列組合中的分組分配問題，涉及到分步乘法計數(shù)原理的應用，易錯點是忽略分組中涉及到的平 均分組問題8.如圖所示的 數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該 數(shù)字塔”前10層的所有

8、數(shù)字之積最接近lg2 0.3 ()2 22 4 22 H 8 22 16 64 16 2300400500600A. 10B. 10C. 10D. 10【答案】A【解析】【分析】結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布,楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式和對數(shù)恒等式即可求解如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成2910102310231g23001 2 2221 1023 ,所以原數(shù)子塔中刖10層所有數(shù)子之積為 21010 .42 2 221 2 2 72 4 7b 2*2?故選：A【點睛】本題考查與 楊

9、輝三角”有關的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前n項和公式應用，屬于中檔題9.在滿足0 x y 4,Xiyiy的實數(shù)對x,yi(i 1,2,n,)中，使得xX2Xn 1 3xn成立的正整數(shù)n的最大值為()A. 5B. 6C. 7D. 9【答案】A【解析】【分析】y.x ln xiln yln t由題可知：0 xiyi 4,且xj yj可得 ,構(gòu)造函數(shù)h t 0 t 4求導，通過導xiyit函數(shù)求出h t的單調(diào)性，結(jié)合圖像得出tmin 2,即2 xi e得出3xn 3e,從而得出n的最大值.【詳解】因為0 xi y 4, xj yj則 In XiyiIn yxi ,即 yx In 為 為 In

10、y整理得XiIn yi人,，令t為 小，In t t 1t t1 1nti lnt,t2t20,則 0 t0,e上單調(diào)遞增，在e,4上單調(diào)遞減，則因為XiyiXi由題可知:1, In 4時，則 4tmine,所以2 xiyi4,當Xn無限接近e時,滿足條件，所以所以要使得X1x2L Xn 1 3xn3e 8.154故當X1X2X3X4 2時，可有 Xi X2 X3 X48 8.154,5,所以：n最大值為5.故選：A.本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值，以及運用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法，同時考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.10.已知函數(shù)f(X)2xte(t 2)eXx ( t 0),若函數(shù)f(X)

11、在XR上有唯一零點,則t的值為()A. 1B.C. 1 或 0D. 2 或 0求出函數(shù)的導函數(shù)，當t0時，只需f(1ln t) 0 ,即 In t - t0,令 g(t) lnt1 ，-1 ,利用導數(shù)求 t其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)t的值，當0時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷;解：: f (x) te2X (t 2)eX x (t0),_2xxf (x) 2te (t 2)e1xxte 1 2e 1 , 當 t 0 時，由 f (x) 0 得 x則f(x)在,lnt上單調(diào)遞減，在In t,上單調(diào)遞增,所以f ( lnt)是極小值，只需f( lnt) 0,rr1即 lnt - 1 0.令

12、 g(t)1.11lnt - 1 ,則 g (t) - 0 , 函數(shù) g(t)在(0, tt t)上單調(diào)遞增. g(1) 0 , . t 1;當t 0時，f (x)2ex x,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在R上有且只有一個零點，t的值是1或0.故選：Cf (1) 2e 1 0, f ( 2) 2 2e 2 0 ,【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應用，屬于中檔題11.已知拋物線y2 2Px(p 0), F為拋物線的焦點且 MN為過焦點的弦，若|OF| 1, |MN| 8,則VOMN的面積為()A. 2&B. 3五【答案】A【解析】【分析】C. 472D.根

13、據(jù)|OF | 1可知y2 4x,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可【詳解】由題意可知拋物線方程為 y2 4x,設點M x,y1點N x2,y2 ,則由拋物線定義知，MN | |MF | | NF | x1 x2 2,|MN | 8則 x1 x2 6.t 22,2,22由 y4x 得 y4xi ,y24x2 貝Uyy224.又MN為過焦點的弦，所以yy24 ,則| y2 y1| &一y2 2yly2 4后,所以Svomn 21 OF | y2 y 2 21 .故選：A【點睛】本題考查拋物線的方程應用，同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.212.已知數(shù)列 an是公比為2的正項等比

14、數(shù)列，若 am、an滿足2an am 1024an,則m 1 n的最小值為(A. 3B. 5C. 6D. 10【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)哥的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得1 m n 10再根據(jù)此范圍求2m 1 n的最小值.【詳解】Q數(shù)列an是公比為2的正項等比數(shù)列，am、an滿足2an am 1024an,由等比數(shù)列的通項公式得2a12n1 a12m 11024al2n 1 ,即2n2m 12n9，2 2m n 210，可得1 m n 10,且m、n都是正整數(shù)，,2求 m 1 n的最小值即求在1 m n 10,且m、n都是正整數(shù)范圍下求 m 1最小彳1和n的最小值,

15、討論m、n取值.22當m 3且n 1時，m 1n的最小值為 3 11 5.故選：B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)哥的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查數(shù)學運算求解能力和分類討論思想，是中等題.二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13.在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若 2cosA bcosC ccosB a JT3 , ABC 的面積為 3 J3 ,則 A , b c .【答案】-73【解析】【分析】1由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得2cosAsinA sin A,從而求得,1A -cos A -,結(jié)合范圍A 0,即可得到答案22

16、運用余弦定理和三角形面積公式，結(jié)合完全平方公式，即可得到答案【詳解】1由已知及正弦定理可得2cos A sin BcosC sinCcosB sin A,可得： 2cosAsin B C sin A1斛信 2cosAsinA sinA,即 cos A 2Q A 0,A 一32由面積公式可得：3，3 -bcsin A Y3bc,即bc 12 24由余弦定理可得：13 b2 c2 2bccosA1,22即有 13 b c 3bc b c 36解得b c 7【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案14.設數(shù)列an為等差數(shù)列，其前n

17、項和為Sn,已知a a4a799 , a2 a5 a8 93 ,若對任意 n N都有Sn Sk成立，則k的值為【答案】20由已知條件得出關于首項和公差的方程組，解出這兩個量,計算出Sn ,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出Sn的最大值及其對應的 n值，即可得解.設等差數(shù)列an的公差為d ,由a2Sn na1n n 1 d 39n n n所以，當n20時，Sn取得最大值,a,a5a?3al3al40n9d9912d,解得932n 20對任意n N*都有Sn Sk成立，則Sk為數(shù)列Sn的最大值，因此,a1 39d 2400.k 20.故答案為：20.本題考查等差數(shù)列前 n項和最值的計算，一般利用二次函數(shù)的

18、基本性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于中等題.15. (5分)在平面直角坐標系 xOy中，過點(0,2)作傾斜角為135的直線l ,已知直線l與圓x2 y2 2x 0相交于A,B兩點，則弦 AB的長等于 .【答案】.2【解析】【分析】 【詳解】方法一：依題意，知直線l的方程為yx tan1352x 2,代入圓的方程化簡得x23x20，解得 X 1 或 2,從而得 A(1,1),B(2,0)或 A(2,0), B(1,1),則 | AB| 川 2)2 (1 0)2方法二：依題意，知直線l的方程為yx tan1352x 2,代入圓的方程化簡得x23x20，設A(x1，y1)，B(x2, y2),則 X

19、x2 3,xx2 2,故 |AB| J1 ( 1)2(xx2)2 4咯J2 .方法三：將圓的方程配方得(x 1)2 y2 1,其半徑r 1,圓心(1,0)到直線l ：x y 2 0的距離d ?2 212* 則 |AB| 2尸丁 衣.22 一16.雙曲線y x 1的焦點坐標是 ,漸近線方程是 .【答案】(0, ,2) y x【解析】【分析】通過雙曲線的標準方程，求解 c, b,即可得到所求的結(jié)果. a【詳解】由雙曲線y2 x2 1 ,可得a 1 , b 1 ,則c J2,所以雙曲線的焦點坐標是(0,揚,漸近線方程為：y x.故答案為：(0, J2) ； y x.【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單

20、性質(zhì)的應用，考查了運算能力，屬于容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。x 3 t cos17 .在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極點，x軸正y 2 t sin半軸為極軸建立極坐標系，圓 C的極坐標方程為2cos(1)求直線l和圓C的普通方程;(2)已知直線l上一點M (3,2),若直線l與圓C交于不同兩點MAMB的取值范圍.【答案】(1) xsin y cos 2cos 3sin 0, x22x0； (2)2,7114.2MAMB分析：(1)用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程，由公式cos2y可化極坐標方程為直角坐標方程;xt的絕

21、對值表示直線上對應點到M的距(2)把直線l的參數(shù)方程代入曲線 C的直角坐標方程，其中參數(shù)離，因此有MAMBt2 ,直接由韋達定理可得式 0,這樣可得滿足的不等關系,由此可求得1MAMA1MBMB,注意到直線與圓相交，因此判別的取值范圍.3 tcos2 tsinx詳解：(1)直線l的參數(shù)方程為y普通方程為xsin ycos 2cos3sin0,-xx x_將Jxy ,cos 一代入圓C的極坐標方程2cos中,可得圓的普通方程為 x2 y2 2x 0,(2)解：直線l的參數(shù)方程為x 3 tcosc c代入圓的方程為x y 2x 0可得:y 2 tsin2t 4cos 4sin t 7 0(*),4

22、 cos sin -2 7,且由題意t1 t211|ma| |mb t21ma| |mb| Ma| |mb|卜1t2|因為方程(*)有兩個不同的實根，所以4 .-sin cos .7216 cos sin 28 0,即sincos又 sin cos 2sin 一4所以sin cos因為sincos應，所以4sin cos所以2.711MA1MB4.21點睛:(1)參數(shù)方程化為普通方程，一般用消參數(shù)法,而消參法有兩種選擇:是代入法，二是用公式2 coscos(2)極坐標方程與直角坐標方程互化一般利用公式sin ；22y(3)過P(xo, yo)的直線l的參數(shù)方程為xotcosV。tsin(t為參

23、數(shù))中參數(shù)t具有幾何意義：直線上任M對應參數(shù)t,則PM18.已知等差數(shù)列an滿足a3 7a726.(l)求等差數(shù)列 an的通項公式;，、1(2)設 cn ,nanan 1Cn的前n項和Tn .試題分析:(2)由(試題解析:所以(2)所以 an 2n；(2)Tnn6n 9(1)設等差數(shù)列 an滿的首項為a1,公差為d，代入兩等式可解 a1,d。c ,1111) an 2n 1,代入得 cn -一-2 2n 1 2n一,所以通過裂項求和可求得 3Tn。(1)an 3 2因為cncn設等差數(shù)列的公差為d ,則由題意可得2n 1.anan2n 12n 112n 3所以Tn2n 1 2n 3a12al2

24、d10d7 科,解得26 d12n 3n6n 92219.如圖，己知圓1:x2 y r r2(r 0)和雙曲線 2: x2、1(b 0),記i與y軸正半軸、2bx軸負半軸的公共點分別為 A、B,又記i與2在第一、第四象限白公共點分別為 C、D.(1)若r = 2 ,且B恰為2的左焦點，求 2的兩條漸近線的方程；uur uur(2)若r = 2,且AC AD (m, 5),求實數(shù) m的值；(3)若B恰為2的左焦點，求證：在x軸上不存在這樣的點P,使得PA |PC 2.019.【答案】(1) yV2x; (2) m J10 2c J0 2二：(2)見解析.2【解析】【分析】(1)由圓的方程求出 B

25、點坐標，得雙曲線的 c,再計算出b后可得漸近線方程；(2)設C(Xi, y) D(x2,y2),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x后整理，可得 y y2 ,uur uuruuir uuurPC PD (x1 x2,y1 y2 6),由AC AD (m, 5)先求出b,回代后求得C,D坐標，計算 m x1 x2;23 2(3)由已知得b2 -r2 1,設C(x,y1), D(x2,y2),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x后整理，可解42222得y1 ”, V2，求出x2當143 1,從而可得AC 2,由|PA |PC |AC 2,r3rb r可知滿足要求的P點不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為

26、x2(y 1)24,令 y 0得 xJ3 , B( J3,0),即 c J3, . bJc2 a2 JT7收，a1, 漸近線方程為y J2x.(2)由(1)圓方程為 x2 (y 1)2 4, A(0,3),x2 (y 1)2 4設 C(x1,y1)，D(x2,y2),由 2 y2得，(b2 1)y2 2b2y 2b2 0(*),X上T 1yiuuurACuuurAD (% 3)3)(Xi X2，Viy2 6) (m, 5),_ 2b2所以% y2 65,即 f-b2 1方程(*)為2y2 2y 2 0 ,即1 0, y1一巨，代入雙曲線方程得2X2 110 2展4， C,D在第一、四象限，二.

27、 X,10 2 510 2 55m X1 X210 2 510 2 53(3)由題意 A(0,-r),B(r,0) , c23r, b22設 C(xi, yi), D(X2,y2)2X由2X得:0,(12 2b )yrbb20,由b22X12Yl b2所以ACPAy_b2rb2b40,2b2r2b23rAC2,PC4b21，r23 2X1(y12r)AC2X1(空r3、22r)2X14(b23 22 r )42r4b2-2 r4,2r2,當且僅當P,A,C三點共線時，等號成立,x軸上不存在點P，使得PAPC2.019.本題考查求漸近線方程，考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運算，本題對學生

28、的運算求解能力要 求較高，解題時都是直接求出交點坐標.難度較大，屬于困難題.20 .如圖所示，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB = J2 , AF = 1, M是線段EF的中點.aii求證：(1)AMBl平面BDE ;（2）AM，平面BDF.【答案】（1）見解析（2）見解析連結(jié)NE.（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，設ACA BD = N,則 N -2-2,0，E（。,0, i), a(T2, V2, 0),uuu NE =uuu NE =uuuu L AM且NE與AM不共線.NE /AM. NE平面BDE , AM平面AM / 平面BDE.uuuir，AMuuu

29、u(2)由(1)知 am =. D(夜，0, 0),FJ2uur1）， , DF =（0，72，1），uuur uuirAM DF =0，AM，DF.同理 AM BF.又 DFA BF = F,AM，平面BDF.3sin Csin B3sin2 A 4,2 sin Bsin C3sin B21 .己知 MBC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a,b, c.設sin C(1)求tan A的值;（2）若 2sinB3sin C，且 Smbc的值.【答案】（1）互4(2) 273【解析】【分析】（1）由正弦定理將3sin B 3sin Csin Csin B3sin2 Asin B sin C4x/2,

30、轉(zhuǎn)化3b 3cc b即3b23c2 3a2 4/2bc,由余弦定理求得 cos A,再由平方關系得sin A再求解.(2)由 2sinB1 .-bcsin A 2J2 再求解.2 3c3sin C，仔 b 2J2，絡口 S abc 【詳解】(1)由正弦定理，得3b至曳4點, c b bc即3b2 3c2 3a2 4亞c,則 W 鳥 cosA，而 sin2 A2 、 cos A(0,),解得 sin A故 tan Asin AcosA(2)因為、,2sinB3sinC，則 b3c后1-因為 Sabc 2J2,故一bcsin a 2也, 23c2 1,2 3解得c 2.2，故b 6,則 a Jb2

31、 c2 2bccosA J36 8 2 6 2喪 2 20【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式， 考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題22 .已知函數(shù) f(x) aex x2.(1)若曲線f(x)存在與y軸垂直的切線，求a的取值范圍(2)當 a 1 時，證明：f(x1 x (x2.，2一，【答案】(1) a, (2)證明見解析 e【解析】(1) f (x)aex 2x 0在x R上有解，a2x , 、 2x,設g(x) ,求導根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,ee得到答案.3 2x 23 2(2)證明 f (x) 1 x -x ,只需證 e x 1 x y ,記 h(x)ex 1x2 x 1,求導得到函數(shù)2的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明【詳解】(1)由題可得，f (x) aex 2x 0在