數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例1

1、數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】人們?cè)谘芯繑?shù)量的變化時(shí)， 常常會(huì)遇到有確定變化趨勢(shì)的無限變化過程，這種無限變化過程就是極限的概念與思想，極限是人們研究許多問題的工具。以劉微的“割圓術(shù)”為例，圓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，正 n邊形的周長(zhǎng)Pn無限趨近于圓周長(zhǎng) 2ttR。這里的鳥，片/1 只是個(gè)有限多項(xiàng)的數(shù)列，人們可以從這個(gè)有限多項(xiàng) 的數(shù)列來探索無窮數(shù)列 為 弓.與的變化趨勢(shì)。不論n取多么大的整數(shù)，Pn都是相應(yīng)的圓周長(zhǎng)的近似值， 但是我們可以從這些近似值的精確度的無限提高中(限n無限增大)找出圓周長(zhǎng)的精確值 2兀R。隨著n的增加，Pn在變化，這可以認(rèn)為是量變(即只要n是有限數(shù)，Pn都是圓內(nèi)

2、接正多邊形的周長(zhǎng))；但是我們可以從這些量變中來發(fā)現(xiàn)圓周長(zhǎng)。一旦得出 2兀R,就是質(zhì)的變化(即不再是正多邊形的周長(zhǎng))。這種從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的思想就是極限的思想。本章重點(diǎn)內(nèi)容是：(1)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用。(2)研究性課題：楊輝三角。(3)數(shù)列的極限。(4)函數(shù)的極限。(5)極限的四則運(yùn)算。(6)函數(shù)的連續(xù)性。本章難點(diǎn)內(nèi)容是：(1)數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用。(2)極限的概念?！净A(chǔ)知識(shí)導(dǎo)引】1 了解數(shù)學(xué)推理中的常用方法一一數(shù)學(xué)歸納法。2 .理解數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性及用數(shù)學(xué)歸納法來證明與正整數(shù)有關(guān)命題的步驟。3 .掌握數(shù)學(xué)歸納法的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用?！窘滩膬?nèi)容全解】1.歸納

3、法前面我們?cè)趯W(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，通過等差數(shù)列的前幾項(xiàng)滿足的關(guān)系式歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。再如根據(jù)三角形、四邊形、五邊形、六邊形等的內(nèi)角和歸納出凸n邊形內(nèi)角和公式。像這樣由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法。對(duì)于歸納法我們可以從以下兩個(gè)方面來理解。(1)歸納法可以幫助我們從具體事列中發(fā)現(xiàn)事物的一般規(guī)律。(2)根據(jù)考察的對(duì)象是全部還是部分，歸納法又分完全歸納法與不完全歸納法。顯然等差數(shù)列通項(xiàng)公式， 凸n邊形內(nèi)角和公式都是通過不完全歸納法得出的，這些結(jié)論是正確的。 但并不是所有由不完全歸納法得出的結(jié)論都是正確的。這是因?yàn)椴煌耆珰w納只考察了部分情況，結(jié)論不具有普遍性。例如課本P62數(shù)

4、列通項(xiàng)公式2 2an (n 5n 5)就是一個(gè)典型。2.數(shù)學(xué)歸納法在生活與生產(chǎn)實(shí)踐中，像等差數(shù)列通項(xiàng)公式這樣與正整數(shù)有關(guān)的命題很多。由于正整數(shù)有無限多個(gè)，因而不可能對(duì)所有正整數(shù)一一加以驗(yàn)證。 如果只對(duì)部分正整數(shù)加以驗(yàn)證就得出結(jié)論， 所得結(jié)論又不一定正確，要是找到 把所得結(jié)論遞推下去的根據(jù)， 就可以把結(jié)論推廣到所有正整數(shù)。 這就是數(shù)學(xué)歸納法的基本思想： 即先驗(yàn)證使結(jié)論* .有意義的最小正整數(shù)n0,如果當(dāng)n n0時(shí)，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n k(k n0,k N )時(shí)，命題成立(這時(shí)命是否成立不是確定的)，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，那么就可以遞推出對(duì)所有不小于no的正整數(shù) 制+

5、L畸+2,命題都成立。由此可知，用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，要分兩個(gè)步驟，且兩個(gè)步驟缺一不可。第一步遞推的基礎(chǔ)， 缺少第一步，遞推就缺乏正確的基礎(chǔ)，一方面，第一步再簡(jiǎn)單，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，一般沒有必要再多考察幾個(gè)正整數(shù)。第二步是遞推的根據(jù)。僅有這一步而沒有第一步，就失去了遞推的基礎(chǔ)。例如，假設(shè)n=k時(shí)，等式:>4 + 6+=療+內(nèi)成立， 就是|2+4+6 + 2k -興 + M 1 。那 么，=+=8"1尸 *6*1) +1。這就是說，如果n=k時(shí)等式成立，那么n=k+1時(shí)等式也成立。但僅根據(jù)這一步不能得出等式對(duì)于

6、任何nCN*都成立。因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)，上式左邊=2,2右邊 12 1 1 3,左邊w右邊。這說明了缺少第一步這個(gè)基礎(chǔ)，第二步的遞推也就沒有意義了。只有把第一 步的結(jié)論與第二步的結(jié)論結(jié)合在一起，才能得出普遍性結(jié)論。因此，完成一、二兩點(diǎn)后，還要做一個(gè)小結(jié)。在證明傳遞性時(shí)，應(yīng)注意：(1)證n=k+1成立時(shí)，必須用n=k成立的假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。應(yīng)當(dāng)指出，n=k成立是假設(shè)的，這一步是證明傳遞性，正確性由第一步可以保證，有了遞推這一步，聯(lián)系第一步的結(jié)論(命題對(duì)n n0成立)，就可以知道命題對(duì)no 1也成立，進(jìn)而再由第二步可知n (no 1) 1,即n no 2也成立。這樣遞推下去，就可以知道命題對(duì)

7、所有不小于no的正整數(shù)都成立。(2)證n=k+1時(shí)，可先列出n=k+1成立的數(shù)學(xué)式子，作為證明的目標(biāo)?？梢宰鳛闂l件加以運(yùn)用的有n=k成立的假設(shè)，已知的定義、公式、定理等，不能直接將n=k+1代入命題。3.這一節(jié)課本中共安排了五個(gè)例題，例 1例3是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式。其步驟是先證明當(dāng)n no (這里 1)時(shí)等式成立。再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，利用這一條件及已知的定義、公式、定理證明當(dāng)n=k+1時(shí)111 . 3M十十,. 4= 1 -(一)等式也成立。注意 n=k+1時(shí)的等式是待證明的，不能不利用假設(shè)。例如：求證： 22。2、2 。在第2步中這樣證：設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即2 2,那么當(dāng)n=k+

8、111222所以當(dāng)111 k 111 k 1尹 1 (2)k1/(1 2) 1 (2)n=k+1時(shí)，命題也成立。這種方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)檫@個(gè)證明過程中沒有體現(xiàn)遞推的思想。例4是用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題。由于前面我們沒有學(xué)過多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，所以題中介紹了多項(xiàng)式整除的概念。由多項(xiàng)式整除的定義容易得出：對(duì)多項(xiàng)式a, b, c, p,如果a能被c整除，那么pa也能被c整除;2 2k 2 2k如果a, b能被c整除，那么a+b或a-b也能被c整除。在本例證明的第二步中，為了利用歸納假設(shè)，在xx yy2 2k2 2k中添加一項(xiàng)x y ,為了使等式不變，同時(shí)添加一項(xiàng) x y 。例5是用數(shù)學(xué)歸納法證明

9、幾何問題。證明的關(guān)鍵是弄清增加一條直線增加多少個(gè)不同的交點(diǎn)?！倦y題巧解點(diǎn)撥】例1試判斷下面的證明過程是否正確：用數(shù)學(xué)歸納法證明：3+7+11+ (4n-1) =n (2n+1)證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=3,右邊=3,所以當(dāng)n=1時(shí)命題成立。(2)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)命題成立，即 3+7+ - + (4k-1) =k (2k+1)。3 + 7 + - +(4-1)3)三工(七十 1)0 無 <3 + 3)=當(dāng) n=k+1 時(shí)，2(k 1)(2k 3),所n=k+1時(shí)，命題也成立。根據(jù)(1) (2)可知，等式對(duì)一切 nC N*成立。分析看用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題是否正確，關(guān)鍵要看兩個(gè)步驟是

10、否齊全，特別是在第二步證明中歸納假設(shè)是否被應(yīng)用。如果沒有用到歸納假設(shè)，那就不正確。解 以上用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程是錯(cuò)誤的。在證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立時(shí)，沒有用到當(dāng)n=k時(shí)命題成立的歸納假設(shè)，所以不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求。第二步正確的證明方法是：假設(shè) n=k 時(shí)命題成立， 即 3+7+11+ ( 4k-1 ) =k ( 2k+1 ) 成立，則當(dāng) n=k+1 時(shí)， >7 比-1)+=封21t51t+ 3 =,即當(dāng) n=k+1 時(shí)命題也成立。點(diǎn)撥用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟缺一不可，盡管有的與正整數(shù)有關(guān)的命題用其他方法也可以解決，但題目若要求用數(shù)學(xué)歸納法證明，則必須依題目的要求嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸

11、納法的步驟進(jìn)行，否則是不正確的。例2證明5 2)伊+醇=2" T13'”2曾-5,其中nC N*。分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，關(guān)鍵是第二步，要注意當(dāng)n=k+1時(shí)，等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系，或增加了哪些項(xiàng)，或減少了哪些項(xiàng)，問題就容易解決。1證明 （1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1+1=2,右邊 2 1 2,等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立，即.十1）比十+期 2工，1，3（.一!）。則當(dāng)n=k+1時(shí)，（i + 1 +1）（+ 1 + 2） -4 1+ 1 +1 + + 1）=（* + 2）（t+ 3Q- （i + 2）=（無4 1）彼+ 2

12、>-七4© 2儂7=2":3,（24-1”2（2上、1）=戶】1 3（次-1）（系+1）即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。由（1）、（2）可知，對(duì)一切nC N* ,等式成立。點(diǎn)撥 解題過程中，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式的左邊若錯(cuò)寫為（k+1） （k+2）（k+k） （k+k+1 ）,時(shí)導(dǎo)致證明錯(cuò)誤 或無法進(jìn)行。例3平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)。求證：這n個(gè)圓把平2面分成n n 2個(gè)部分。分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當(dāng)n=k+1時(shí)比n=k時(shí)，分點(diǎn)增加了多少，區(qū)域增加了幾塊。本題中第k+1個(gè)圓被原來的k個(gè)圓分成2k條弧，而每一

13、條弧把它所在的部分分成了兩部分，此時(shí)共增加了 2k個(gè)部分，問題就容易得到解決。證明 用（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩部分，12 1 2 2,命題成立。2（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立（nCN*）, k個(gè)圓把平面分成k k 2個(gè)部分。2當(dāng)n=k+1時(shí)，這k+1個(gè)圓中的k個(gè)圓把平面分成k k 2個(gè)部分，第k+1個(gè)圓被前k個(gè)圓分成2k條弧， 每條弧把它所在部分分成了兩個(gè)部分，這時(shí)共增加了2k個(gè)部分，即k+1個(gè)圓把平面分成22（k k 2） 2k （k 1） （k 1） 2個(gè)部分，即命題也成立。由（1）、（2）可知，對(duì)任意 n N*命題都成立。點(diǎn)撥 不能錯(cuò)誤地認(rèn)為第 k+1個(gè)圓被前k個(gè)圓分成k段弧

14、。1 1 1 1+ “ +> 例4若不等式用+ 1司+ 2 n 24對(duì)一切正整數(shù) n都成立，求正整數(shù) a的最大值，并證明你的結(jié)論。分析 這是一個(gè)探索性問題，先用歸納法探求a的最大值，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切的正整數(shù)n,不等式成立。111a解當(dāng) n=1 時(shí)，1 1 1 2 3 124 ,26_a_即2424,/.a<26,又aCN, .取a=25,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：111 、25理十I題十23庫十124。(1)當(dāng)n=1時(shí)，已證。I 11 、 25(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，# +1上+ 23上+ 124成立。1 1 1 1 1十十 * 十十十則當(dāng)n=k+1時(shí)，有 伏十1)十1 /+

15、1)十2311 3上十2 3t + 313(k 1) 11111111, 251 ( + 4-4) + (+-)+七十1七十2*+13此+ 2 3比+3 3t + 4七十124 3比十2123k 4 3(k 1),1122-0. 3k 2 3k 4 3(k 1)3(k 1)(3k 2)(3k 4),1 11 v 25+ 一 +> .后+1)+1 0t+D + 2 式七十9+124也成立。I 111 、 25由(1)、( 2)可知，對(duì)一切n C N* ,都有不等式正十1內(nèi)十2%+124成立。，a的最大值為25。點(diǎn)撥 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，推導(dǎo) n=k+1時(shí)不等式也成立，可以適當(dāng)運(yùn)用比較法

16、、分析法、放縮法等, 但前提必須是在假設(shè)的基礎(chǔ)上使用?！菊n本習(xí)題解答】練習(xí)(P64頁)1 + 2 + 3 + -+由=工無(七 +1)1 .在第二步中，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是2，那么，.C C 1 1_11十2個(gè)3十,十k十(無+1) = 一七(七十1)十&+1)(k1)(k 2)(k1)(k 1) 122這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。2 .在第二步中，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式 1+2 + 20,一+21 + 2£（2-1）十2'23 -1 o這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。3.在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等

17、式也成立。練習(xí)（P66頁）1.在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是F + 23 + 33 十一十上3 + 冊(cè)：+ D）= 十 1） A=-+ 1V + * T）=工 g T尸體4 2尸444這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。2.在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是I3 +3a +5a 十一+ Q無一1/ 十2g+ 1） -I3=1（4 -1） + （2i+lJa=；（2斤+1）（笈3十5丈十3）=g（2巾+ D伏 41）（2比 4 3）=；的+1）（4/十g4十為2 + 1）於 + 1 尸-1成立，就是1 十 2+2二十+ 2b】=2'-1。那么，k 1/ k 1、

18、kak aq ,刃么，ak 1 ak q (aq ) q aqF+2彳十堂十十工優(yōu)十1產(chǎn)4。那么,3十伏十1成I2 +33+寧+十('-1)J = 1削4M -1)3。那么這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。3.在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是lx2+2x3+3x + .-+t（t+1J m上（無 + 1）（七十 2）1X2 + 2X3 + 3x4 +-+>+) + (> +1)(+ 2)-+ S)(k + 2) + © 十 1)伏十 2)Jg+l)g + 2)(卜 35=；儂+譏(上.1) + 1(史+1)+2

19、這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。練習(xí)(P67頁)1 .不妨設(shè)兩個(gè)正整數(shù)是 n, n+1(n C N*)。(1)當(dāng) n=1 時(shí)，n(n+1)=1 x (1+1)=2 能被 2 整除。(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，就是 k(k+1)能被2整除。那么，(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)也能被2整除，這就是說，當(dāng) n=k+1時(shí)，命題也成立。因此對(duì)任何正整數(shù), 命題都成立。k k2 .在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，命題成立，就是 x y能被x-y整除。那么，k 1 k 1kkkkkk . k k . k .x y x x y y x x x y x y y y x(x y ) y

20、(x y)k 1 k 1由此可知x y 也能被x-y整除，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。3 .在第二步中，假設(shè)當(dāng)n=k(k>2)時(shí)，命題成立，就是平面內(nèi)有k(k>2)個(gè)點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所成的線段的條數(shù)11f(k)-k(k 1)-k(k 1)2，那么當(dāng)平面內(nèi)有k+1個(gè)點(diǎn)時(shí)，其中k個(gè)點(diǎn)，連接兩點(diǎn)所成的線段的條數(shù)為2，第k+1個(gè)點(diǎn)與上述k個(gè)點(diǎn)連接得到k條線段，因此.111f (k1)f (k)k-k(k1) k-k(k1)-(k 1)k 1) 1222這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。4. (1)三角形的內(nèi)角和為 180° ,所以當(dāng) n=3 時(shí)，f(3)=180° ;

21、另一方面(n-2) X180° =(3-2) X 180° =180°。 因此，當(dāng) n=3 時(shí)，f(n)=(n-2) X 180° 成立。(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>3)時(shí)，命題成立，就是 f(k)=(k-2) x 180。如果 4 4, &，Au是凸k+1邊形的頂 點(diǎn)，連接A1Ak,它把凸(k+1)邊形分成凸k邊形''Be與三角形A1AkAk 1 ,因此凸(k+1)邊形的內(nèi)角和 等于分成的兩個(gè)圖形的內(nèi)角的和，就是 (k-2) X180° +180° =(k-1) X180° =(k+1)-2 x

22、180° =f(k+1)。根據(jù)（1）和（2）可知，命題對(duì)所有不小于 3的正整數(shù)都成立。習(xí)題2. 1 (P67頁)1. （1）在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是2十4+6十# 2Q 上工十氐。那么244:64 + 2尢4 2（比41）=上2 4上）+ 2（七+1）=a *3k，2 = （k* 4 2上.1）*（左41）=（七:1尸這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。（2）在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是2+2x3+24 + + 2*3口3-1 ,那么,2十2/3十2乂 + - + 2笈3k1十2元3氏 =（3此1）+2黑3反=+3氏1= 3-1這就是說，當(dāng)n=k

23、+1時(shí)，等式也成立。Sn同業(yè)"2.先用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式2（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊 S ,右邊 a1,此時(shí)等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是Skka1Sk 1 Sk ak 1ka1k(k 1)da1 kd（k 1）a1數(shù)都成立。k（k 1）d2 o這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何正整再用數(shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sna1(11(q1)o（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊 S ,右邊a1o此時(shí)等式成立。a1（1 qk）Sk（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是1 q 。那么,、 ga1（1 qk） k a1（1 qk 1）k

24、1 Sk ak 1 a1q 1 q1 q 。這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。根據(jù)(1)和(2)可知，等式對(duì)任何正整數(shù)都成立。3. (1)在第二步中，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是-1 + 3-5+ (-1/(%-1) , (-1)“無。那么,-1+3-5 + + (T) “加-1) + ( 1)m2 伏 + 1)-1 二(-1)7十(-1廣、2比十1) -7產(chǎn)七_(dá)4+ 2比+1) =(-1 產(chǎn)(Ml)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。(2)在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，等式成立，就是1寸_1_十_+1_ = Jr而.而十十證而一而7。那么而 4.+ (2上=)(法:1) + (24+

25、 )(2/+印一 為' 1_反次+習(xí))1+ 1 (2方十 1乂2七十 3? 一 (2七十 1)(2,十 3)_ (2# + 1)2+1)QC+62七十3)k 12(k 1) 1這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。 口 3 口4.在第二步中，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，就是(即*3+*縱)=的+勺十端+2g死+%十十唳產(chǎn))那么(由(4十%十 H- ay+2(為十%十十/)十吃i這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。5. (1)在第二步中，假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí),2k 1命題成立，就是 x2k 1y 能被x+y整除，那么2(k 1) 12(k 1) 1x y2 2k 1X X2 / 2k 1X

26、(x2X2ky2k 1X2k 1y x1、 2k 1)y2k 1y2k 1y/ 22(X y )2 2k 1y y2(k 1) 12(k 1) 1由此可知，xy 也能被x+y整除。這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。(2)在第二步中，假設(shè)當(dāng).3n=k時(shí)，命題成立，就是 k 5k能被6整除。那么33 _ 2_(k 1)35(k 1) k3 3k2 3k 15k 532(k5k) 3k3k 632(k5k) 3(kk 2)3因?yàn)閗 5k能被6整除，而k(k+1)必為偶數(shù)，于是3k(k+1)+2也能被6整除。由此可知， ,33(k 5k) 3k(k 1) 2也能被6整除，即(k 1)5(k9能被6

27、整除。這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。4k 2 2k 1 .(3)在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，命題成立，就是 35 能被14整除。那么，4(k 1) 22(k 1) 1 4k 6 2k 33535_4_4k 2_4 2k 1_4 2k 12 2k 13 33 53 55 534(34k 252k 1) 56 52k 1由此可知，34(k 1) 2 52(k 1) 1也能被14整除。這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。 2k 1 k 2(4)在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，命題成立，就是 42k 1 3k 2能被13整除，那么，42(k 1) 13(k 1) 242k33k 3,2 ,2

28、k1,2ck2,2ck24 44 34 32k 1 k 2k 216(43 ) 13 3.,2(k 1) 1由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，43(k1)2也能被13整除。這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。6. (1)因?yàn)樗倪呅斡袃蓷l對(duì)角線，所以當(dāng) 時(shí)命題成立。1 n(n 3) n=4 時(shí)，f(4)=2 ；另一方面 21a4 (4 3) 2。此,八、1,八L ,r, f (k)二k(k 3)4 A A A,一 A r(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>4)時(shí)，2成立，當(dāng)凸k邊形斗與之 口*增加一個(gè)頂點(diǎn) Ak 1成為凸(k+1)邊形時(shí)，由頂點(diǎn) 八卜1與另外6-2)個(gè)頂點(diǎn)4,53-,，41,可構(gòu)成(k-2)

29、條對(duì)角線，同時(shí)原來的一條邊 AAk變成 一條對(duì)角線，這樣一共增加了 (k-1)條對(duì)角線，所以凸(k+1)邊形的對(duì)角線條數(shù)為rr1f(k 1) f(k) (k 1) 5 k(k 3) (k 1)1212(k2 k 2) -(k 1)(k 2)12* 1)(k 1) 3這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。根據(jù)(1)、(2)可知，命題對(duì)任何不小于4的正整數(shù)都成立。7.在第二步中，假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)，命題成立，就是當(dāng)平面內(nèi)有k+1個(gè)圓時(shí)，任取其中的一個(gè)圓，記為 2.數(shù)f(k) k k。因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，所以圓每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，所以上面的2k個(gè)交點(diǎn)兩兩不同,面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是f (k 1) f

30、(k) 2k (k2 k) 2kk2 k (k2 2k 1) (k 1)(k 1)2 (k 1)這說是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立。f(k) k2 koP。由上述歸納假設(shè)，除圓 P以外的其他k個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)P與其他k個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)(有 2k個(gè)交點(diǎn))；又因?yàn)?且與平面內(nèi)其他的kk個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而平【同步達(dá)綱練習(xí)】、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明 )A. 1 B. 1+a1 _臚+三1 +也*4'+中口"” =(理w 出工1)】一0,在驗(yàn)證n=1命題成立時(shí)，其左邊等223C. 1a a d. 1 a a as®'十，十_L十，-32.設(shè) 總用+ 1再十2

31、融十3 N，則()11工SS(2)A. S(n)共有n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，2 3。-S SS S(2)B . S(n)共有n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，1112 3 4。2C. S(n)共有 n工 s 2S(2)n項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，11123 4。D. S(n)共有 n2 n 1 項(xiàng)，當(dāng) n=2 時(shí)，"2)1112 3 4 o3.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)應(yīng)寫成()n為正奇數(shù)時(shí),n nx y能被x+y整除”時(shí)，在驗(yàn)證 n=1正確后，歸納假設(shè)kA .假設(shè) n=k(k C N*)時(shí)，xky能被x+y整除。2k 1B .假設(shè) n=k(k C N*)時(shí)，x2k 1y 能被x+y整除。C.假設(shè)n=2k+1(k

32、 C N*)時(shí),2k 1 x2k 1y 能被x+y整除。D.假設(shè)2k 1n=2k-1(k C N*)時(shí)，x2k 1y 能被x+y整除。4 .在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()A. n=1成立B . n=2成立 C. n=3成立 D. n=4成立1 + + + + " < 雙N 曰>1)5 .用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 32浮-1時(shí)，第一步應(yīng)證下述哪個(gè)不等式成立 ()A. 1<21B.21 1 1C.231 D.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明 時(shí)應(yīng)增添的項(xiàng)是()11111, -4 + + (年正酒)2n- % 片+ 1 舞+ 2 2n時(shí)，從n=k到n=k+11A.

33、 2k 1111B. 2k 2 2k 4 c. 2k 211D. 2k 1 2k 2二、填空題1f W) = + - + (we 囚*)7 .設(shè)月十1犀十22«,那么f(n+1)-f(n)=8 .設(shè)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則f(k+1)=f(k)+ 。9.數(shù)列an中，al 1 ,且Sn , Sn 1 , 2§成等差數(shù)列，則S2, S3 , S4依次等于 ，由此猜想Sn -10 .共有n級(jí)樓梯，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)，走完這n級(jí)樓梯共有f(n)種不同的走法，則f(n), f(n-1), f(n-2)之間的關(guān)系式是三、解答題設(shè)Sn為其前n項(xiàng)和，計(jì)算S1 , S2 , S3

34、, S4 的值,12 .在數(shù)列an中，ai 1Sn是它們的前n項(xiàng)和，若當(dāng)n> 2 時(shí)，an , Sn , Sn12成等比數(shù)列，求a2,0-18 211,已知數(shù)列1 3 3 R推測(cè)出Sn,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。a3, a4的值，由此猜想an的通項(xiàng)公式，并證明所得的結(jié)論。13.已知數(shù)列an滿足ai12 ,且前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn2n an,求m的通項(xiàng)公式，并加以證明。14.是否存在常數(shù)a, b,_ 2_21 22 3c使得等式n(n1)2n(n 1)12(an2 bn c)對(duì)一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1. D2. D 3. D 4. C5. C 6

35、. D二、填空題1 17. 2n 1 2n 2。8. 180° 。37152n 19. 2 , 4 , 8 , 2n 1。10. f(n)=f(n-1)+f(n-2)。2121三、解答題SiS22425 ,S34849 ,S48081,由此猜測(cè)-2(2n 1)1/c9 八2(2n 1)。證明如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),S332 13289,等式成立。(2)假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即Sk2(2k 1)2(2k1)n=k+1Sk1Sk ak 1_2(2k 1)(2k 1)2(2k 1)2_ 21(2k 3)8(k1)(2k 1)2(2k 3)2一一2 一8(k 1)(2k 1) (2k3)2一 - 2 一(2k 3)8(k 1)所以一2 一 4 2(2