求三角函數(shù)最值的八種方法歸納總結(jié)學生版

1、求三角函數(shù)最值的八種方法歸納總結(jié)三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)中的高頻考點之一，考查知識點多，綜合性強，靈活性也比較大。三角函數(shù)最值問題不僅僅用到了其函數(shù)圖像與性質(zhì)，還用到三角恒等變換；并且常常會涉及到二次函數(shù)、不等式、方程、向量等等。下面就介紹?？碱}型的解題方法。題型一、利用三角函數(shù)有界性轉(zhuǎn)化成 y asinx b或y acosx b形式例1.求函數(shù)y 2cosx 1的值域.變式訓練 求函數(shù) y sin x cosx,x , 的值域.64 3小結(jié)：必須注意字母 a的符號和自變量x的范圍對最值的影響題型二、y asinx bcosx形式此類型的函數(shù)形式要通過輔助角公式化為y Va2 b2 sin

2、 x ，利用函數(shù)sin x1即可求解。例2.求函數(shù)f x 2cosx sin x的最大值為變式訓練 求函數(shù)f x cos4 x 2sin xcosx sin4 x在0,一 上的最值. 2題型三、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)若函數(shù)表達式中的正弦或者余弦函數(shù)次數(shù)最高為2時，一般就需要通過換元法或者配方法化成二次函數(shù)的最值問題來處理.即y a sin2 x b sin x c型，一般來說可令t sinx,t 1,1 ,化為閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題。例3.求函數(shù)y sin2 x 3cosx 3的最小值.變式訓練 已知向量m sinA,cosA,nJ3, 1 , m n 1,且A為銳角.(1)求角A的大?。?2)求函

3、數(shù) f x cos2x 4 cos Asin x x R 的值域.題型四、引入?yún)?shù)轉(zhuǎn)化(換元法).2sin x cosx 1對于表達式中同時含有 sin x cosx,與sin xcosx的函數(shù)，可以利用2sin xcosx建立sinx cosx與sin xcosx之間的關(guān)系式， 通過換元將換函數(shù)轉(zhuǎn)化,但要注意前后定義域的關(guān)系例4.求函數(shù)y sin xcosx sinxcosx的最大值2變式訓練 已知sinx sin y ,求cosx cosy的值域. 2題型五、基本不等式法在運用均值不等式時，必須注意函數(shù)式中各項的正負，需要各項滿足正值時方可使用,在解題時應(yīng)加以論述說明；此外，還要注意不等式

4、中等號成立的條件，需要合理的拆添項, 湊系數(shù)，及其不等式中和的最值與積的最值例5.已知X 0,sinxsinx的最小值.變式訓練若x 0,，求y,. x , 一 八1 cosx sin一的最大值.2題型六、 利用導數(shù)求單調(diào)性例6.已知函數(shù)f x 2 sin x sin 2x ,求f x的最小值.變式訓練 求函數(shù)y 1 sinx 3 s1nx的最值. 2 sin x題型七、轉(zhuǎn)化成分式型a sinx b -D y （或 ycsin x d可得到最值.a cosx b 一. .,）型，反解出sinx或cosxccosx d,在利用其有界性,e a sinx b j a sinx by y （或y ）型，可化為 sin xccosx dccosx dg y去處理.例7.求函數(shù)y2 cosx2 cos x 11 一的值域.sinx 1變式訓練：求函數(shù) y 的最大值和最小值cosx 2題型八、數(shù)形結(jié)合.一 一 22由于sin x cos x 1