質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)定律

1、質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)定律寧國(guó)強(qiáng)摘 要本文根據(jù)慣性系中質(zhì)點(diǎn)組的牛頓第二定律在非慣性系中的推廣形式導(dǎo)出了在質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)定理和守恒定律，并以此為基礎(chǔ)討論碰撞與散射現(xiàn)象；最后通過例子說明，在處理某些力學(xué)問題時(shí)，利用質(zhì)心坐標(biāo)系往往可使質(zhì)點(diǎn)組問題的處理大大簡(jiǎn)化。關(guān)鍵詞質(zhì)心系；動(dòng)量定理；動(dòng)量矩定理；動(dòng)能定理；碰撞；散射1. 引言眾所周知，牛頓運(yùn)動(dòng)定律是在慣性系中低速情況下才成立的規(guī)律。所以，以牛頓運(yùn)動(dòng)定律為基礎(chǔ)而推導(dǎo)出來的一些運(yùn)動(dòng)定律當(dāng)然也都只能在慣性系中才成立14。在研究和解決力學(xué)問題時(shí)通常選用慣性參考系，但在許多情況下選用非慣性參考系可能會(huì)使問題簡(jiǎn)單化58。在非慣性系中引入慣性力以后，牛頓運(yùn)動(dòng)定

2、律可以沿用，但其推導(dǎo)出的運(yùn)動(dòng)定律是否可以沿用呢？如果可以沿用，其表達(dá)式又如何呢？本文將導(dǎo)出質(zhì)心坐標(biāo)系（質(zhì)心坐標(biāo)系既可以是慣性系，也可以是非慣性系）中質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)定律，并以此為基礎(chǔ)討論質(zhì)心坐標(biāo)系中的碰撞與散射現(xiàn)象。2. 質(zhì)心參考系以質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與靜止慣性參考系平行，這種參考系稱為質(zhì)心參考系或質(zhì)心系。根據(jù)質(zhì)心和質(zhì)心參考系的定義，可以知道質(zhì)心參考系的特征。由質(zhì)心定義可知，在質(zhì)心參考系中，質(zhì)心的位置矢量為. （2-1）將對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得. (2-2)由上式知 . (2-3)公式（23）說明了質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的總動(dòng)量為零，這個(gè)結(jié)論是質(zhì)心參考系定義的直接結(jié)果，與質(zhì)點(diǎn)組整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)無關(guān)系，它

3、反映出了質(zhì)心參考系的特征。因此，我們稱質(zhì)心參考系為零動(dòng)量參考系。正是由于有了這一特征，才能使得質(zhì)心參考系成為討論質(zhì)點(diǎn)組運(yùn)動(dòng)的重要參考系911。質(zhì)心參考系既可以是慣性系，也可以是非慣性系。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 可知，我們所研究的系統(tǒng)，如果所受的合外力為零，則質(zhì)心C在靜止慣性參考系中以恒定速度作慣性運(yùn)動(dòng)，此時(shí)質(zhì)心參考系也是慣性參考系。如果所受合外力不為零，則質(zhì)心相對(duì)于靜止慣性系作加速運(yùn)動(dòng)，這樣，質(zhì)心參考系就不再是慣性參考系，而是非慣性參考系。3. 質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)定律3.1 質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律若在非慣性系中引入慣性力，則可以導(dǎo)出適用于非慣性系的動(dòng)量定理，推導(dǎo)如下：設(shè)有一質(zhì)心系(以

4、下簡(jiǎn)稱系)相對(duì)另一慣性系（以下簡(jiǎn)稱系）作加速運(yùn)動(dòng)，系原點(diǎn)在系中的加速度用表示，現(xiàn)有個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)系作加速運(yùn)動(dòng)，表示各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)系原點(diǎn)的位矢，表示各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于系運(yùn)動(dòng)的速度。相對(duì)于系，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為， （3-1）式中分別為作用于第個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力、相互作用內(nèi)力、慣性力。將式（3-1）兩端對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)求和，可得， （3-2）式中為質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)量，是由非慣性系引起的第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的慣性力。注意到對(duì)質(zhì)點(diǎn)系來說，有，式（3-2）就成為， （3-3）式中，M為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。由慣性系中的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有，因此，（3-3）式可進(jìn)一步寫為. （3-4）于是. （3-5）這樣，我們就得到一個(gè)

5、重要而又簡(jiǎn)單的結(jié)論：在質(zhì)心參照系中，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量任何情況下都恒等于零?。?-3）式與（3-5）式是相同的，前者由質(zhì)心的定義直接得出，后者由牛頓第二定律導(dǎo)出。由（3-5）式的導(dǎo)出過程可以看出，（3-5）式既是質(zhì)心參照系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，又是質(zhì)心參照系中質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒定律。這里，有兩個(gè)可能的疑問需要講清楚：一、在慣性參考系中，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒是有條件的：體系所受合外力為零。難道在質(zhì)心系中，動(dòng)量守恒就不需要條件？是的，只要是質(zhì)心系中，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量就一定守恒，而且總動(dòng)量就是零。如果要說條件的話，“質(zhì)心系”本身就是體系動(dòng)量守恒的條件。也就是說，“質(zhì)心”和“質(zhì)心系”的定義本身就包含了“質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量任何

6、情況下都恒等于零的參照系就是質(zhì)心系”的意思。二、合外力如不為零，它對(duì)動(dòng)量的貢獻(xiàn)到哪里去了？合外力的作用是其沖量使質(zhì)心的動(dòng)量獲得了一增量，而對(duì)質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的相對(duì)動(dòng)量的矢量和沒有貢獻(xiàn)。3.2 質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律當(dāng)合外力不為零時(shí)，質(zhì)心系是非慣性系。在質(zhì)心系中對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理: ， （3-6）對(duì)i求和，得 . （3-7）注意到：，故有 . （3-8）上式即是質(zhì)心系中的動(dòng)能定理，它表明：質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心的總動(dòng)能的微分，等于質(zhì)點(diǎn)組中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心發(fā)生位移時(shí)所有內(nèi)力和外力所做功的代數(shù)和。由（3-8）式可見：質(zhì)心系中的動(dòng)能定理與慣性系中的動(dòng)能定理具有相同的數(shù)學(xué)形式

7、。須要注意的是：不僅外力做功對(duì)體系動(dòng)能的變化有貢獻(xiàn)，而且內(nèi)力做功對(duì)體系動(dòng)能的變化也有貢獻(xiàn)。但質(zhì)心系中慣性力做的總功為零，它對(duì)動(dòng)能的變化沒有貢獻(xiàn)。靜止慣性參考系與質(zhì)心參考系中的動(dòng)能是有聯(lián)系的，這一聯(lián)系由柯尼西定理描述，其推導(dǎo)過程如下：如圖1所示，C為質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心，為靜止慣性參考系，為質(zhì)心參考系。第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)在兩參考系中的位矢和速度有下列關(guān)系：， .質(zhì)點(diǎn)組在靜止慣性參考系的動(dòng)能是： （3-9）以上推導(dǎo)過程中應(yīng)用了關(guān)系：，式中是將質(zhì)點(diǎn)組的全部質(zhì)量看作集中在質(zhì)心而運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能，稱之為質(zhì)心的動(dòng)能；而則為質(zhì)點(diǎn)組中各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能之和。（3-9）式表明：靜止慣性參考系中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能等于質(zhì)心的動(dòng)能與各

8、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和，這個(gè)關(guān)系稱為柯尼西定理。須要注意的是：不論質(zhì)心系是慣性系還是非慣性系，柯尼西定理都成立。除質(zhì)心系以外的其它非慣性運(yùn)動(dòng)的參考系此定理一般不成立。由（3-8）式知道，在質(zhì)心系中機(jī)械能守恒的條件是：僅有保守力對(duì)體系做功。在除質(zhì)心系以外的其他非慣性系中，上述條件不能保證機(jī)械能守恒。3.3 質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律在質(zhì)心參照系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程是 （3-10）用從左邊矢乘上式兩邊，并對(duì)i求和，得 （3-11）在導(dǎo)出上式時(shí)，假定了兩質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力沿它們的聯(lián)線方向，因此內(nèi)力的合力矩可以證明為零。因 ，上式化為 （3-12）亦即 （3-13）上式就是質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心的動(dòng)

9、量矩定理，其中 質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)心C的總動(dòng)量矩 （3-14） 對(duì)質(zhì)心C的合外力矩 （3-15）當(dāng) ， 則 常矢量 。以上就是質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩守恒定律?？梢?，質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒律與對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒律數(shù)學(xué)形式相同。對(duì)其它動(dòng)點(diǎn)，一般不具有類似形式的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒律。綜上所述，在質(zhì)心系中，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量恒為零；質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理和（對(duì)質(zhì)心的）動(dòng)量矩定理與慣性系中相應(yīng)的定理具有完全相同的數(shù)學(xué)形式，這表明質(zhì)心系是一個(gè)特殊的、重要的參照系。4. 在質(zhì)心坐標(biāo)系中討論碰撞、散射問題4.1 碰撞兩體碰撞是物理學(xué)中的一個(gè)典型問題1213。在分子運(yùn)動(dòng)中有碰撞問題，在工程技術(shù)中、日

10、常生活中都有碰撞問題。當(dāng)兩運(yùn)動(dòng)物體突然相互接觸時(shí)，就發(fā)生了碰撞。而碰撞更廣義的定義是：當(dāng)兩個(gè)物體相互接近時(shí)，它們有相互作用，因而改變了它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即引起動(dòng)量、能量的交換。常常用小球作為碰撞物體的模型。如果兩個(gè)小球發(fā)生對(duì)心碰撞，即兩個(gè)小球碰撞前的速度矢量在它們中心連線上，則碰撞過程中的沖擊力和碰撞后兩小球的速度矢量也必然在此聯(lián)線上。由于碰撞過程所經(jīng)歷的時(shí)間非常短，而作用力非常大，因此可略去其它非沖擊力，則系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，但動(dòng)能一般不守恒。通常是分離速度小于趨近速度，這兩個(gè)速度的比值定義為恢復(fù)系數(shù)e，分離速度和趨近速度都是兩球之間的相對(duì)速度。下面在質(zhì)心系中來討論對(duì)心碰撞的問題：假定兩個(gè)小球發(fā)生

11、對(duì)心碰撞。建立一個(gè)靜止慣性參照系及與質(zhì)心相固結(jié)的質(zhì)心坐標(biāo)系。由于不受外力的作用，靜止慣性參照系中系系統(tǒng)動(dòng)量守恒，則兩球質(zhì)心的速度不變，因此質(zhì)心坐標(biāo)系是一慣性參考系，質(zhì)心相對(duì)于靜止慣性參照系的速度為 （4-1）其中為質(zhì)心的速度，、分別為兩小球碰撞前相對(duì)于靜止慣性參照系的速度，為兩球質(zhì)量。在質(zhì)心坐標(biāo)系中，兩球碰撞前的速度分別記作、，碰撞后的速度記作、，則 （4-2） （4-3）其中、分別為兩球碰撞后相對(duì)于靜止慣性參照系的速度。由式（4-2）、（4-3）可得在質(zhì)心坐標(biāo)系中兩球碰前的趨近速度和碰后的分離速度分別為 （4-4）其中為靜止參照系中兩球碰前的的趨近速度，為靜止參照系中兩球碰后的的分離速度。由

12、此可得恢復(fù)系數(shù) （4-5）由（4-5）可得： （4-6）在質(zhì)心系中，體系動(dòng)量為零，故 （4-7）由（4-6）、（4-7）可得： （4-8）（4-8）式即為質(zhì)心系中兩球碰撞后的速度公式。由此我們得出一個(gè)重要結(jié)論：在質(zhì)心系中，兩球正碰之后，各自反彈，速度大小均為各自的碰前速度乘于恢復(fù)系數(shù).我們知道，在靜止參照系中，兩球碰撞后的速度為： （4-9）可見，在質(zhì)心系中得到的兩球的速度公式較靜止參照系中的速度公式要簡(jiǎn)單得多。容易看出，只要將（4-1）、（4-8）代入（4-3）并利用（4-4），就可得到（4-9）。在質(zhì)心系中，體系碰撞前后的總動(dòng)能分別為 （4-10） （4-11）動(dòng)能損失為 （4-12）討論

13、： 對(duì)于完全彈性碰撞（），有. （4-13）可見，在質(zhì)心系中，兩球發(fā)生彈性碰撞，各球以原速率反彈，體系動(dòng)能守恒。 對(duì)于完全非彈性碰撞（），有 （4-14） （4-15）可見，在質(zhì)心系中，兩球發(fā)生完全非彈性碰撞，兩球相對(duì)質(zhì)心靜止，動(dòng)能損失殆盡。4.2 散射彈性散射是分析力學(xué)中一個(gè)重要的問題14。其過程可以視為射彈粒子與靶粒子之間動(dòng)量與能量的轉(zhuǎn)化過程。在兩粒子體系的質(zhì)心系中， （4-16）因此，在質(zhì)心系中，兩質(zhì)點(diǎn)速度始終方向相反，并沿兩質(zhì)點(diǎn)的聯(lián)線方向（如圖2所示）。設(shè)靜止參照系中的散射角（即與的夾角）為，質(zhì)心系中的散射角（即與的夾角）為（如圖3所示）。從圖4可以看出：， （4-17）即 （4-18

14、） . （4-19）由于 ， 對(duì)于彈性散射，.若散射前，則，代入（4-19）式，得 （4-20）例如，粒子被重原子核散射時(shí)，由于，故；而中子-質(zhì)子散射時(shí)，由于， .5. 采用質(zhì)心系處理力學(xué)問題的舉例下面我們通過兩個(gè)例子說明質(zhì)心坐標(biāo)系處理力學(xué)問題的優(yōu)勢(shì)。例1 一個(gè)人從船頭走到船尾，人的質(zhì)量為m,船的質(zhì)量為M,船長(zhǎng)為L(zhǎng)，問船在水中移動(dòng)了多遠(yuǎn)的距離。（不計(jì)水的阻力）解法一 在靜止坐標(biāo)系中：設(shè)船的速度為V，人的速度為v；船相對(duì)于靜水移動(dòng)的距離為x，人相對(duì)于靜水移動(dòng)的距離則為L(zhǎng)-x .根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得 故 解法二 在質(zhì)心坐標(biāo)系中：設(shè)船移動(dòng)的距離為x，人移動(dòng)的距離則為L(zhǎng)-x .由于整個(gè)系統(tǒng)不受外力作用

15、，所以質(zhì)心不會(huì)移動(dòng)，即故 例2 從地球發(fā)射一宇宙飛行體，要使其脫離太陽(yáng)系，至少需要多大速度（第三宇宙速度的求解）？已知在太陽(yáng)系中，飛行器的逃逸速度為，地球的公轉(zhuǎn)速度為.解法一 在靜止坐標(biāo)系中：設(shè)發(fā)射時(shí)飛行體相對(duì)于地球速度為，地球速率的改變是，這個(gè)改變量是個(gè)小量，忽略二階及以上小量，于是地球動(dòng)能的改變量為： .如取發(fā)射的方向垂直于太陽(yáng)引力的方向，則發(fā)射過程的前后，在發(fā)射的方向上動(dòng)量守恒。根據(jù)發(fā)射前后動(dòng)量守恒，有 于是 地球動(dòng)能的改變可寫為 根據(jù)飛行體從射出到獲得逃逸太陽(yáng)系的速度這一過程的動(dòng)量守恒關(guān)系，得于是 上式中的即是飛行體能實(shí)現(xiàn)逃逸太陽(yáng)系這一目的，在脫離地球引力范圍進(jìn)入太陽(yáng)系時(shí)所需相對(duì)地球的

16、最小速度。由能量關(guān)系，可得所以解法二 在質(zhì)心坐標(biāo)系中：從發(fā)射到脫離地球引力的過程中，太陽(yáng)的引力與飛行器的位移垂直，與地球的位移垂直，不做功；質(zhì)心的加速度導(dǎo)致的慣性力做的功為零。于是，機(jī)械能守恒。 由（4-10），上式中 故 所以6. 結(jié)束語(yǔ)質(zhì)心系一般是非慣性系，在非慣性系中處理力學(xué)問題的關(guān)鍵是引入慣性力。由于質(zhì)心系具有總動(dòng)量為零的重要特征，導(dǎo)致在質(zhì)心參考系中，慣性力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的變化無貢獻(xiàn)，慣性力對(duì)質(zhì)點(diǎn)組做的總功為零，慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩矢量和為零。在質(zhì)心系中的動(dòng)量定理與動(dòng)量守恒律特別簡(jiǎn)單，而動(dòng)能定理及機(jī)械能守恒律、動(dòng)量矩定理及動(dòng)量矩守恒律與靜止慣性系中的相應(yīng)規(guī)律有相同的數(shù)學(xué)形式。許多力學(xué)問題

17、在質(zhì)心系中處理起來特別簡(jiǎn)單，因此，質(zhì)心系是一種重要的參照系。參考文獻(xiàn)1 周衍柏理論力學(xué)教程M北京：高等教育出版社，1986（2006重印）2 漆安慎，杜嬋英力學(xué)M北京：高等教育出版社，1997（2003重?。? 楊維纮力學(xué)M安徽：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2002（2004重?。? Murry R.Spiegel. Theory and problems of Theoretical mechanics M.New york : Mc Grow Hill,1980.5 李根全，王子安，李子軍非慣性系中的動(dòng)量定律J內(nèi)蒙古民族師院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1997年10月，第12卷第2期：9116 韋勝東，李作春非慣性系中的機(jī)械能定理和機(jī)械能守恒律J南寧師范高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002，（2）：41447 李鐵非慣性系中的動(dòng)量定律與動(dòng)量守恒J電子科技大學(xué)，2004年10月，第33卷第5期：15178 楊景芳，黃耀清非慣性系中的“三大定理”和機(jī)械能守恒J大慶高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1999年12月，第19卷第4期：27299 許鐘城質(zhì)心參考系與非慣性參考系J河池師專學(xué)報(bào)（自然科學(xué)