3數(shù)字信號(hào)處理講義時(shí)頻分析概念

1、數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理 信號(hào)與系統(tǒng)系列課程組信號(hào)與系統(tǒng)系列課程組 國(guó)家電工電子教學(xué)基地國(guó)家電工電子教學(xué)基地信號(hào)頻域分析的不足：信號(hào)頻域分析的不足： 任一頻率分量任一頻率分量 X(jw w0) 都是對(duì)信號(hào)都是對(duì)信號(hào)x(t)在在整個(gè)定義區(qū)間上的積分整個(gè)定義區(qū)間上的積分 ttxXtde)()j(j00ww ttxXtde)()j(j00ww0 x(t)tti0 x(t)ttj 信號(hào)的頻域分析不適合于信號(hào)的頻域分析不適合于，需，需用信號(hào)的用信號(hào)的時(shí)時(shí)- -頻頻( (time-frequency) )域分析。域分析。wwde)()(),(0jtwxtX 小波(wavelet)是一類衰減較快的波動(dòng)信號(hào)，

2、其能量有限，且相對(duì)集中在局部區(qū)域。 小波1101/2t)(Ht-1Haar小波函數(shù)H(t)01234567-0.500.51Wavelet function (t)Db4小波函數(shù) (t)0d)(tt向量空間與正交基向量空間與正交基(basis) 向量空間是一個(gè)向量的集合向量空間是一個(gè)向量的集合V=vi加一個(gè)數(shù)域加一個(gè)數(shù)域K，在該集合上定義向量的加法及向量與數(shù)量的乘法，對(duì)在該集合上定義向量的加法及向量與數(shù)量的乘法，對(duì)所有的所有的vi V和和ki K，下列性質(zhì)成立，下列性質(zhì)成立(1) v1+v2= v2+v1(2) (v1+v2)+v3= v1+(v2+v3)(3) ki(v1+v2) = ki

3、v1+ kiv2(4) (k1+k2) vi =k1 vi+k2 vi(5) (k1k2) vi =k1(k2 vi)(6) 1 vi= vi(7) 存在惟一的零向量存在惟一的零向量q q，滿足，滿足 vi+ q q =vi , vi+( vi)= q q 例例: 空間空間R4 空間的每一個(gè)向量是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的空間的每一個(gè)向量是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的4元組，記為元組，記為x=(x1，x2 ，x3，x4)T， y=(y1，y2 ，y3，y4)T，代數(shù)運(yùn)算，代數(shù)運(yùn)算定義為定義為 x+y = (x1+ y1 ，x2 + y2 ，x3 + y3 ，x4 + y4 )T kx= (kx1，kx2 ，kx3 ，kx4

4、)T (k R) 空間空間R4的內(nèi)積定義為的內(nèi)積定義為 =x1 y1+x2 y2+x3 y3+x4 y4 向量的正交向量的正交 =0向量的模向量的模 x 例例:空間空間L2(R) ttxd)(2實(shí)值函數(shù)構(gòu)成的實(shí)值函數(shù)構(gòu)成的L2(R)空間的內(nèi)積定義為空間的內(nèi)積定義為ttytxtytxd)()()(),(x(t) L2(R)(x+ y)(t) = x(t) + y(t) (kx)(t) = kx(t)nnntatx)()(規(guī)范正交規(guī)范正交 (orthonormal)基基d)()()(),(lktttttklkl基（基（Basis） 對(duì)x(t) L2(R)，存在線性無關(guān)的函數(shù) n(t);nZ，使得x

5、(t)可表示為(t);nZ的線性組合，即向量空間與正交基向量空間與正交基nnntatx)()( tttxttxannnd)()()(),( 規(guī)范正交 基展開系數(shù) an 的計(jì)算：向量空間與正交基向量空間與正交基規(guī)范正交 基的能量不變性：22d)(nnattx 例例: R4空間空間規(guī)范正交基。規(guī)范正交基。 0001e10010e20100e31000e4x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4= n mxn=例例: R4空間另一組空間另一組規(guī)范正交基規(guī)范正交基( (Haar基基) )。 111121e1111121e2001121e3110021e4x=c1e1+c2e2+c3e3+c4e4=

6、n mcn=向量空間與正交基向量空間與正交基(basis) VS S是是V的一個(gè)子集，即的一個(gè)子集，即 S V對(duì)對(duì)一切一切x，y S，及一切的常數(shù)，及一切的常數(shù)a,b存在存在 a x+by SSV向量空間與正交基向量空間與正交基(basis) 設(shè)設(shè) n(t);nZ是子空間子空間S規(guī)范正交基，則任意規(guī)范正交基，則任意x(t) V到到子空間子空間S的的正交投影正交投影y(t)可表示為可表示為 nnnttxty)()(,)(ttztxttytxzd)()(mind)()(22SxyS向量空間與正交基向量空間與正交基(basis) x V; y S，=0 每個(gè)每個(gè)x V存在存在有唯一的表示式有唯一的表

7、示式 x=y+z, y S, z C，=0 稱稱V可表示為可表示為S與與C的直和。記為的直和。記為 V=S C例例:設(shè)設(shè)V1是所有長(zhǎng)度為是所有長(zhǎng)度為2的離散信號(hào)的集合，如的離散信號(hào)的集合，如vk=1,2是是V1中的中的信號(hào)。信號(hào)。 V0是是V1的子集，的子集， V0中信號(hào)的兩個(gè)分量相等，中信號(hào)的兩個(gè)分量相等， V0 的一個(gè)基的一個(gè)基為為 00k=1 1。(1)試求試求V0在在V1中的正交補(bǔ)中的正交補(bǔ)W0，選其中的一個(gè)元素，選其中的一個(gè)元素 00k作為其基。作為其基。(2)說明說明 00k 和和 00k一起構(gòu)成一起構(gòu)成V1的一個(gè)基。的一個(gè)基。解：解：(1)W0中的元素必須滿足兩個(gè)條件中的元素必須

8、滿足兩個(gè)條件(a)與與V0正交。正交。 (b)是是V1中的元素。中的元素。 所以所以 00k的長(zhǎng)度必須為的長(zhǎng)度必須為2。滿足上述兩個(gè)條件的一個(gè)解為。滿足上述兩個(gè)條件的一個(gè)解為 00k=1 1 (2) V1中的任一元素中的任一元素vk=a,b可表示為可表示為 220000kbakbakv 所以所以 00k 和和 00k一起構(gòu)成一起構(gòu)成V1的一個(gè)正交基。故的一個(gè)正交基。故 V1=V0 W0定義為定義為其中：信號(hào)其中：信號(hào) (t)稱為母小波稱為母小波(mother wavelet)信號(hào)。信號(hào)。 信號(hào)信號(hào) (t)稱為尺度信號(hào)稱為尺度信號(hào)(father wavelet)。)2(2)(2/,kttjjkj

9、 j,k(t)與與 j,k+1(t)間的位移為間的位移為D Dt=1/2j0)(00w w )(10w w w)(20w w )2(2)(2/,kttjjkj)(00w w 若小波信號(hào)若小波信號(hào) j,k(t)為為L(zhǎng)2空間的基，則信號(hào)的小波空間的基，則信號(hào)的小波展開可表示為展開可表示為 kkkkkktkdtkdtkctx)()()()(, 11, 00, 00 (,) x(t) c0k, djk; j=0,1,() c0k, djk; j=0,1, x(t) 2120202d)(kdkdkcttxkkk 小波基函數(shù)小波基函數(shù) j,k(t)具有具有非唯一性非唯一性，即存在許多，即存在許多不同的小波基函數(shù)，而許多其他變換（如傅里葉不同的小波基函數(shù)，而許多其他變換（如傅里葉變換等）的基函數(shù)都是唯一的。變換等）的基函數(shù)都是唯一的。 小波基函數(shù)的非唯一