線性代數(shù)06339

1、2006年考研線性代數(shù)考題講評(píng) 海天學(xué)校 何堅(jiān)勇 教授作 者 簡(jiǎn) 介何堅(jiān)勇，清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系教授。從事線性代數(shù)教學(xué)近三十年。長(zhǎng)期從事考研閱卷、試題分析研究工作，在各類考研輔導(dǎo)班主講線性代數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，深入淺出、重點(diǎn)突出，且深諳命題的規(guī)律與陷阱，熟悉同學(xué)的學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)規(guī)律，在講題中經(jīng)常能講出解題的各種“妙招”，使同學(xué)深受其益。經(jīng)其輔導(dǎo)的學(xué)生對(duì)其輔導(dǎo)效果贊不絕口，每年的考研線性代數(shù)考題，在何老師考前輔導(dǎo)講課中總可找到對(duì)應(yīng)的例題。尤其令人叫絕的是，2004年數(shù)學(xué)（三）第（20）大題考題，與何老師考前輔導(dǎo)的例4.2其中的具體數(shù)字、參數(shù)及求解結(jié)果完全相同（只是出題方式不同）?，F(xiàn)將2006年全部線性代數(shù)考

2、題與何老師考前輔導(dǎo)題對(duì)列如下，同時(shí)對(duì)2006年考題作出講評(píng)，以饗讀者。 編者8（考題一）：設(shè)、為2維列向量，又若行列式，則 。解：。妙招： （考題二）：設(shè)矩陣，矩陣B滿足：BA=B+2E，E為二階單位陣，則B=。解：BA-B=2E，B（A-E）=2E 可逆，求（A-E）的逆。用伴隨矩陣法（或初等行變換法）記 何老師所講述的對(duì)應(yīng)題：1、強(qiáng)化班例1.22：設(shè)、均為3維列向量，記矩陣 ，且，那么 。2、沖刺班講課：例1-2-1：已知，均為三維列向量，且，若,則 。何老師所講述的對(duì)應(yīng)題：1、強(qiáng)化班例2.4：A、B均為3階方陣，且AB=2A+B，求。 2、沖刺班講課例2-1-1：A、B均為3階方陣，且A

3、B=4A+2B，求。妙招：若可逆,則有公式：（考題三）：若，均為n維列向量，A是m·n矩陣，則（A）若，相關(guān)，則必相關(guān)。（B）若，相關(guān)，則必?zé)o關(guān)。（C）若，無(wú)關(guān)，則必相關(guān)。（D）若，無(wú)關(guān)，則必?zé)o關(guān)。解：選（A）由題意：記，則有， 若，相關(guān) 線性相關(guān)。點(diǎn)評(píng)：1、利用列向量組（行向量組）的秩=矩陣的秩。再利用矩陣秩的有關(guān)公式。2、向量組線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）其秩<個(gè)數(shù)（等于向量的個(gè)數(shù)）。（考題四）：設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，將B的第1列的-1倍加到第2列得C。記，則（A）C=P-1 AP （B）C=PA P-1 （C）C=PT AP (D) C=PA PT解：選（B），

4、由題意PA=B，記，則B·P1=C何老師所講述的對(duì)應(yīng)題1、沖刺班例3.2.3：設(shè)A為m·n矩陣，r(A)=n，又n維向量組，線性無(wú)關(guān),試證：線性無(wú)關(guān)。2、強(qiáng)化班例3.17：已知n維向量，線性無(wú)關(guān)。且向量組可由向量組，線性表出：則也線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是r(C)=S。何老師所講述的對(duì)應(yīng)題：1、 強(qiáng)化班例2.16：已知：A可逆，則B-1等于A-1P1P2 P1A-1P2 P1P2A-1 P2A-1P1 PAP1=C，又 PAP-1=C。點(diǎn)評(píng)：有些同學(xué)認(rèn)為“將B的第1列的-1倍加到第2列所對(duì)應(yīng)的初矩陣寫成是錯(cuò)誤的?？碱}（五）：已知非齊次方程組 有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。1、證明方程組

5、系數(shù)矩陣A的秩r(A)=2。2、求a、b的值及方程組的通解。解：1、設(shè)AX=b有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則，必是AX=0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。 。又。 。2、增廣矩陣 代入求之。求解：得 求解： 得通解為：（k1，k2為任意常數(shù)）點(diǎn)評(píng)：有不少同學(xué)求齊次方程組的基礎(chǔ)解系時(shí)用：結(jié)果錯(cuò)了！2、強(qiáng)化班例2.18：設(shè)A為三階矩陣，將A的第1列與第2列交換后得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求滿足AQ=C的可逆矩陣Q。何老師所講述的對(duì)應(yīng)題：1、強(qiáng)化班例4.2：試就a、b的各種取值情況討論下述方程組何時(shí)有解？何時(shí)無(wú)解？在有解時(shí)，求出組的通解方程：考題（六）：設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量是線性方

6、程組AX=0的兩個(gè)解：（）求A的特征值與特征向量（）求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣，使。（）求A及解：（）由A的各行元素之和均為3，即：。又是A的屬于0的線性無(wú)關(guān)特征向量。是屬于3的全部特征向量（）。（k1k2不全為0）是屬于0的全部特征向量。（）現(xiàn)但與不正交，用施密特正交化方法將與正交化：令。單位化：。令，有：（）由（）何老師所講述的對(duì)應(yīng)題：1、強(qiáng)化班例5.7：已知n階矩陣A=(aij)的行和都等于t(t0)，求A的一個(gè)特征值及一個(gè)特征向量。2、沖刺班：例5-4-1：設(shè)三階非零矩陣A的行和都等于2，又且AB=0求A的特征值與特征向量。3、沖刺班例6-4-1：已知二次型中，對(duì)應(yīng)矩陣A的各行元素之和為3

7、，且滿足AB=0，其中求正交交換X=QY，將f化成標(biāo)準(zhǔn)形。4、強(qiáng)化班例5.11：設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2，是A的二重特征值，若都是A的屬于特征值6的特征向量。（1） 求A的另一個(gè)特征值與特征向量。（2） 求矩陣A。故點(diǎn)評(píng)：1、此題計(jì)算工作量相對(duì)較大。計(jì)算錯(cuò)誤也非常之多：正交化過(guò)程計(jì)算錯(cuò)誤較多，如，（與不正交），等。單位化錯(cuò)誤也很多，不會(huì)計(jì)算單位向量。計(jì)算錯(cuò)誤。計(jì)算錯(cuò)誤。2、此題考點(diǎn)頗多。各行元素之和都相等的特殊矩陣的特征值，特征向量規(guī)律。AX=0的非零解必也是A的屬于0的特征向量。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)。已知正交矩陣Q及對(duì)角矩陣，反求A。反復(fù)運(yùn)用：。妙招1：行和均相等(=t)的n階矩陣，A必有特征

8、值，特征向量為。妙招2：，故AX=0的非零解必是A的屬于0的特征向量。妙招3：正交化過(guò)程可省去，由求下列方程組產(chǎn)生：令由：解得既省事又不易錯(cuò)。妙招4：如求的單位向量，可令，則單位向量，這樣計(jì)算又快又不容易錯(cuò)。妙招5：反求A時(shí)，可避免計(jì)算錯(cuò)誤。設(shè) 線性無(wú)關(guān)。 ，故A的三行成比例，又三行元素之和相等，故比例系數(shù)必為1，即A的三行必相同。又。故a11=a12=a13=1?？碱}（七）： 設(shè)4維向量組。問(wèn)a為何值時(shí)，相關(guān)？當(dāng)相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出。解：記，當(dāng)a=0或a=-10時(shí)，線性相關(guān)。1、當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=1，任一向量都可作極大無(wú)關(guān)值，如取作極大無(wú)關(guān)組，則。2、當(dāng)a=-10時(shí)，對(duì)A作一系列初等行變換。何老師所講述過(guò)的對(duì)應(yīng)題：1、強(qiáng)化班例3.10：求向量組，的秩，一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，及其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出。2、強(qiáng)化班例3.4：，r(A)=r(B)=3，極大無(wú)關(guān)組中有三個(gè)向量，取，求解，則。點(diǎn)評(píng)：本題并不難，但得分率不高，原因是計(jì)算錯(cuò)誤太多。1、行列式計(jì)