高三解題——想得好才能做得好

1、高三解題想得好才能做得好張志超 江蘇省南京市第五中學(xué) 郵編210004為了凸顯高考的選拔功能，讓不同層次的考生在考試中各盡其能，數(shù)學(xué)試卷在中檔題的設(shè)置中，大都具有“一題多解”的特點(diǎn)，如果考生選擇了好的解法，可以讓你 “簡(jiǎn)潔、易解”；如果選擇了不好的解法，可以讓你“繁瑣、易錯(cuò).”筆者認(rèn)為：解法的選擇，是考生數(shù)學(xué)能力差異的反映，最終將在考試成績(jī)上得到顯現(xiàn).因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)整體與方法上全面去認(rèn)識(shí)解題，力求從 “一題多解”中學(xué)會(huì)辨析好與不好的解法，把好方法的選擇與解題落實(shí)在復(fù)習(xí)之中，用想得好去做得好。.以下筆者以近年來的一些高考真題為樣題，談?wù)剬?duì)該問題的認(rèn)識(shí).1.(20

2、12年江蘇卷11)設(shè)為銳角，若，則的值為 . 1.1想法：從結(jié)論考慮,要求的值，可以先求出的值，其次求出的值，最后再利用及和角公式求出值.詳解：因?yàn)闉殇J角，得.所以.反思：從結(jié)論考慮,執(zhí)果索因.思路正確但太死板，連同計(jì)算，求出結(jié)果共需要7個(gè)步驟，費(fèi)時(shí)費(fèi)工，如果一步出錯(cuò)，滿盤皆輸，隸屬不好的解法，不提倡用此法求解.1.2想法：從結(jié)構(gòu)考慮， 那么.所以只要由條件，利用二倍角公式求出即可.詳解：因?yàn)闉殇J角，得所以.那么.故.反思：應(yīng)用整體化的思想方法，從結(jié)構(gòu)考慮，利用代數(shù)式的恒等變形，將需要求的等價(jià)變形為與已知條件有關(guān)的.從思維的層面上看，這個(gè)想法優(yōu)于想法1，計(jì)算步驟也只要4步，而且每步計(jì)算都是整體

3、化的，難度明顯小于詳解1，隸屬較好的解法.但是的恒等變形不易想到，需要平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練.1.3想法：從整體考慮，用換元法，令，得.將原題等價(jià)于“設(shè)為銳角，若，則=_.”顯然變形后的習(xí)題，其難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原題.詳解：因?yàn)闉殇J角，令，得為銳角.所以故.反思：應(yīng)用換元法，本題抓住了條件與結(jié)論中，都含有共同的元，引入新元等價(jià)建立了條件與結(jié)論的新關(guān)系，使得問題變得簡(jiǎn)單、易解.應(yīng)用此法不需多想與的關(guān)系，回避了的變形難點(diǎn)，只要換元、計(jì)算正確即可，隸屬好方法，最值得提倡.2（2010年全國(guó)卷1文數(shù)11）已知圓的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么的最小值為(A) (B) (C) (D)2.1想

4、法： 用函數(shù)方法，選擇一個(gè)變量PA=x，建立關(guān)于x的函數(shù)y.再求y的最小值即可.PABO詳解：如圖所示：設(shè)PA=PB=,APO=,則APB=，PO=，=，令，則. 怎樣求 的最小值呢？2.1.1(判別式法)由，得，由是正實(shí)數(shù)，所以，解得或.又因?yàn)槭钦龑?shí)數(shù)，所以解得故.此時(shí)，此題選C.2.1.2.（均值不等式法）因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)取“=”. 故，此題選C.也可以用換元法，令，得2.1.3（導(dǎo)數(shù)法），令，求解很困難，此法不可取.反思：想法1是解決最值問題的一般性解法，其難點(diǎn)在于變量x的選擇，尤其是怎樣用x去表示，結(jié)合圖形，利用向量數(shù)量積的幾何意義，可突破難點(diǎn).在建立函數(shù)后，怎樣求其最小值，可以看出

5、又多種選擇，最好的為將其變形后，用均值不等式求解.最不能選擇的是導(dǎo)數(shù)法.2.2想法：用函數(shù)方法，選擇一個(gè)變量，建立關(guān)于的函數(shù)y.PABO再求y的最小值即可.詳解：如圖設(shè)，得換元：，得 故，此題選C.反思：選擇了角為變量，建立y關(guān)于的三角函數(shù)，最后利用均值不等式求解，由于運(yùn)算過程用到一些三角關(guān)系式，從結(jié)構(gòu)上講比較簡(jiǎn)單，是好方法.2.3想法：建系用坐標(biāo)法將用坐標(biāo)表示，再利用坐標(biāo)的限制條件求解.詳解：以圓心為原點(diǎn)，P點(diǎn)在x正半軸上，建立直角坐標(biāo)系系：得圓的方程為，設(shè)，其中.因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”. 故，此題選C.反思：坐標(biāo)法是解決向量問題常用的方法，建系將向量坐標(biāo)化，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，

6、可將問題簡(jiǎn)化，隸屬好方法.此題難點(diǎn)在利用，找到的關(guān)系.3.（2011年廣東理卷11）等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和若，則k=_3.1想法：由，可解得d、；再利用，求出k.詳解：設(shè)公差為d, 由得，由，得，.反思：按照要求，由因到果，計(jì)算不繁瑣，這是常用解法，只是算法步驟較多.3.2想法：由可得，得.因?yàn)?，所以k=10.詳解：如想法3.2：反思：從整體考慮，抓住的條件，利用等差數(shù)列中若，則的性質(zhì)，得到，比較得k=10.想法3.2優(yōu)于3.1.其關(guān)鍵在處理等差、等比數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)用了整體化的思想方法，簡(jiǎn)化了運(yùn)算.4.（2010年全國(guó)理16）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

7、， 且，則的離心率為 . 4.1想法：因?yàn)槭墙裹c(diǎn)，是端點(diǎn)，所以由，可以將D點(diǎn)坐標(biāo)用橢圓基本量與的關(guān)系表示，再將D點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，即可求得.詳解：設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn)分 BD所成的比為2，代入，反思:求離心率的常用方法是找橢圓基本量與的關(guān)系.本題利用坐標(biāo)、方程求解，隸屬為一般性的解法，需要熟練掌握.4.2想法:利用幾何性質(zhì)、第二定義，分別將BF與FD的長(zhǎng)用橢圓基本量與表示，再利用，找到與的關(guān)系，即可求得.詳解:如圖，,作軸于點(diǎn)D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得 又由,得反思：利用幾何性質(zhì)可簡(jiǎn)化問題求解，平時(shí)要多留心幾何解法.4.3想法：因?yàn)锽C是過焦點(diǎn)F的弦，用橢圓極坐標(biāo)，其中，分別求出和，利用，可求得離心率.詳解：因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，解?反思：用極坐標(biāo)方法，其本質(zhì)為圓錐曲線的統(tǒng)一定義，此法正是利用了這一性質(zhì)，使得解答簡(jiǎn)單、易算，理科考生應(yīng)該在復(fù)習(xí)中掌握.象以上這樣的中檔題在每年全國(guó)各地的試卷中比比皆是，它分布在選擇題、填空題的后幾題， 用于考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和應(yīng)用。這些題對(duì)考生的成績(jī)影響極大：如果選用了