高等數(shù)學(xué)上期末復(fù)習(xí)

1、高等數(shù)學(xué)（上）復(fù)習(xí)目錄第一章 極限與函數(shù)3第二章 導(dǎo)數(shù)與微分8第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用11第四章 不定積分13第五章 定積分17第六章 定積分的應(yīng)用19高等數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)第一章 極限與函數(shù)一、重點(diǎn)概念1.數(shù)列Xn有界是數(shù)列Xn收斂的必要條件。數(shù)列Xn收斂是數(shù)列Xn有界的充分條件。即：數(shù)列Xn收斂數(shù)列Xn有界（以上說(shuō)明收斂的數(shù)列一定有界，有界的數(shù)列不一定收斂。另外，如果數(shù)列不僅有界，并且是單調(diào)的，那么這數(shù)列的極限必定存在。）2.(x)在x0的某一去心臨域內(nèi)有界是存在的必要條件。存在是(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的充分條件。即：存在(x)在x0的某一去心臨域內(nèi)有界3. (x)當(dāng)時(shí)的右

2、極限(x0+)及左極限(x0-)都存在且相等是存在的充分必要條件。4.有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。（）如出現(xiàn)sin或者cos。做題時(shí)要配有說(shuō)明。(注：y=arctanx為有界函數(shù))5.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則：6.與是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為=+o()7.間斷點(diǎn)的類型：第一類間斷點(diǎn)為左右極限都存在的間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)為左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)。（注：找間斷點(diǎn)找沒有意義的點(diǎn)）8.有界性與最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定能取得它的最大值和最小值。9.零點(diǎn)定理：設(shè)函數(shù)(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且（a）與(b)異號(hào)，那么在開區(qū)間至少存在一點(diǎn),使()=010.介值定

3、理：設(shè)函數(shù)y= (x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函數(shù)值，(a)=A及(b)=B。那么，對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得()=C (ab)。11二、題型方法總結(jié)1.求極限：（）第一步就是判斷極限的類型。特別要注意的是極限的條件。共有8種不定式。()型不定式求極限步驟：a. 因式分解，有理化消掉零因子。b. 變量代換c. 乘除運(yùn)算利用等價(jià)無(wú)窮小d. 洛必達(dá)法則（有些極限中帶有積分的注意用此法）e. 泰勒公式（不常用）補(bǔ)充：等價(jià)無(wú)窮小公式 當(dāng)x0時(shí)()sinxx tanxx (1-cosx) arcsinxx arctanxxln(1+x) x (

4、ex-1) x loga(1+x) （ax-1）xlna (1+x)-1 x洛必達(dá)法則 若函數(shù)和滿足下列條件： ,； 在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且； （可為實(shí)數(shù)，也可為 ）則 （）型不定式求極限步驟a. 同除無(wú)窮大量b. 洛必達(dá)法則注：0和-不定式可以轉(zhuǎn)化為以上兩種不定式。重點(diǎn)是出現(xiàn)分母！（）1型不定式求極限步驟a. 底數(shù)必須出現(xiàn)數(shù)字“1”，如果沒有“1”則加“1”減“1”。b. 底數(shù)中除了“1”以外的數(shù)配倒數(shù)。e之外的極限最好單獨(dú)算。運(yùn)用的重要極限為：計(jì)算此類問(wèn)題的技巧：先配出來(lái)，再寫原式，要寫過(guò)程，防止出錯(cuò)。2.極限，連續(xù)，可導(dǎo)，間斷點(diǎn)問(wèn)題。 某點(diǎn)何時(shí)有極限？驗(yàn)證左右極限是否相等 何

5、時(shí)連續(xù)？左極限=函數(shù)值，右極限=函數(shù)值，同時(shí)成立。 何時(shí)可導(dǎo)？連續(xù)，左導(dǎo)數(shù)=右導(dǎo)數(shù) 間斷點(diǎn)？分母為零的點(diǎn)，左右極限都存在即第一類間斷點(diǎn)，否則，第二類間斷點(diǎn)。三、本章補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)：1.反三角函數(shù)圖像2.冪指函數(shù)的變換： 3.指數(shù)函數(shù)的特殊性：對(duì)于要注意。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分一、概念和求導(dǎo)題型1. 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：2. 導(dǎo)函數(shù)：3. (x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)是(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的充分條件。(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)的必要條件。即：如果函數(shù)y=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。另一方面，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。4. 函數(shù)(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存

6、在且相等。5. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（）（tanx）sec2x (cotx)=-csc2x(ax)=axlna (logax)=(arcsinx)= (arctanx)=（注：千萬(wàn)不要記混?。。?. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則：-1（x）=7. 高階導(dǎo)數(shù):一些基本初等函數(shù)n階導(dǎo)數(shù) 萊布尼茨公式：(uv)(n)= u(n)v + nu(n-1)v+u(n-2)v +u(n-k)v(k)+ uv(n)8.冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)定義：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（另對(duì)于復(fù)雜的根式計(jì)算也可使用此法）9.參數(shù)方程求導(dǎo)：對(duì)于的求導(dǎo)法則為 （參數(shù)方程求導(dǎo)無(wú)論幾階導(dǎo)分母都為）10.函數(shù)的微分: 千萬(wàn)不要忘記dx 總結(jié):冪函數(shù)、三角函數(shù)、指

7、數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍分別為冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)。11.微分近似計(jì)算: 12.(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)是(x)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件。13.求單調(diào)區(qū)間時(shí)，單個(gè)區(qū)間全閉，多個(gè)區(qū)間注意不要重疊。14.求最值：先求極值點(diǎn)，后于端點(diǎn)值比較。二、本章補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)關(guān)于“1”的等式：（）（）那些關(guān)于和or差公式： 那些“完全”的公式 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、重點(diǎn)概念及解題步驟1.拉格朗日中值定理：若函數(shù)在區(qū)間滿足以下條件：在上連續(xù)；在上可導(dǎo)則至少有一個(gè)，使得。2.如果函數(shù)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù)。3.泰勒公式： 佩亞諾余項(xiàng)： 拉格朗日余項(xiàng)： 麥克勞林展開：即令a=04.通常稱導(dǎo)數(shù)

8、等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)，臨界點(diǎn)）5.曲線的凹凸性與拐點(diǎn)：曲線凹凸性的定義凹凸性的判定（易忘） 拐點(diǎn)定義：連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)成為曲線的的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的求法：a.求出的根b.求出導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)c.對(duì)于所求的點(diǎn)來(lái)判斷兩側(cè)的凹凸性d.看兩側(cè)符號(hào)，得出結(jié)論6.函數(shù)的極值問(wèn)題：第二充分條件設(shè)函數(shù)(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且（x）=0，（）那么（1）當(dāng)（x0）0時(shí)，函數(shù)(x)在x0處取得最小值。第四章 不定積分一、重要概念和公式1.連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。2.基本積分表中易忘公式： 3.換元積分法：第一類換元法:“湊”第二類換元法三角代換去除整體代換根號(hào)4.補(bǔ)充積分公式： 5.分部積分法：uvdx

9、=uv-uvdx6.有理函數(shù)的積分：有理真分式有理假分式二、 題型方法總結(jié)1. 計(jì)算不定積分思考步驟綜述：a. 有理函數(shù)積分b. 第二類換元法c. 分部積分法d. 第一類換元法2. 第一類換元法中的規(guī)律： 對(duì)于sin2k+1xcosnx或sinnxcos2k+1x（其中kN）型函數(shù)的積分，總可依次做變換u=cosx或u=sinx 對(duì)于sin2kxcos2lx（k、lN），可降冪升角。 對(duì)于sinmx和cosmx m為奇數(shù)，提出一個(gè)湊微分m為偶數(shù)，則降冪升角 對(duì)于tannxsec2kx或tan2k-1xsecnx（kN+）可依次作變換u=tanx或u=secx 利用三角函數(shù)的積化和差公式3. 第

10、二類換元法：a.注意輔助三角形的運(yùn)用b.注意定義域c.用整體代換時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)為唯一解d.三角代換常見為根號(hào)下二次函數(shù)4.分部積分法：湊微分的先后順序：三角函數(shù)冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)優(yōu)于 優(yōu)于 反三角函數(shù)對(duì)于這類的積分要用兩次分部積分。同時(shí)兩次分部積分中湊微分函數(shù)相同。4. 有理函數(shù)的積分的一般方法 有理函數(shù)化成多項(xiàng)式與有理真分式之和-綜合除法 有理真分式化成簡(jiǎn)單分式之和a. 分解因式b. 待定系數(shù)法 簡(jiǎn)單分式積分：a.b.c. (p24q) 當(dāng)A=0時(shí)，分母配方當(dāng)A0時(shí)，湊分母導(dǎo)數(shù)三、 本章補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn)有關(guān)三角變換的公式1.兩角和差公式 2.積化和差公式 3.二倍角公式 第五章 定積分一、基本概念及

11、重要公式1.微積分基本公式之原函數(shù)存在定理的推論例：注：極限問(wèn)題出現(xiàn)積分變限函數(shù)，就考慮導(dǎo)數(shù)，利用洛必達(dá)法則。2.牛頓-萊布尼茨公式：若(x)在a,b上可積，且F(x)是(x)的一個(gè)在a,b上的原函數(shù)，則。3.定積分的換元法：注意“三換”。積分區(qū)間換，被積函數(shù)換，積分變量換。4.定積分的可加性：5.奇、偶函數(shù)的定積分：a.當(dāng) 為偶函數(shù)時(shí),。b.當(dāng) 為奇函數(shù)時(shí),。6.周期函數(shù)的定積分公式：8. 定積分的分部積分法： 二、計(jì)算不定積分的思考步驟1.判斷是瑕積分還是有界積分2.對(duì)稱區(qū)間（考慮是否為奇偶函數(shù)）3.有理函數(shù)積分4.無(wú)理函數(shù)積分5.第二類換元法（根式）6.分部積分（五大類初等函數(shù)乘積）7.

12、第一類換元法（湊微分）第六章 定積分的應(yīng)用一、定積分在幾何上的應(yīng)用1.平面圖形的面積判斷X型區(qū)域orY型區(qū)域及計(jì)算公式X型區(qū)域： Y型區(qū)域： X型區(qū)域和Y型區(qū)域判定：在x軸上任取一點(diǎn)x，過(guò)該點(diǎn)作一條垂直于x軸的直線去穿區(qū)域，與D的邊界曲線之交點(diǎn)不多于兩個(gè)，即一進(jìn)一出，此區(qū)域?yàn)閄型區(qū)域。類似的，在y軸上任取一點(diǎn)y，過(guò)該點(diǎn)作一條垂直于y軸的直線去穿區(qū)域，與D的邊界曲線之交點(diǎn)不多于兩個(gè)，即一進(jìn)一出，此區(qū)域?yàn)閅型區(qū)域。2.極坐標(biāo)下曲邊扇形的面積公式： 3.空間立體的體積：a.旋轉(zhuǎn)體體積（繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)）： b.平行截面面積為已知的立體的體積： 4.平面圖形的弧長(zhǎng)：a. 直角坐標(biāo)下曲線的弧長(zhǎng)： b參數(shù)方程下曲