高中數(shù)學(xué)專題——微積分基本定理與應(yīng)用

1、22、定積分222 微積分基本定理與應(yīng)用一知識(shí)結(jié)構(gòu)1、定積分定積分的定義：（注意整體思想）定積分的性質(zhì)： （常數(shù)）； （其中。（分步累加）微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：（熟記（），）2定積分的應(yīng)用：求曲邊梯形的面積：（兩曲線所圍面積）； 注意：若是單曲線與x軸所圍面積，位于x軸下方的需在定積分式子前加“”求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：；求變力做功：。二，典型例題【典型例題】 例1（1）由拋物線和直線x=1所圍成的圖形的面積等于 （ ）A1 BC D例1（2）（2）如圖，陰影部分的面積是（）ABCD（3）=（）A B C D（4）= （5）按萬有引力定律，兩質(zhì)點(diǎn)間的吸引力，k為常數(shù)，為兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量

2、，r為兩點(diǎn)間距離，若兩質(zhì)點(diǎn)起始距離為a，質(zhì)點(diǎn)m1沿直線移動(dòng)至離m2的距離為b處，試求所作之功（a） yxo122-1-1ABCD例2圖例2 如圖，求由兩條曲線，及直線y= -1所圍成圖形的面積例3如圖，拋物線C1：y= -x2與拋物線C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A兩點(diǎn)若過原點(diǎn)的直線l與拋物線C2所圍成的圖形面積為，求直線l的方程例3圖A例4已知A（-1，2）為拋物線C：y=2x2上的點(diǎn)直線l1過點(diǎn)A，且與拋物線C相切直線l2：x=a(a-1)交拋物線C于點(diǎn)B，交直線l1于點(diǎn)D（1）求直線l1的方程；（2）設(shè)ABD的面積為S1，求及S1的值；（3）設(shè)由拋物線C、直線l1、l2所

3、圍成的圖形的面積為S2，求證：S1S2的值為與a無關(guān)的常數(shù)【課內(nèi)練習(xí)】1=（）A5B。4C。3D。22=（）AB。C。D。3若，且a1，則a的值為（）A6B。4C。3D。24已知自由落體運(yùn)動(dòng)的速率v=gt，則落體運(yùn)動(dòng)從t=0到t=t0所走的路程為（）A B C D5曲線與直線所圍成的圖形（陰影部分）的面積等于 6 。7= 。8計(jì)算下列定積分的值（1）；（2）；（3）。 9平地上有一條小溝，溝沿是兩條長(zhǎng)100m的平行線段，溝寬AB為2m，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為O，對(duì)稱軸與地面垂直，溝深1.5m，溝中水深1m（）求水面寬；（）如圖所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的

4、體積為底面積乘以高，溝中的水有多少立方米？10設(shè)是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且（1）求的表達(dá)式（2）若直線把的圖象與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積二等分，求t的值22、定積分222 微積分基本定理與應(yīng)用A組1下列有定義的定積分為（）AB。C。D。2=（）A B2e C D3曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積（）A4 B2 C D34若=a3-2（a1），則a= 。5= 。6求定積分：。7求曲線與軸所圍成的圖形的面積8如圖，拋物線與直線y3x的二交點(diǎn)為A、B.點(diǎn)P在拋物線的弧上從A向B運(yùn)動(dòng)。  （1）求使的面積為最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線xa分為面積

5、相等的兩部分.22、定積分222 微積分基本定理與應(yīng)用B組1=（）AB。C。D。2=（）A21B。22C。23D。243下列命題：若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則為R上的偶函數(shù)；若f(x)是周期為T（0）的周期函數(shù)，則；。其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A0B。1C。2D。34由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積為 。5已知彈簧每拉長(zhǎng)0. 02 米要用9. 8N的力，則把彈簧拉長(zhǎng)0. 1米所作的功為 6求由曲線與x軸所圍的封閉區(qū)域的面積。7設(shè)某物體一天的溫度T是時(shí)間t的函數(shù)，T (t) = at3+bt2+ct+d (a0)，其中溫度的單位是，時(shí)間的單位是小時(shí)，t=0表示1200，t取正值表示1200

6、以后若測(cè)得該物體在800的溫度為8，1200的溫度為60，1300的溫度為58，且已知該物體的溫度在800和1600有相同的變化率（1）寫出該物體的溫度T關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）該物體在1000到1400這段時(shí)間中（包括1000和1400），何時(shí)溫度最高？并求出最高溫度；（3）如果規(guī)定一個(gè)函數(shù)在上函數(shù)值的平均為，求該物體在800到1600這段時(shí)間內(nèi)的平均溫度8一物體按規(guī)律xbt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方試求物體由x0運(yùn)動(dòng)到xa時(shí)，阻力所作的功8物體的速度媒質(zhì)阻力，其中k為比例常數(shù)，k>0當(dāng)x=0時(shí)，t=0；當(dāng)x=a時(shí)，又ds=vdt，故阻力

7、所作的功為。參考答案222 微積分基本定理與應(yīng)用【典型例題】例1（1）B（2）C（3）C（4）。（5）。例2由圖形的對(duì)稱性知，所求圖形面積為位于y軸右側(cè)圖形面積的2倍由得C（1，-1）同理得D（2，-1） 所求圖形的面積yxo122-1-1ABCD例2圖S= 例3設(shè)過原點(diǎn)的直線方程為y=kx，解方程組，得x1=0，x2=k+2a當(dāng)k+2a0時(shí)，于是 (k+2a)3=27a3，解得k=a所以，直線l的方程為y=ax當(dāng)k+2a<0時(shí)，于是 - (k+2a)3=27a3，解得k= -5a所以，直線l的方程為y= -5ax綜上所述，所求直線l的方程為y=ax或y= -5ax 例4（1）由y=2x

8、2，得當(dāng)x= -1時(shí)，l1的方程為y-2= -4(x+1)，即4x+y+2=0（2）由y=2x2及x=a，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a,2a2）由4x+y+2=0及x=a，解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a,-4a-2）又可求得點(diǎn)A到直線BD的距離為，=2a2+4a+2=2(a+1)2S1=（3）由題意，當(dāng)a>-1時(shí)，當(dāng)a<-1時(shí)，S1S2=32即S1S2的值為與a無關(guān)的常數(shù)【課內(nèi)練習(xí)】1A。2A。3D。4C。5。6F(x)-F(0)。74a。8（1）；（2）；（3）。9（）如圖建立直角坐標(biāo)系xoy，設(shè)拋物線方程為則由拋物線過點(diǎn)，可得于是拋物線方程為當(dāng)y=1時(shí)，由此知水面寬為（m）（）柱體的底面積柱體體

9、積為，即水溝中有水10（1）；（2）222 微積分基本定理與應(yīng)用A組1B。2D。3D。42。5。圖6。7首先求出函數(shù)的零點(diǎn)：，.又易判斷出在 內(nèi)，圖形在軸下方，在內(nèi)，圖形在軸上方，所以所求面積為。8（1）；（2）面積均為。B組1D。223。3D。4。xFx05如圖所示，在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力F與彈簧的伸長(zhǎng)量（或壓縮量）x成正比，即F = kx在上式中k為比例系數(shù) 根據(jù)題意，當(dāng)x = 0. 02時(shí)，F(xiàn) = 9. 8，故由F = kx得k =490這樣得到的變力函數(shù)為F = 490x于是所求的功為 （J） 67（1）根據(jù)條件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，則d=60，b=0，a=1，c= -3，因此，溫度函數(shù)T(t)= t3-3t+60（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，函數(shù)T(t)在（-2，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上遞增，即t= -1是極大值點(diǎn)由于T（-1）=T