高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)教案簡單的線性規(guī)劃及實際應(yīng)用

1、知識點歸納1二元一次不等式表示平面區(qū)域:在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點P（x0，y0）B0時，Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的上方；Ax0+By0+C0，則點P（x0，y0）在直線的下方對于任意的二元一次不等式Ax+By+C0（或0），無論B為正值還是負(fù)值，我們都可以把y項的系數(shù)變形為正數(shù)當(dāng)B0時，Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域；Ax+By+C0表示直線Ax+By+C=0下方的區(qū)域2線性規(guī)劃:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解組成的

2、集合叫做可行域（類似函數(shù)的定義域）；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；（2）找出線性約束條件；（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f（x，y）；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f（x，y）=t（t為參數(shù)）；（6）觀察圖形，找到直線f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案題型講解 例1 求不等式x1+y12表示的平面區(qū)域的面積例2 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h（4v20）從A港

3、出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h（30w100）自B港向距300 km的C市駛?cè)?yīng)該在同一天下午4至9點到達(dá)C市設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h（1）作圖表示滿足上述條件的x、y范圍；（2）如果已知所需的經(jīng)費p=100+3×（5x）+2×（8y）（元），那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟(jì)?此時需花費多少元?例3 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次甲型卡車每輛每天的成本費為252元

4、，乙型卡車每輛每天的成本費為160元問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?例4 設(shè)，式中變量滿足條件 求的最大值和最小值例5 某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共180m，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18，可住游客5名，每名游客每天住宿費為40元，小房間每間面積為15，可住游客3名，每名游客每天住宿費為50元，裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他們只能籌8000元用于裝修，且游客能住滿客房，它應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲最大利益？ 6畫出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）為頂點的ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一

5、次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x2y的最大值和最小值7某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價05元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價04元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費用最少?8 某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩

6、種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：資 金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應(yīng)量（百元）空調(diào)機(jī)洗衣機(jī)成 本3020300勞動力（工資）510110單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少?1分析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積解：x1+y12可化為或或或其平面區(qū)域如圖面積S=×4×4=8點評：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界分析：由p=100+3×（5x）+2×（8y）可知影響花費的是3x+2y的取值范圍解：（1）依題意得v=，w=，4v20，30w1003x10，y 由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x

7、+y應(yīng)在9至14個小時之間，即9x+y14 因此，滿足的點（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界） （2）p=100+3·（5x）+2·（8y），3x+2y=131p設(shè)131p=k，那么當(dāng)k最大時，p最小在通過圖中的陰影部分區(qū)域（包括邊界）且斜率為的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點（10，4），即當(dāng)x=10，y=4時，p最小此時，v=125，w=30，p的最小值為93元點評：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達(dá)約束條件的不等式然后分析要求量的幾何意義3分析：弄清題意，明確與運輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其

8、整數(shù)最優(yōu)解解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么z=252x+160y，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖 作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過點（2，5）時，滿足上述要求此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低點評：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f（x，y）=t的

9、斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點4解：由已知，變量滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，因此所表示的區(qū)域為如圖中的四邊形ABCD 當(dāng)過點C時，取最小值，當(dāng)過點A時，取最大值即當(dāng)時，當(dāng)時，5解：設(shè)應(yīng)隔出大房間間和小房間間，則且，目標(biāo)函數(shù)為，作出約束條件可行域：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)，作出一組平行線當(dāng)此線經(jīng)過直線和直線的交點，此直線方程為，由于不是整數(shù)，所以經(jīng)過整點（3，8）時，才是他們的最優(yōu)解，同時經(jīng)過整點(0,12)也是最優(yōu)解即應(yīng)隔大房間3間，小房間8間，或者隔大房間0間，小房間12間，所獲利益最大如果考慮到不同客人的需要，應(yīng)隔大房間3間，小房間8間小結(jié)：簡單的線

10、性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù)；或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確通常最優(yōu)解在可行域的頂點（即邊界線的交點）處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標(biāo)的近似值它應(yīng)是

11、目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標(biāo)6分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式不等式組；求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域直線AB的方程為x+2y1=0，BC及CA的直線方程分別為xy+2=0，2x+y5=0在ABC內(nèi)取一點P（1，1），分別代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y1>0，xy+2>0，2x+y5<0因此所求區(qū)域的不等式組為x+2y10，xy+20，2x+y50作平行于直線3x2y=0的直線系3x2y=t（t為參數(shù)），即平移直線y=x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y=xt過A（3，1）時，縱截距t最小此時t最大，tmax=3×32× （1）=11；當(dāng)直線y=xt經(jīng)過點B（1，1）時，縱截距t最大，此時t有最小值為tmin= 3×（1）2×1=5因此，函數(shù)z=3x2y在約束條件x+2y10，xy+20，2x+y50下的最大值為11，最小值為57解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），所需費用為S=05x+04y，且x、y滿足6x+3y8，4x+7y10，x0，y0，由圖可知，直線y=x+S過A（，）時，縱截距S最小，即S最小故每盒盒飯為