高中數(shù)學難點突破難點37數(shù)形結合思想

1、難點37 關于數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合.應用數(shù)形結合思想，就是充分考查數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決.運用這一數(shù)學思想，要熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數(shù)特征. 難點磁場1.曲線y=1+ (2x2)與直線y=r(x2)+4有兩個交點時，實數(shù)r的取值范圍 .2.設f(x)=x22ax+2,當x1,+)時，f(x)a恒成立

2、，求a的取值范圍.案例探究例1設A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求實數(shù)a的取值范圍.命題意圖：本題借助數(shù)形結合，考查有關集合關系運算的題目.屬級題目.知識依托：解決本題的關鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C.進而將CB用不等式這一數(shù)學語言加以轉化.錯解分析：考生在確定z=x2，x2,a的值域是易出錯，不能分類而論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉a2這一種特殊情形.技巧與方法：解決集合問題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語言“翻譯”為一般的數(shù)學語言，進而分析條件與結論特點，再將其轉化為圖形語言，利用數(shù)形結合的思想來解決.解：y=2x+

3、3在2, a上是增函數(shù)1y2a+3，即B=y1y2a+3作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點x=a有三種不同的位置情況如下：當2a0時，a2z4即C=zz2z4要使CB,必須且只須2a+34得a與2a0矛盾.當0a2時，0z4即C=z0z4，要使CB，由圖可知：必須且只需解得a2當a2時，0za2，即C=z0za2，要使CB必須且只需解得2a3當a2時，A=此時B=C=，則CB成立.綜上所述，a的取值范圍是(,2),3.例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求證：.命題意圖：本題主要考查數(shù)學代數(shù)式幾何意義的轉換能力.屬級題目.知識依托：解決此題的關鍵在

4、于由條件式的結構聯(lián)想到直線方程.進而由A、B兩點坐標特點知其在單位圓上.錯解分析：考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一.如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二.技巧與方法：善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結合方法完成解題.證明:在平面直角坐標系中，點A（cos,sin）與點B（cos,sin）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖.從而：AB2=(coscos)2+(sinsin)2=22cos()又單位圓的圓心到直線l的距離由平面幾何知識知OA2(AB)2=d2即.錦囊妙計應用數(shù)形結合的思想，應注意以下數(shù)與形的轉化：

5、（1）集合的運算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖象（3）數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結構特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關系；借助于運算結果與幾何定理的結合.殲滅難點訓練一、選擇題1.（）方程sin(x)=x的實數(shù)解的個數(shù)是( )A.2 B.3 C.4 D.以上均不對2.（）已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的兩根（，則實數(shù)a、b、的大小關系為( )A.ab B.abC.ab D.ab二、填空題3.（）(4cos+32t)

6、2+(3sin1+2t)2，(、t為參數(shù))的最大值是 .4.（）已知集合A=x5x,B=xx2axxa，當AB時，則a的取值范圍是 .三、解答題5.（）設關于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,）內有相異解、.（1）求a的取值范圍；（2）求tan(+)的值.6.（）設A=(x,y)y=,a0，B=(x,y)(x1)2+(y3)2=a2,a0,且AB，求a的最大值與最小值.7.（）已知A（1，1）為橢圓=1內一點，F(xiàn)1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點.求PF1+PA的最大值和最小值.8.（）把一個長、寬、高分別為25 cm、20 cm、5 cm的長方體木盒從一個正方形窗口穿過，那么正方形窗口

7、的邊長至少應為多少？參 考 答 案難點磁場1.解析：方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x2)+4為過（2，4）的直線.答案：（2.解法一：由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立.考查函數(shù)g(x)=x22ax+2a的圖象在1,+時位于x軸上方.如圖兩種情況：不等式的成立條件是：(1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2，綜上所述a(3,1).解法二：由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象.如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對應的a值（即直線的斜率）分別為1，3，故直

8、線l對應的a(3,1).殲滅難點訓練一、1.解析：在同一坐標系內作出y1=sin(x)與y2=x的圖象如圖.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的兩根，在同一坐標系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示：答案：A二、3.解析：聯(lián)想到距離公式，兩點坐標為A(4cos,3sin),B(2t3,12t)點A的幾何圖形是橢圓，點B表示直線.考慮用點到直線的距離公式求解.答案：4.解析：解得A=xx9或x3，B=x(xa)(x1)0，畫數(shù)軸可得.答案：a3三、5.解：作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的圖象，知當1且時，曲線與直線有兩個交點，故a(2,)(,2).把si

9、n+cos=a,sin+cos=a相減得tan，故tan(+)=3.6.解：集合A中的元素構成的圖形是以原點O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點O(1,)為圓心，a為半徑的圓.如圖所示AB，半圓O和圓O有公共點.顯然當半圓O和圓O外切時，a最小a+a=OO=2,amin=22當半圓O與圓O內切時，半圓O的半徑最大，即a最大.此時aa=OO=2,amax=2+2.7.解：由可知a=3,b=,c=2，左焦點F1(2,0),右焦點F2(2,0).由橢圓定義，PF1=2aPF2=6PF2,PF1+PA=6PF2+PA=6+PAPF2如圖：由PAPF2AF2=知PAPF2.當P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；當P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號.即PAPF2的最大、最小值