高中數(shù)學直線與圓的方程知識點總結

1、 高中數(shù)學之直線與圓的方程一、概念理解：1、傾斜角：找：直線向上方向、x軸正方向； 平行：=0°； 范圍：0°180° 。2、斜率：找k ：k=tan （90°）； 垂直：斜率k不存在； 范圍： 斜率 k R 。3、 斜率與坐標： 構造直角三角形（數(shù)形結合）； 斜率k值于兩點先后順序無關； 注意下標的位置對應。4、 直線與直線的位置關系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直時：<1> ； <2> 斜率都存在時： 。 平行：<1> 斜率都存在時：； <2> 斜率都不存在時：兩直線都與x軸垂直。 重合：

2、 斜率都存在時：；二、方程與公式：1、直線的五個方程： 點斜式： 將已知點直接帶入即可； 斜截式： 將已知截距直接帶入即可； 兩點式： 將已知兩點直接帶入即可； 截距式： 將已知截距坐標直接帶入即可； 一般式： ，其中A、B不同時為0 用得比較多的是點斜式、斜截式與一般式。2、求兩條直線的交點坐標：直接將兩直線方程聯(lián)立，解方程組即可3、距離公式： 兩點間距離： 點到直線距離： 平行直線間距離： 4、中點、三分點坐標公式：已知兩點 AB中點： AB三分點： 靠近A的三分點坐標 靠近B的三分點坐標中點坐標公式，在求對稱點、第四章圓與方程中，經常用到。三分點坐標公式，用得較少，多見于大題難題。5.直

3、線的對稱性問題 已知點關于已知直線的對稱:設這個點為P（x0，y0）,對稱后的點坐標為P（x，y），則pp的斜率與已知直線的斜率垂直，且pp的中點坐標在已知直線上。3、 解題指導與易錯辨析：1、解析法（坐標法）： 建立適當直角坐標系，依據(jù)幾何性質關系，設出點的坐標； 依據(jù)代數(shù)關系（點在直線或曲線上），進行有關代數(shù)運算，并得出相關結果；yxo 將代數(shù)運算結果，翻譯成幾何中“所求或所要證明”。2、 動點P到兩個定點A、B的距離“最值問題”： 的最小值：找對稱點再連直線，如右圖所示： 的最大值：三角形思想“兩邊之差小于第三邊”； 的最值：函數(shù)思想“轉換成一元二次函數(shù)，找對稱軸”。3、 直線必過點：

4、含有一個參數(shù)-y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 => 必過點(-2,3) 含有兩個參數(shù)-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 聯(lián)立方程組求解 => 必過點(-1/7,3/7)4、 易錯辨析： 討論斜率的存在性： 解題過程中用到斜率，一定要分類討論：<1>斜率不存在時，是否滿足題意； <2>斜率存在時，斜率會有怎樣關系。 注意“截距”可正可負，不能“錯認為”截距就是距離，會丟解； （求解直線與坐標軸圍成面積時，較為常見。）

5、 直線到兩定點距離相等，有兩種情況： <1> 直線與兩定點所在直線平行； <2> 直線過兩定點的中點。圓的方程1. 定義：一個動點到一個定點以定長繞一周所形成的圖形叫做圓，其中定點稱為圓的圓心，定長為圓的半徑.2. 圓的方程表示方法：第一種：圓的一般方程 其中圓心，半徑.當時，方程表示一個圓，當時，方程表示一個點.當時，方程無圖形.第二種：圓的標準方程.其中點為圓心，為半徑的圓第三種：圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）注：圓的直徑方程：已知3. 點和圓的位置關系：給定點及圓.在圓內在圓上在圓外4. 直線和圓的位置關系： 設圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時，與相

6、切；時，與相交；，時，與相離. 5、 圓的切線方程： 一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.(注:該點在圓上，則切線方程只有一條)若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.（注：過圓外的點引切線必定有兩條,若聯(lián)立的方程只有一個解，那么另外一條切線必定是垂直于X軸的直線。）6.圓系方程：過兩圓的交點的圓方程：假設兩圓方程為：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0則過兩圓的交點圓方程可設為：x2+y2+D1x+E1y+F1+（x2+y2+

7、D2x+E2y+F2）=0過兩圓的交點的直線方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（兩圓的方程相減得到的方程就是直線方程）7.與圓有關的計算：弦長的計算：AB=2*R2-d2 其中R是圓的半徑，d等于圓心到直線的距離AB=（1+k2）*X1-X2 其中k是直線的斜率，X1與X2是直線與圓的方程聯(lián)立之后得到的兩個根過圓內的一點的最短弦長是垂直于過圓心的直線圓內的最長弦是直徑8.圓的一些最值問題圓上的點到直線的最短距離=圓心到直線的距離減去半徑圓上的點到直線的最長距離=圓心到直線的距離加上半徑假設P（x，y）是在某個圓上的動點，則（x-a）/（y-b）的最值

8、可以轉化為圓上的點與該點（a，b）的斜率問題，即先求過該定點的切線，得到的斜率便是該分式的最值。假設P（x，y）是在某個圓上的動點，則求x+y或x-y的最值可以轉化為：設T=x+y或T=x-y，在圓上找到點(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y軸上的截距最值化。9.圓的對稱問題已知圓關于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關于該直線對稱后得到的圓心坐標即可。若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點，且該定點是圓的圓心坐標圓錐曲線橢圓橢圓：平面內到兩定點距離之和等于定長（定長大于兩定點間距離）的點的集合1、定義： 第二定義：2、標準方

9、程： 或 ；3、參數(shù)方程 （為參數(shù)）幾何意義：離心角4、幾何性質：（只給出焦點在x軸上的的橢圓的幾何性質）、頂點、焦點、離心率 準線：（課改后對準線不再要求，但題目中偶爾給出）5、焦點三角形面積：（設）(推導過程必須會)6、橢圓面積：（了解即可）7、直線與橢圓位置關系：相離（）；相交（）；相切（） 判定方法：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式判斷根的個數(shù)8、橢圓切線的求法1）切點（）已知時， 切線 切線2）切線斜率k已知時， 切線 切線9、焦半徑：橢圓上點到焦點的距離 （左加右減） （下加上減）雙曲線1、定義： 第二定義：2、標準方程：（焦點在x軸）（焦點在y軸） 參數(shù)方程： （為參數(shù)） 用法

10、：可設曲線上任一點P3、幾何性質 頂點 焦點 離心率 準線 漸近線 或 或4、特殊雙曲線 、等軸雙曲線 漸近線 、雙曲線的共軛雙曲線 性質1：雙曲線與其共軛雙曲線有共同漸近線 性質2：雙曲線與其共軛雙曲線的四個焦點在同一圓上5、直線與雙曲線的位置關系 相離（）； 相切（）； 相交（） 判定直線與雙曲線位置關系需要與漸近線聯(lián)系一起 時可以是相交也可以是相切6、焦半徑公式 點P在右支上 （左加右減） 點P在左支上 （左加右減） 點P在上支上 （下加上減） 點P在上支上 （下加上減）7、雙曲線切線的求法 切點P已知 切線 切線 切線斜率K已知 8、焦點三角形面積：（為）拋物線1、定義：平面內與一定點

11、和一定直線的距離相等的點的集合（軌跡）2、幾何性質：P幾何意義：焦準距 焦點到準線的距離設為P標準方程： 圖 像： 范 圍： 對 稱 軸： x軸 x軸頂 點： （0，0） （0，0）焦 點： （） （）離 心 率： 準 線： 標準方程： 圖 像： 范 圍： 對 稱 軸： y軸 y軸定 點： （0，0） （0，0）焦 點： （0，） 離 心 率： 準 線： 3、參數(shù)方程（t為參數(shù)方程）4、通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦 橢圓：雙曲線通徑長 拋物線通徑長2P5、直線與拋物線的位置關系1）相交（有兩個交點或一個交點） 2）相切（有一個交點）；3）相離（沒有交點）6、拋物線切線的求法1）切點P已知：的

12、切線；2）切線斜率K已知： 此類公式填空選擇或解答題中（部分）可作公式直接應用附加：弦長公式：與曲線交與兩點A、B則解題指導：軌跡問題： (一)求軌跡的步驟1、建模：設點建立適當?shù)淖鴺讼?，設曲線上任一點p（x，y）2、立式：寫出適條件的p點的集合3、代換：用坐標表示集合列出方程式f（x，y）=04、化簡：化成簡單形式，并找出限制條件5、證明：以方程的解為坐標的點在曲線上 （二）求軌跡的方法1、直接法：求誰設誰，按五步去直接求出軌跡2、定義法：利用已知或幾何圖形關系找到符合圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義3、轉移代入法：適用于一個動點隨另一曲線上的動點變化問題4、交軌法：適用于求兩條動直線交點的軌

13、跡問題。用一個變量分別表示兩條動直線，然后聯(lián)立，消去變量即可。5、參數(shù)法：用一個變量分別表示所求軌跡上任一點的橫坐標和縱坐標，聯(lián)立消參。6、同一法：利用兩種思維分別求出同一條直線，再參考參數(shù)法，找到軌跡方程。弦長問題：|AB|=。弦的中點問題：中點坐標公式-注意應用判別式。.求曲線的方程1曲線的形狀已知這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。例1 （1994年全國）已知直線L過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上。若點A（-1，0）和點B（0，8）關于L的對稱點都在C上，求直線L和拋物線C的方程。分析：曲線的形狀已知，可以用待定系數(shù)法。設出它們的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px

14、(p>0).設A、B關于L的對稱點分別為A/、B/，則利用對稱性可求得它們的坐標分別為：A/（），B/（）。因為A/、B/均在拋物線上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直線L的方程為：y=x,拋物線C的方程為y2=x.2曲線的形狀未知-求軌跡方程 例3 （1994年全國）MNQO已知直角坐標平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1, 動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)（>0）,求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。分析：如圖，設MN切圓C于點N，則動點M組成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面幾何知識可知：|MN|2=|MO|2-|ON|

15、2=|MO|2-1，將M點坐標代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.當=1時它表示一條直線；當1時，它表示圓。這種方法叫做直接法。O A xBC.研究圓錐曲線有關的問題1有關最值問題例6 (1990年全國)設橢圓中心為坐標原點，長軸在x上，離心率，已知點P（0，）到這個橢圓上的點的最遠距離是，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標。分析：最值問題，函數(shù)思想。關鍵是將點P到橢圓上點的距離表示為某一變量是函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識求其最大值。設橢圓方程為，則由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.設Q(x,y)是橢圓上任意一點，則:|PQ|=(-by

16、b).若b<，則-<-b,當y=-b時|PQ|max=.解得：b=->與b<矛盾；若b，則當y=-時|PQ|max=,解得:b=1,a=2.2有關范圍問題例7 （2001春季高考題）已知拋物線y2=2px(p>0)，過M（a,0）且斜率為1的直線L與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|2p。（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關系的問題，對于（1），可以設法得到關于a的不等式，通過解不等式求出a的范圍，即：“求范圍，找不等式”?；蛘邔表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于（2）首先要把NAB的面積