正余弦圖像和性質(zhì)

1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) 從圖象的整體入手觀察正弦函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)在0,2上有五個(gè)點(diǎn)起關(guān)鍵作用,只要描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)y=sinx在0,2上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點(diǎn)如下: 通過類比,很容易確定在0,2上起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn),關(guān)鍵點(diǎn)也有五個(gè),它們是 例1 畫出下列函數(shù)的簡圖(1)y=1+sinx,x0,2; (2)y=-cosx,x0,2. 解:(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0 sinx1001+sinx111描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(圖4).圖4x2cosx1-10-cosx0-1(2)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(圖5).圖5定義:對(duì)于函數(shù)f(x),

2、如果存在一個(gè) T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的 值時(shí),都有 ,那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的 .如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè) ,那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的 .正弦函數(shù)是周期函數(shù), (kZ且k0)都是它的周期,最小正周期是 .從上述定義還可以看到周期函數(shù)的周期不唯一,例如2,4,6,8,都是它的周期,有無窮多個(gè),即2k(kZ,k0)都是正弦函數(shù)的周期.例1 求下列函數(shù)的周期:(1)y=3cosx,xR; (2)y=sin2x,xR; (3)y=2sin(-),xR.總結(jié)規(guī)律：一般地,函數(shù)y=Asin(x+)(其中A、為常數(shù),A0,>0,xR)的周期為T

3、=.變式訓(xùn)練1.已知f(x)是周期為5的周期函數(shù),且f(1)=2 007,求f(11)，f(-9)2.已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù),且f(1)=2,f(x+3)=f(x),求f(7)，f(8)3.求函數(shù)y=2sin(-x)的周期.4.已知函數(shù)y=2sin的周期為，求的值.對(duì)于正弦函數(shù)y=sinx(xR),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x=+2k,kZ時(shí),取得最大值 .(2)當(dāng)且僅當(dāng)x= ,kZ時(shí),取得最小值-1.對(duì)于余弦函數(shù)y=cosx(xR),(1)當(dāng)且僅當(dāng)x= ,kZ時(shí),取得最大值1.(2)當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+1),kZ時(shí),取得最小值 .如圖3,通過學(xué)生充分討論后確定,選圖象上的-,(如圖4)這段.教師

4、還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段,而不選0,2的道理,其他類似. 圖3 圖4 圖5 結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知:正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間-+2k,+2k(kZ)上都是 函數(shù),其值從-1增大到1; 在每一個(gè)閉區(qū)間 (kZ)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1.余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 (kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1; 在每一個(gè)閉區(qū)間2k,(2k+1)(kZ)上都是 函數(shù),其值從1減小到-1.三角函數(shù)的性質(zhì)例 函數(shù)y=3sin(x+)的性質(zhì). 解： 函數(shù)y=3sin(x+)的值域是函數(shù)y=3sin(x+)的周期是函數(shù)y=sint的單調(diào)遞增區(qū)間是+2k,+2k，kZ.由-+2kx+2k, -+2kx-+2k, +2kx+2k,兩邊同時(shí)乘以2，得+4kx+4k,kZ.因此,函數(shù)y=3sin(+)的單調(diào)遞增區(qū)間是, ，kZ.函數(shù)y=sint的單調(diào)遞減區(qū)間是