浙江農林大學靜電場中的導體和電介質有介質時的高斯定理習題

1、四 解答題(a)1、 如圖所示，一導體球半徑為,外罩一半徑為的同心薄導體球殼, 外球殼所帶總電荷為,而內球的電勢為，求導體球和球殼之間的電勢差（填寫A、B、C或D，從下面的選項中選?。、 B、 C、 D、答案：A 解 設導體球所帶電荷為。因靜電平衡，電荷分布在導體球的外表面。這樣一來，就可以把體系看成是兩個半徑分別為和，電荷分別為和的帶電球殼。由電勢疊加原理，導體球的電勢為解出因此，導體球和球殼之間的電勢差為2、如圖所示，在一半徑為R1=6.0cm的金屬球A外面套有一個同心的金屬球殼B。已知球殼內，外半徑分別為R2=8.0cm，R3=10.0cm。設A球帶有總電量，球殼B帶有總電量。（1）

2、求球殼B內表面上帶有的電量外表面上帶有的電量以及球A的電勢球殼B的電勢；A、 B、 C、 D、答案：B，A，C，D（2）將球殼B接地然后斷開，再把球A接地。求球A帶有的電量球殼B內表面上帶有的電量外表面上帶有的電量以及球A的電勢和球殼B的電勢。A、 B、 C、D、E、F、0答案：B， C，D, F,E解 （1）由高斯定理可知，B球殼內表面帶的電量等于金屬球A帶的電量的負值，即因電荷守恒，則B球殼外表面所帶電量為因此，球A的電勢為球殼B的電勢為（2）球殼B接地后電勢，因此。B接地斷開后總電量變?yōu)?。然后球A接地，則。設此時球A帶電量為，有由此解得球A的電量這時球殼B內、外表面的電量為 球殼B的電勢

3、為A3、一接地的充分大的導體板的一側有一半無限長的均勻帶電直線（電荷線密度為），垂直于導體板放置，如圖所示，帶電直線的一端A與板距離OAd。求板面上點處的面電荷密度。A、 B、 C、 D、答案：D解 導體板可視為無限大接地板，感應電荷只分布在板的點一側表面上。設點處的感應電荷面密度為。在導體板內與點緊鄰處由感應電荷產生的場強為負號代表場強沿軸反方向。而通過對帶電直線上電荷元的場強積分，可得板內與點緊鄰處由帶電直線產生的場強為導體板內與點緊鄰處的總場強等于和的疊加，而靜電平衡導體內場強處處為零，即因此，板面上點處的面電荷密度為4、如圖所示，電荷面密度為的帶電無限大板旁邊有一帶電導體，今測得導體表

4、面靠近點處的電荷面密度為。求：（1）點處的場強；（2）導體表面靠近點處的電荷元所受的電場力。A、 B、 C、 D、答案：A, C解 （1）導體和帶電板共同達到靜電平衡。由靜電平衡導體表面的電荷密度和導體表面外附近處場強的關系，可得點處的場強為（2）電荷元所受電場力為其中是指在導體表面點附近挖去面元后，導體上剩下的電荷以及帶電板上的電荷在面元所在處產生的場強，我們把挖去面元后導體上剩下的電荷以及帶電板上的電荷稱為其它電荷。這樣一來，導體內與點緊鄰處的總場強是由電荷元和其它電荷共同產生的，在靜電平時該點總場強為零。考慮面元鄰近處的場強，可將看成無限大帶電平板，因此電荷元兩側的場強的大小都為，方向沿

5、離開的方向（設）。由于總場強為零，所以其它電荷在導體內與點緊鄰處的場強的大小等于，方向與電荷元的場強的方向相反，垂直于導體表面向外。為使全部電荷分布在導體外點處的場強等于，則要求其它電荷在導體外點處的場強與在導體內與點緊鄰處的場強大小、方向都相同。由于在沒有電荷的空間電場線是連續(xù)的，所以其它電荷在面元所在處產生的場強為因此，電荷元所受的電場力為方向垂直于導體表面向外。備注：求解此類習題常出現(xiàn)的錯誤是5、如圖所示，一個點電荷q放在一無限大接地金屬平板上方處，試根據(jù)電場疊加原理求出板面上距q為R處的感生面電荷密度。解A、 B、 C、D、答案：A因無限大金屬板接地，所以只考慮金屬板上表面的感生電荷就

6、可以了。設點電荷，則感生面電荷密度。在圖（a）中導體板內的點緊靠導體外的點，并和點成鏡面對稱。代表點電荷在點的場強，大小為，代表金屬板表面的感生電荷在點的場強。由靜電平衡條件，點總場強為零，所以和大小相等，方向相反。在圖（b）中，和分別代表點電荷和金屬板表面的感生電荷在點的場強。因點和點緊鄰，則。由于點和點鏡面對稱，所以和也鏡面對稱。因此，點電荷和金屬板表面的感生電荷在點的總場強為負號代表方向豎直向下。由靜電平衡導體表面的電荷密度和導體表面外附近處場強的關系，可得所以，板面上距q為R處的感生面電荷密度為6、徑為R1的導體球，帶電荷q，在它外面同心地罩一金屬球殼，其內、外半徑分別為R2 = 2

7、R1，R3 = 3 R1，今在距球心d = 4 R1處放一電荷為Q的點電荷，并將球殼接地(如圖所示)，試求球殼上感生的總電荷 A、 B、 C、 D、答案：A解：應用高斯定理可得導體球與球殼間的場強為 (R1rR2) 設大地電勢為零，則導體球心O點電勢為： 根據(jù)導體靜電平衡條件和應用高斯定理可知，球殼內表面上感生電荷應為q 設球殼外表面上感生電荷為Q'以無窮遠處為電勢零點，根據(jù)電勢疊加原理，導體球心O處電勢應為： 假設大地與無窮遠處等電勢，則上述二種方式所得的O點電勢應相等，由此可得 故導體殼上感生的總電荷應是7、兩個半徑分別為和（)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內球殼帶電+，試計算：(1)外球

8、殼上的內表面帶電則為,外表面帶電為，其電勢大小；A、 B、 C、 D、0答案：A, B, C(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，外球殼上的內表面帶電則為,外表面帶電為，其電勢大小.A、B、C、D、答案： B, A,D解: (1)內球帶電；球殼內表面帶電則為,外表面帶電為，且均勻分布，其電勢(2)外殼接地時，外表面電荷入地，外表面不帶電，內表面電荷仍為所以球殼電勢由內球與內表面產生：(3)設此時內球殼帶電量為；則外殼內表面帶電量為，外殼外表面帶電量為 (電荷守恒)，此時內球殼電勢為零，且得 外球殼上電勢8、半徑為的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯(lián)，在與球心相距為處有一點電荷+，試求：

9、金屬球上的感應電荷的電量答案：-q/3解: 如圖所示，設金屬球感應電荷為，則球接地時電勢由電勢疊加原理有：得 9、一個半徑為R的各向同性均勻電介質球，相對介電常量為，球內均勻地分布著體密度為的自由電荷，試求球心與無窮遠處的電勢差答案： BA、B、C、 D、解： 由高斯定理可求得： 球內： 球外： 10、有三個大小相同的金屬小球，小球1，2帶有等量同號電荷，相距甚遠，其間的庫侖力為試求：(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1，2后移去，小球1，2之間的庫侖力(2)小球3依次交替接觸小球1，2很多次后移去，小球1，2之間的庫侖力A、B、C、 D、答案： C, A解: 由題意知 (1)小球接觸

10、小球后，小球和小球均帶電,小球再與小球接觸后，小球與小球均帶電 此時小球與小球間相互作用力(2)小球依次交替接觸小球、很多次后，每個小球帶電量均為. 小球、間的作用力11、在半徑為的金屬球之外包有一層外半徑為的均勻電介質球殼，介質相對介電常數(shù)為，金屬球帶電試求：(1)電介質內的場強電介質外的場強A、B、C、 D、答案：A, C(2)電介質層內的電勢電介質外的電勢；A、B、C、 D、答案： C, A(3)金屬球的電勢答案： AA、B、C、 D、解: 利用有介質時的高斯定理(1)介質內場強;介質外場強 (2)介質外電勢介質內電勢 (3)金屬球的電勢一、判斷題1、處于靜電平衡的導體表面不是等勢面。錯

11、誤分析：處于靜電平衡的導體是等勢體，導體表面是等勢面，此時導體表面及內部不會發(fā)生電荷的定向運動。2、導體的靜電平衡狀態(tài)是指導體內部和表面都沒有電荷的狀態(tài) 錯誤分析：靜電平衡狀態(tài)指的是導體內沒有電荷的定向運動，而不是指沒有電荷。3、處于靜電平衡的空腔導體，當空腔內有電荷 時,內表面因靜電感應出現(xiàn)等值異號的電荷，外表面有感應電荷（電荷守恒）。正確4、 空腔導體可以屏蔽外電場, 使空腔內物體不受外電場影響。這時,整個空腔導體和腔內的電勢也必處處相等。正確5、將一個帶正電的帶電體A從遠處移到一個不帶電的導體B附近，導體B的電勢將降低。錯誤分析：不帶電的導體相對無窮遠處為零電勢。由于帶正電的帶電體A移到

12、不帶電的導體B附近時，在導體B的近端感應負電荷；在遠端感應正電荷，不帶導體的電勢將高于無窮遠處，即導體B的電勢將升高。6、將電介質放置到外電場中，電解質就會立刻失去了絕緣性。錯誤分析：電介質內幾乎不存在自由電子（或正離子）。當把電介質放置到外電場中，電解質中的電子等帶電粒子，也只能在電場力的作用下作微觀的相對移動。只有在強電場的作用下被擊穿，電解質中的一些電子才被解除束縛而作宏觀的定向運動，從而失去絕緣性。7、高斯面內不包圍自由電荷，則面上各點電位移矢量為零錯誤分析：根據(jù)有介質時的高斯定理，高斯面內不包圍自由電荷時，高斯面上的電位移通量等于零，即，但不能由此推出8、高斯面上處處為零，則面內必不

13、存在自由電荷；錯誤分析：根據(jù)高斯定理，高斯面上處處為零，則高斯面上的電位移通量等于零，即，為零即表示面內自由電荷的代數(shù)和為零。9、 高斯面的電位移（）通量僅與面內自由電荷有關；正確分析：高斯面的電位移通量，為面內自由電荷的代數(shù)和。10、若電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分不等于零，曲面內一定有極化電荷。錯誤分析：電位移矢量沿任意一個閉合曲面的積分不等于零，根據(jù)高斯定理，只能判斷出曲面內一定有自由電荷。11、在靜電場中，作閉合曲面S，若有 （式中為電位移矢量），則S面內必定自由電荷和束縛電荷的代數(shù)和為零；錯誤分析：根據(jù)高斯定理，高斯面上的電位移通量等于零，則面內自由電荷的代數(shù)和為零12、介質中的

14、電位移矢量與自由電荷和極化電荷的分布有關正確13、各相同性的均勻電介質充滿整個電場并且自由電荷的分布不發(fā)生變化時，電介質中的電場強度一定等于沒有介質時該點電場強度的倍。正確14、電介質中的電場強度一定等于沒有介質時的該點電場強度的倍錯誤分析：對于正確各相同性的均勻電介質，表述應該如下，電介質充滿整個電場并且自由電荷的分布不發(fā)生變化時，電介質中的電場強度一定等于沒有介質時該點電場強度的倍。三 填空題：1、任意帶電體在導體體內(不是空腔導體的腔內)(填會或不會)產生電場,處于靜電平衡下的導體，空間所有電荷(含感應電荷)在導體體內產生電場的(填矢量和標量)疊加為零.答案：會, 矢量分析：答案依次為會

15、, 矢量。注意電場是矢量場。2、處于靜電平衡下的導體表面(填是或不是)等勢面, 導體表面附近的電場線與導體表面相互,導體體內的電勢(填大于,等于或小于) 導體表面的電勢.答案：是, 垂直, 等于分析：答案依次為 是, 垂直, 等于。要注意靜電平衡下的導體是等勢體，表面電勢也相等。導體表面的電場線必須與導體表面相垂直，否則導體表面就不可能成為等勢面。3、一孤立帶電導體球，其表面處場強的方向_；當把另一帶電體放在這個導體球附近時，該導體球表面處場強的方向_。答案：垂直于表面 仍垂直于表面分析：垂直于表面 仍垂直于表面靜電平衡時導體是等勢體，導體表面的場強方向必定滿足垂直于表面。4、在靜電場中，電位

16、移線從_出發(fā)，終止于_.答案：正的自由電荷、負的自由電荷分析：答案依次為 正的自由電荷、負的自由電荷。要注意電位移與電場之間的關系。5、在相對介電常數(shù)為的各向同性電介質中，電位移矢量與場強之間的關系是_。答案：0rE分析：答案為6、兩個點電荷在真空中相距為時的相互作用力等于它們在某一“無限大”各項同性均勻電介質中相距為時的相互作用力，則該電介質的相對介電常數(shù)=_。答案：r12 / r22分析：答案為 。根據(jù)題設有，因此7、分子的正負電荷中心重合的電介質叫做_電介質。在外電場作用下，分子的正負電荷中心發(fā)生相對位移，形成_。答案：無極分子, 電偶極子分析：答案為無極分子 電偶極子。無機分子電荷中心

17、重合，有機分子正負電荷中心形成電偶極子。8、如圖所示，平行板電容器中充有各向同性均勻電介質。圖中畫出兩組帶箭頭的線分別表示電力線、電位移線。則其中（1）為_，（2）為_。答案：電位移線， 電力線分析：答案依次為電位移線、電力線。電位移是從正的自由電荷到負的自由電荷，而電力線還包括從自由電荷到極化電荷。9、半徑為和的兩個同軸金屬圓筒，其間充滿著相對介電常數(shù)為的均勻介質。設兩筒上單位長度帶電量分別為和，則介質中的電位移矢量的大小D_，電場強度的大小,E_。答案：l/(2pr)， l/(2pe0er)分析：答案依次為、。根據(jù)有電介質時的高斯定理可以得到相對介電常數(shù)為的均勻介質中電位移矢量的大小，再由

18、便可得到電場強度的的大小。10、 一點電荷q被放在一個介電常量為的有限大各向同性均勻電介質球的中心，則在介質球外距球心為r處的P點的場強大小EP_ 答案：11、 描述電介質極化強度的物理量電極化強度的定義式是_，它的物理意義是_答案：p/V, 某點附近單位體積中的分子電矩矢量和分析：答案依次為、某點附近單位體積中的分子電矩矢量和。12、平板電容器充電后斷開電源，場強為E0，現(xiàn)充滿相對介電常數(shù)為的電介質，則其極化強度為。答案：e0(1-1/er) E分析：答案為， 具體表達式如下：二、選擇題1、一帶正電荷的物體M，靠近一不帶電的金屬導體N，N的左端感應出負電荷，右端感應出正電荷，若將N的左端接地

19、，如圖所示，則答案：B（A） N上的負電荷入地（B） N上的正電荷入地（C） N上的電荷不動（D） N上所有電荷都入地分析：選（B）。導體N接地表明導體N為零電勢，即與無窮遠處等電勢，這與導體N在哪一段接地無關。3、有一帶正電荷的大導體，欲測其附近P點處的場強，將一電荷量為q0 （q0 >0 ）的點電荷放在P點，如圖所示，測得它所受的電場力為F若電荷量q0不是足夠小，則 （A） F/ q0比P點處場強的數(shù)值大；（B） F/ q0比P點處場強的數(shù)值?。唬–） F/ q0與P點處場強的數(shù)值相等；（D） F/ q0與P點處場強的數(shù)值哪個大無法確定答案：B分析：選（B）。q0電量不是足夠小，將影

20、響導體上電荷的分布，近端的電荷在庫侖力的作用下原理P點，因此選B。4、有一接地的金屬球，用一彈簧吊起，金屬球原來不帶電若在它的下方放置一電量為q的點電荷，則答案：C(A)只有當q>0時，金屬球才下移(B)只有當q<0時，金屬球才下移(C)無論q是正是負金屬球都下移(D)無論q是正是負金屬球都不動 分析：選（C）q不論正負，由于接地，金屬球上的出現(xiàn)的感應電荷中只保留與q異號的電荷，因此在庫侖力的作用下，金屬球都要下移。5、把A，B兩塊不帶電的導體放在一帶正電導體的電場中，如圖所示。設無限遠處為電勢零點，A的電勢為UA，B的電勢為UB，則答案：D（A） UB>UA0（B） UB&

21、gt;UA=0（C） UB=UA（D） UB< UA分析：選（D）?？梢愿鶕?jù)電場線的分布來判斷電勢的高低。6、半徑為R的金屬球與地連接在與球心O相距d =2R處有一電荷為q的點電荷如圖所示，設地的電勢為零，則球上的感生電荷為 (A) 0 (B) (C) - (D) -q 答案：C分析：選（C）。由已知題設，電勢疊加有，所以感生電荷總量為7、如圖所示，兩同心金屬球殼，它們離地球很遠，內球殼用細導線穿過外球殼上的絕緣小孔與地連接，外球殼上帶有正電荷，則內球殼： (A) 不帶電荷 (B) 帶正電荷 (C) 帶負電荷 (D) 內球殼外表面帶負電荷，內表面帶等量正電荷答案：C分析：選（C）。外球殼

22、有正電荷，由于接地，則大地中的負電荷進入內球殼。8、一帶電孤立導體，處于靜電平衡時其電荷面密度的分布為。已知面元dS處的電荷面密度為，如圖所示，則導體上除dS面元處的電荷以外的其它電荷在dS處產生的電場強度的大小為 (A) (B) (C) (D) 答案：B分析：選（B）。帶電導體表面的場強大小與表面電荷面密度的關系，考慮面元dS鄰近處的場強，可將dS看成無限大帶電平板，因此電荷元兩側的場強的大小都為，方向沿離開的方向。所以其它電荷在導體內與點緊鄰處的場強的大小等于，方向與電荷元的場強的方向相反，垂直于導體表面向外。為使全部電荷分布在導體外點處的場強等于，則要求其它電荷在導體外點處的場強與在導體

23、內與點緊鄰處的場強大小、方向都相同。其它電荷在面元所在處產生的場強為9、一均勻帶電球體，總電量為+Q，其外部同心地罩一內、外半徑分別為,的金屬球殼，設無窮遠處為電勢零點，則在球殼內半徑為（）的點處的場強和電勢為（A）、（B）、（C）、（D）、答案：D分析：選（D）。球殼達到靜電平衡后，球殼的內表面帶-Q的感應電荷，外表面帶+Q的感應電荷，球殼內部場強為零，球殼為等勢體。點處的電勢就等于球殼表面的電勢，故。10、A，B為兩導體大平板，面積均為S，平行放置，A板帶電荷+Q1，B板帶電荷+Q2，如果使B板接地，則AB間電場強度的大小E為（A）、（B）、（C）、（D）、答案：C分析：選（C）。B板接地后，將出現(xiàn)-Q1的感應電荷，正電荷進入大地。因此AB間電場強度的大小E=11、帶電時為的導體A移近中性導體B，在B的近端出現(xiàn)感應電荷,遠端出現(xiàn)感應電荷,這時B表面附近P點的場強為，問是誰的貢獻？（A）、只是的貢獻（B）、只是和的貢獻 （C）、只是，的總貢獻 （D）、只是P點附近面元上電荷的貢獻答案：C分析：選（C）。注意空間一點場強是空間所有電荷共同產生的結果。12、同心導體球與導體球殼周圍電場的電力線分布如圖所示，由電力線分布情況可知球殼上所帶總電量為A、q>0