泰勒定理及其應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文 目 錄題目.2摘要.2關(guān)鍵詞.2一、 泰勒定理的證明.2二、 泰勒定理的推廣.7三、 泰勒定理的應(yīng)用.8參考文獻(xiàn).17英文摘要.17泰勒定理及其應(yīng)用謝玉榮(200311533)(數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)03級(jí)蒙班)指導(dǎo)老師：斯欽摘要:本文介紹了泰勒定理的幾種不同的證明方法其中包括一個(gè)新的證明，并且討論了推廣和應(yīng)用.關(guān)鍵詞:Taylor公式 推廣 極限 近似值 等式不等式本文介紹了泰勒定理的三個(gè)不同的證明和一些應(yīng)用,泰勒定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有十分重要的地位,在微積分中很多不易解決的問題都可以通過Taylor公式與泰勒級(jí)數(shù)來解決,本文著重介紹了Taylor公式的幾個(gè)應(yīng)用從這個(gè)應(yīng)

2、用可以看出他們的用處是很廣泛的.一、 定理的證明積分第一中值定理 設(shè)、都在上可積并且不變號(hào)，mM.則有常數(shù)滿足mM,=如果還是在上連續(xù)的,則至少有一點(diǎn)使:=,積分中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上至少存在一點(diǎn)使得下式成立:= （b-a） ,牛頓萊布尼茲公式如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)則 =F(b)-F(a)泰勒定理如果函數(shù)在含有點(diǎn)的某區(qū)間內(nèi)具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)則當(dāng)時(shí)可以按的方冪展開為=+(1)其中=稱為余項(xiàng)公式(1)稱為n階Taylor公式.=,介于與之間這時(shí)稱為拉格朗日型余項(xiàng).=稱為皮亞諾型余項(xiàng).證明一:利用上面幾個(gè)定理證明泰勒定理在區(qū)間內(nèi)具有一階直到n+1階

3、的連續(xù)導(dǎo)數(shù)所以,則在上具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)（不妨設(shè)<）,由積分中值定理與牛頓萊布尼茲公式可得:,在與之間,=即=+,在與之間又由積分中值定理與牛頓萊布尼茲公式得: , 在與之間 所以=對不同的（<）在上都有=由此可得=是的函數(shù),類似可得也是的函數(shù)將等式=兩邊取到的積分得:=而=對因?yàn)槭堑暮瘮?shù)且不變號(hào)由積分第一中值定理得=其中mM(m與M分別是在上的最小值與最大值)于是=在上連續(xù)由連續(xù)函數(shù)的介值定理和最小值與最大值定理知至少存在一點(diǎn)使得=.即=從而 =即=+,在與之間同理有,在與之間 所以 =,在與之間，將等式兩邊取到的積分得:=在與之間 , 上式兩邊再取到的積分得：=,在

4、與之間，重復(fù)上述過程最后得:=+其中=,在與之間,未必相同，但他們都在與之間記=所以=,在與之間.證明二:利用柯西中值定理證明泰勒定理作輔助函數(shù): =+與 , 無妨設(shè)<則函數(shù)在上具有一階直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)并且在上的各階導(dǎo)數(shù)均不為零我們可以在上逐次應(yīng)用柯西中值定理得到定理的證明，上面作輔助函數(shù)時(shí)把換成變量然后n+1次應(yīng)用柯西中值定理,若作輔助函數(shù)時(shí)把換成變量只應(yīng)用一次柯西中值定理即可.即=+與=顯然函數(shù)在上連續(xù)可導(dǎo)且及于是有所以證明三：證明前我們先看一個(gè)引理引理 設(shè)函數(shù)滿足：() 在上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)；()在內(nèi)n+1階可導(dǎo)；()，且=（或者，且=0）那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得=0.

5、下面我們將給出泰勒定理的一個(gè)新證明由條件,在與之間不妨設(shè)=+(2)那么在上存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)且注意到(2)有，從而由引理可知存在使得，這里在與之間,而故有，所以帶入(2)得=+,在與之間 , 即定理成立.說明：在公式(1)中當(dāng)n=0時(shí)有=+這正是拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.當(dāng)=0時(shí)記=則公式(1)為=+(3)其中= 公式(2)稱為麥克勞林公式.二、 泰勒定理的推廣定理 設(shè)、在()內(nèi)存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且0，(),那么對()有=+(4), 其中=,在與之間.(其中()是的去心鄰域).證：首先假設(shè)()有0,(=0,1,2,n)否則將于引理矛盾，故先設(shè)

6、(5),那么由題設(shè)知在上存在直到n+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，依引理知存在使得，這里在與之間而注意到故有結(jié)合0，就有,帶入(5)得即知定理成立.三、 定理的應(yīng)用1. 計(jì)算極限例1. 求下列極限.解：因分子關(guān)于的次數(shù)為2 ，所以例2.求 分析：本題是“”型，可以利用洛比達(dá)法則求極限，但比較復(fù)雜，現(xiàn)在利用公式求解.解：所以 從而有又當(dāng)時(shí)故 例3.證明 證：已知兩式相減有即令得即又其中 , 則于是有.例4.設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在且在上有界，試證。 證：要證即要證明當(dāng)時(shí)，利用公式，即 （6） 設(shè)因有界，所以故由（6）則，首先可取充分小，使得然后將固定，因所以當(dāng)時(shí),從而所以.2.近似計(jì)算例1.計(jì)算使誤

7、差不超過解：由麥克勞林公式有=（0）欲使<只需取n4于是=1.3956例2.求的近似值，精確到解：因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的（即不能用初等函數(shù)表示），現(xiàn)用公式的方法求的近似值. 在的展開式中以 代 得 逐項(xiàng)積分得= =上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由其余項(xiàng)的估計(jì).所以=0.746836例3.求的近似值，精確到0.0001.解：因?yàn)?=,() 所以=, ()對上式兩邊從0到逐項(xiàng)積分得=,(),令=1則有=又交錯(cuò)級(jí)數(shù)的誤差估計(jì)取前三項(xiàng)之和作為近似值就可達(dá)到要求誤差不超過所以=0.94613.證明不等式和等式例1.設(shè)在上有界導(dǎo)數(shù)，時(shí)試證時(shí).證: 所以例2.設(shè)在上二次可微且，證明不等式。 證：不

8、妨設(shè)位非常值函數(shù)，于是由題設(shè)知對于任意及任意據(jù)公式得兩式相減得因此特別取 得即例3.設(shè)二次可導(dǎo)函數(shù)且，而為上連續(xù)函數(shù)證明. 證：設(shè)由于為二次可導(dǎo)且，所以有于是 兩邊取0到的積分得即 例4.設(shè)在上二次可微，試證，有. 證：取，將在展開以乘此式兩端然后n個(gè)不等式相加注意得 例5.設(shè)區(qū)間，任給，有，則任給時(shí)有. 分析：本題中有條件，說明具有二階導(dǎo)數(shù)，所以可用的一階公式證之。 證：在區(qū)間上任取一點(diǎn)，已知在區(qū)間上存在二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)公式，任給，在的一階公式為,（介于與之間）.已知，即任給，有令有.例6.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且滿足，證明：在內(nèi)至少有一點(diǎn)使. 證:令，由(1)得注意到，而又因此，由上述泰

9、勒展開式得,.例7.設(shè)在上三階可導(dǎo)，試證：存在使得.證： 設(shè)為使下式成立的實(shí)數(shù)令，則根據(jù)羅爾定理存在使得， 即而將在泰勒展開有:其中,比較得其中得證.例8.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)且證：使得內(nèi)0(7) 證明：為了 在的鄰域內(nèi)恒等于零我們將(7)式右端的在處按公式展開注意到我們有：=從而=(8) 今限制 則在上連續(xù)有界，使得M我們只證M0即可M=()()*2MM即0MM矛盾,所以M0,在上0.參考文獻(xiàn)：1:方企勤.數(shù)學(xué)分析（第一冊）,第一版M,北京;高等教育出版社19862:江林.數(shù)學(xué)分析中的問題和反例,第一版M,云南;云南科學(xué)出版社 19903:子壽.數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析第一版M,北京;高等

10、教育出版社 19934:唐仁獻(xiàn).泰勒公式的新證明及其推廣J,湖南;湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào)2005,115:齊成輝.泰勒公式的應(yīng)用J,陜西;陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)2003,46:李福興.泰勒公式的若干應(yīng)用J,梧州;梧州師專學(xué)報(bào)1997,3TAYLOR THEOREM AND APPLICATION OF THAT Xieyurong(200311533)Mathematics and ScienceAcademyMathematics and Applied Mathematics 03classes MongoliaDirected by Siqin Abstract This article introduce several kinds of methods of proving Taylor theore