連續(xù)的條件畢業(yè)論文

1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2014屆畢業(yè)論文連續(xù)的條件作者：高濤 指導(dǎo)老師：楊翠摘要 本文從函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的概念和關(guān)系出發(fā)，主要對一元函數(shù)在不同類型區(qū)間上函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)的判定方法進(jìn)行了討論，總結(jié)和應(yīng)用，并且將部分判定一元函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的方法推廣到了二元函數(shù)，使大家對函數(shù)連續(xù)和一致連續(xù)的內(nèi)涵有更全面的理解和認(rèn)識。關(guān)鍵詞 函數(shù) 連續(xù) 連續(xù)函數(shù)1 引言 我們知道,函數(shù)的連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程中的一個重要的內(nèi)容.函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù),是指函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),它反映函數(shù)在該區(qū)間上某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì),從幾何形象上粗略地說,連續(xù)函數(shù)在坐標(biāo)平面上的圖像是一條連綿不斷的曲線,我們不能滿足于

2、這種直觀的認(rèn)識,因此,本文給出函數(shù)連續(xù)性的精確定義,以及函數(shù)連續(xù)的條件,并拓展到二元函數(shù)的連續(xù)性使大家對函數(shù)連續(xù)性的內(nèi)涵有更全面的理解和認(rèn)識.2一元函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性定義1 設(shè)函數(shù)在某內(nèi)有定，,若，則稱在連續(xù).為引入函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的另一種表達(dá)，記 ，稱為自變量（在點(diǎn)）的增量或改變量.設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點(diǎn)）的增量記為引入增量概念之后，易見“函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)”等價于.由于函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而也可直接用方法來敘述，即：若任給的，存在，使得當(dāng)是有，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).一元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件定理2.1 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：在點(diǎn)既是右連續(xù)，又是左連續(xù)，即：，一元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充

3、分條件定理2.2若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則 在點(diǎn)連續(xù).證明 在可導(dǎo),，可知 且，可得所以又由函數(shù)連續(xù)的定義可知 在點(diǎn)連續(xù)3一元函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義定義2 若函數(shù)在區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù)一元函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)的定義.定理3.1若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù)，則在點(diǎn)處右連續(xù)，在點(diǎn)處左連續(xù)，若在半開半閉區(qū)間上連續(xù)，則在點(diǎn)處連續(xù)，在點(diǎn)處左連續(xù).一元函數(shù)區(qū)間連續(xù)的充分條件定義3設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對任給的，存在，使得對任何，只要，就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).定理3.2若函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，反之不成立.證明 采用反證法,假設(shè) 在上非一致連續(xù),即對,在區(qū)間內(nèi)至少存在兩點(diǎn) 及 , 雖

4、然 ,但 .現(xiàn)取 ,那么在內(nèi)存在兩點(diǎn) 及 . 雖然,但 .應(yīng)用魏爾斯特拉斯定理,在有界數(shù)列中存在一個收斂的子列 ,這里, ，再由于 , 所以,亦即 .因為 ,所以 ,并且 對一切 成立.另一方面,由于 在 連續(xù),亦即.由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,有.而 .這同 對一切 成立相矛盾.即假設(shè)不成立.即原命題成立. 函數(shù)為簡單函數(shù)可知其在區(qū)間上連續(xù)，但不一致連續(xù)可取，對無論多么小的正數(shù)，只要取與，則雖有，但，所以在內(nèi)不一致連續(xù)，即反之不成立.幾種常用的一致連續(xù)的方法定理3.3（康托定理） 若函數(shù)在上連續(xù)，則在上一致連續(xù).這個定理的證明方法很多，在華東師大版數(shù)學(xué)分析上冊中，運(yùn)用了有限覆蓋定理和致密性定

5、理來分別證明，本文選用閉區(qū)間套定理來證明。分析：由函數(shù)一致連續(xù)的實質(zhì)知，要證在上一致連續(xù)，即是要證對，可以分區(qū)間成有限多個小區(qū)間，使得在每一小區(qū)間上任意兩點(diǎn)的函數(shù)值之差都小于。證明：若上述事實不成立，則至少存在一個，使得區(qū)間不能按上述要求分成有限多個小區(qū)間。將二等分為 、則二者之中至少有一個不能按上述要求分為有限多個小區(qū)間，記為；再將二等分為 、依同樣的方法取定其一，記為；.如此繼續(xù)下去，就得到一個閉區(qū)間套，n=1，2， ，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一一點(diǎn)c滿足 （3-31）且屬于所有這些閉區(qū)間，所以，從而在點(diǎn)連續(xù)，于是， 當(dāng)時,就有 。 又由（3-31）式，于是我們可取充分大的k，使,從而對于

6、上任意點(diǎn)，都有。因此，對于上的任意兩點(diǎn)， 由（3-32）都有 。 這表明能按要求那樣分為有限多個小區(qū)間，這和區(qū)間的取法矛盾，從而得證。定理3.4 函數(shù)在內(nèi)一致連續(xù)在連續(xù)，且與都存在。證明： 若在內(nèi)一致連續(xù)，則對，當(dāng)時，有 ， 于是當(dāng)時，有。 根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，極限存在，同理可證極限也存在，從而在連續(xù)，與都存在。 若在連續(xù)，且和都存在，則令 于是有在閉區(qū)間上連續(xù)，由Contor定理，在上一致連續(xù)，從而在內(nèi)一致連續(xù)。推論 在內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是在內(nèi)連續(xù)，且都存在。定理3.5 若函數(shù)在區(qū)間上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，即存在常數(shù)，使得對都有 成立，則在區(qū)間上一致連續(xù)。證明：因為函數(shù)在區(qū)

7、間上滿足Lipschitz條件，即，有，于是對，取，只要，就有。故函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。定理3.6 函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，只要， 就有 。 證明： 由在上一致連續(xù)知，使得，只要，就有 。 又，知，對上述存在，有 ， 從而對有 ， 即 。 若不然，則必存在，雖然， 但是 。 顯然 ， 但是 。 推出矛盾，故在一致連續(xù)。定理3.7設(shè)函數(shù),在有界區(qū)間上一致連續(xù)，則在有界區(qū)間上一致連續(xù).證明： ,在有界區(qū)間上一致連續(xù) ,有界令，且由一致可得，當(dāng)時，有， ，當(dāng)時，有，取 ， 當(dāng)，有 。 故在有界區(qū)間上一致連續(xù)。定理3.8 函數(shù)在 上一致連續(xù),又在上一致連續(xù), .用定義證明：在 上一致連續(xù).證明由在一致連

8、續(xù),故,使當(dāng),且 時,有 (i)同理,在上一致連續(xù),對上述,存在,使當(dāng) ,且 時,有 (ii)令 ,則對 ,當(dāng) 且 時,（1）若由（i）式有（2）若,由（ii）式也有（3）若時,則所以 .從而得證 在 上一致連續(xù).4二元函數(shù)在一點(diǎn)和區(qū)間的連續(xù)性定義4 設(shè)為定義在區(qū)域上的二元函數(shù)，（它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)）。若即對，使得當(dāng) 時，有 ， 則稱函數(shù) 關(guān)于區(qū)域在點(diǎn)連續(xù)。若二元函數(shù)在區(qū)域上任意一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域上連續(xù)。定義5函數(shù)在區(qū)域上，如果對，（僅與有關(guān)），當(dāng)且時，有， 則稱函數(shù)在上一致連續(xù)。定理4.1（一致連續(xù)性定理） 若函數(shù) 在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則 在上一致連續(xù)。證明：致密性定理：假設(shè)

9、在上不一致連續(xù)，則 ，使得，但 。 令（），在中總能找到相應(yīng)的，使得，但 。 在有界閉區(qū)域中由致密性定理有，平面點(diǎn)列 必有收斂子列 ，且。同時由 ， 得 。最后，由，有 。 令，由二元函數(shù) 在的連續(xù)性及數(shù)列極限的保不等式性，得 ， 從而推出矛盾。故在上一致連續(xù)。定理4.2 二元函數(shù)在有界開區(qū)域上在上連續(xù)且存在（其中表的邊界）。證明： 二元函數(shù)在有界開區(qū)域上一致連續(xù)，則必然在上連續(xù)，下面證明存在。（1） 由二元函數(shù)在有界開區(qū)域上一致連續(xù)，則，當(dāng)時，就有 。 對，則。任取，則 ，且。 于是對上述，當(dāng)時，有 ， 從而 。 由柯西收斂準(zhǔn)則知存在。（2） 若且 ， 則由（1）有與都存在。于是，對上述，使

10、得當(dāng)時，有 且， 從而當(dāng)時，有 。 所以 ， 即 。 結(jié)合、，由歸結(jié)原則得存在。 令 則對（表示的閉包），有。當(dāng)時，由為開區(qū)域知：，當(dāng)時。因為在連續(xù)，所以 ， 故在連續(xù)。當(dāng)時，有 ， 其中為中趨于的點(diǎn)列。對中任一趨于的點(diǎn)列，由存在，有 。 由歸結(jié)原則知 ， 所以在連續(xù)。綜上所述，在上連續(xù)，從而一致連續(xù)。定理4.3 二元函數(shù)在區(qū)域上一致連續(xù)對，當(dāng)時，就有 。 證明： 由函數(shù) 在區(qū)域上一致連續(xù)，則，就有 。 任取，則對上述時，有 ， 從而有 ， 即是 。 假設(shè)函數(shù)在區(qū)域上不一致連續(xù)，則，總，從而有 。 這與 相矛盾，故函數(shù)在區(qū)域不一致連續(xù)。結(jié)束語 函數(shù)連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中重要的內(nèi)容，通過本文給出函數(shù)連

11、續(xù)性的精確定義，讓我們對函數(shù)的連續(xù)性有了更加深刻的認(rèn)識，并且了解到函數(shù)連續(xù)的充要條件和充分條件，其中一致連續(xù)是函數(shù)連續(xù)最重要的充分條件，介紹了幾種常見可以推出一致連續(xù)的方法，將一元函數(shù)連續(xù)的方法推廣到二元函數(shù)，判斷函數(shù)連續(xù)性的方法是多種多樣的,只要我們靈活多變,就能做到事半功倍.所以我們要熟練掌握連續(xù)性的幾種判定定理.即前述的充要條件,充分條件.這樣對于解決連續(xù)性的問題才會事半功倍.參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(第3版)M北京：高等教育出版社，2001 2李克典，馬云苓數(shù)學(xué)分析選講M廈門大學(xué)出版社，2005  3楊峻，何朝兵函數(shù)一致連續(xù)性的判定J安陽師范學(xué)院學(xué)校2

12、006   4冉凱.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性證明的幾個方法J西安聯(lián)合大學(xué)學(xué)報。2002。(4)：7173 5錢吉林等主編,數(shù)學(xué)分析題解精粹M,上海：崇文書局,2003.6吉米多維奇,數(shù)學(xué)習(xí)題集M,北京：人民教育出版社,1978.7裴禮文數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法M北京：高等教育出版社，2001    10劉廣云數(shù)學(xué)分析選講M哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000 8范新華判別函數(shù)一致連續(xù)的幾種方法J院學(xué)報，2004，17(4)：49519 瞿明清.淺談二元函數(shù)的一致連續(xù)性.滁州學(xué)院學(xué)報，2004；9：98-9910

13、Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004.Decisions of continuous functionAuthor:Gao Tao Supervisor:YANG CuiAbstract: From the concept and the relation of continuity and uniformly continuity of the function, we research the methods of decisions of continuity and uniformly continu