第8講立體幾何中的向量方法（二）

1、第8講 立體幾何中的向量方法（二）一、選擇題1兩平行平面，分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n(1,0,1)，則兩平面間的距離是()A. B. C. D3解析 兩平面的一個(gè)單位法向量n0，故兩平面間的距離d|·n0|.答案B2已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，則l與所成的角為 ()A30° B60° C120° D150°解析設(shè)l與所成的角為，則sin |cosm，n|，30°.答案A3長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1

2、與AE所成角的余弦值為 ()A. B. C. D.解析建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案B4已知直二面角­l­，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，點(diǎn)B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則CD()A2 B. C. D1解析如圖，建立直角坐標(biāo)系D­xyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案C5如圖，在四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2.ABCDCB，則二面角ABCD的大小為

3、()A.B.C.D.解析二面角ABCD的大小等于AB與CD所成角的大小.而22222|·|·cos ，即121492×2cos，cos，AB與CD所成角為，即二面角ABCD的大小為.故選B.答案B6如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小為60°，則AD的長(zhǎng)為()A. B.C2 D.解析 如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)設(shè)ADa，則D

4、點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m(x，y，z)則，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，則由cos60°，得，即a，故AD.答案 A二、填空題7若平面的一個(gè)法向量為n(4,1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a(2，3,3)，則l與所成角的正弦值為_(kāi)解析cosn，a.又l與所成角記為，即sin |cosn，a|.答案.8若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則_.解析由已知得，8 3(6)，解得2或.答案2或9已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1

5、上，且B1E2EB，CF2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1由已知條件A(1,0,0)，E，F(xiàn)，設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，面AEF與面ABC所成的二面角為，由得令y1，z3，x1，則n(1,1，3)平面ABC的法向量為m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案10在三棱錐OABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OAOBOC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值是_解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OAOBOC1，則A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故(1,1,0)，(

6、1,0,1)，.設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則由得令x1，得n(1,1,1)故cosn，所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為，其正切值為.答案三、解答題11如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩垂直，ABBCBD4，E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn)(1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值；(2)求E到平面ACD的距離；(3)求EF與平面ACD所成角的正弦值解如圖，分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)(1)(0,0，4)，(2,2,2)，|cos，|，

7、異面直線AB與EF所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n(x，y,1)，則(4,0，4)，(4,4,0)，xy1，n(1,1,1，)F平面ACD，(2,2,2)，E到平面ACD的距離為d.(3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cosn，|12如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.(1)求證：BD平面PAC；(2)求二面角PBDA的大小(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，(0,0,3)，(2，6,0)

8、，(2，2,0)·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面PAC.(2)解設(shè)平面ABD的法向量為m(0,0,1)，設(shè)平面PBD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0.(2，0,3)，解得令x，則n(，3,2)，cosm，n.二面角PBDA的大小為60°.13如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1BD.(1)證明：DC1BC.(2)求二面角A1BDC1的大小(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于D為AA1的中點(diǎn)，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD

9、，DCBDD，所以DC1平面BCD.因?yàn)锽C平面BCD，所以DC1BC.(2)解由(1)知BCDC1，且BCCC1，則BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1兩兩相互垂直以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，則即可取n(1,1,0)同理，設(shè)m(x，y，z)是平面C1BD的法向量，則即可取m(1,2,1)從而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小為30°.

10、14如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值解 方法一：(1)證法一：取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GFDE，AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.又DE2AB，四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.證法二：取DE的中點(diǎn)M，連接AM、FM，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)MCE.AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB.又ABDEME，四邊形

11、ABEM為平行四邊形，則AMBE.FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE，F(xiàn)M平面BCE，AM平面BCE.又FMAMM，平面AFM平面BCE.AF平面AFM，AF平面BCE.(2)證明：ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE內(nèi)，過(guò)F作FHCE于H，連接BH，平面BCE平面CDE，F(xiàn)H平面BCE.FBH為BF和平面BCE所成的角設(shè)ADDE2AB2a，則FHCFsin45°a，BF2a，在RtFHB中，sinFBH.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為.方法二：設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn).(1)證明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面