2020屆河南省天一大聯(lián)考高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2323 頁2020 屆河南省天一大聯(lián)考高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1 1.已知集合A 1,1,3,5，B 0,1,3,4,6，則AUB()A A.1,3B B.1C C.1,0,1,1,3,4,5,6D D.1,0,1,3,4,5,6【答案】D D【解析】 根據(jù)并集的定義可求出集合AUB. .【詳解】故選：D.D.【點(diǎn)睛】2 2.設(shè)復(fù)數(shù)z 1 iA A .22【答案】A A【解析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)z z 表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的模長公式可計(jì)算出Z. .【詳解】故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基

2、礎(chǔ)題3 3.已知向量m 3,0,n 3,0,qv mv vq n，貝Uvq為（)A A. 7 7B B .5C C .3D D .1【答案】 C C依題意,AUB1,1,3,5 U 0,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6. .本題考考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題B B .,5,5依題意z 1 i 22i 12 2i,1故z - 222222. .第2 2頁共 2323 頁rITrLTrrrLrir【解析】 由題意可知nm，由q mqn得出qqm，可得出q m q m 0，由此可得出|q |m，進(jìn)而得解. .【詳解】rurrirr rrurrir由題意可知nm，由q mq n得出qmqm,r u

3、r r ur刨r2i2“r ,ir口_2q m q m 0，即qm，因此，q m03. .故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的計(jì)算， 同時(shí)也考查了向量垂直的等價(jià)條件的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是得出nm，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. .4 4 近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的app相繼出世，其功能也是五花八門 某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用aPP的主要用途，隨機(jī)抽取了56290名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示，現(xiàn)有如下說法:app主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);2可以估計(jì)不足10%的大學(xué)生使用app主要玩游戲；13可以估計(jì)

4、使用app主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的. .4其中正確的個(gè)數(shù)為（）一戰(zhàn)人H天4眼）1看*山、UiM*族Hr-1玩囹嚨r注礦r 5啪丄1聽?zhēng)院絃7_ m旳址的人匚授闈同興尊的人A A 0 0B B.1C C 2D D 3【答案】C C【解析】根據(jù)利用app主要聽音樂的人數(shù)和使用app主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷的正誤；計(jì)算使用app主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷的正誤；計(jì)算使用app主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷的正誤 綜合得出結(jié)論 可以估計(jì)使用第3 3頁共 2323 頁【詳解】 使用app主要聽音樂的人數(shù)為5380，使用app主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為44

5、50, 所以正確；8130使用app主要玩游戲的人數(shù)為8130，而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為56290,0.14，故56290超過10%的大學(xué)生使用app主要玩游戲，所以 錯(cuò)誤；165401使用app主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為16540，因?yàn)?，所以正確. .56290 4，故選：C.C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題. .5 5.記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S8q14，則（)A A.a2a$2B B.a2a84C.a2ay2D D.a2a?4【答案】 B B【解析】 由S8a114可得出a2a3a4aa6aya814，再利用等差數(shù)

6、列的基本性質(zhì)可得出結(jié)果. .【詳解】7 a a依題意，S8a1a2a3aaa6a?a$14，故2-14，即2a?a$4. .故選：B.B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題1 16 6 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a 43,b 106，C log550，則（）A A.cabB B.a c bC C.c b aD D. a a b b c c【答案】A A【解析】利用幕函數(shù)的單調(diào)性得出a、b、2三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào) 性得出c與2的大小關(guān)系，由此可得出a、b、c的大小關(guān)系. .【詳解】1 1111幕函數(shù)yx6在0，上為增函數(shù)，且1043166 6462，即b

7、 a 2;第4 4頁共 2323 頁對(duì)數(shù)函數(shù)y log5x在0,上為增函數(shù)，c log550 log525 2. .X第5 5頁共 2323 頁因此，c a b. .故選：A.A.【點(diǎn)睛】結(jié)合中間值法來比較，考查推理能力，屬于中等題【答案】B B出正確選項(xiàng). .【詳解】函數(shù),X 1,X 1,X 1,X 1XlgdlgdlgdlgdX 1X 1X 1X 1f X，該函數(shù)為偶U 1,，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,本題考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小比較,般利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的單調(diào)性7 7 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在2,上單調(diào)遞減的是ex11B B.f Xlg2X2X4X,X04X,X0In【解析】 分析每個(gè)

8、選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性及各函數(shù)在區(qū)間2,上的單調(diào)性，由此可得對(duì)于 A A 選項(xiàng)，函數(shù)XeXe11的定義域?yàn)镽,1對(duì)于Xe1Xe1X1 eX1 ex，該函數(shù)為奇函數(shù),ex1一，該函數(shù)在區(qū)間2,上單調(diào)遞增;B B 選項(xiàng)，解不等式，該函數(shù)的定義域?yàn)閄第6 6頁共 2323 頁當(dāng)X 2時(shí),1，則f內(nèi)層函數(shù)u2,上為減外層函數(shù)lg u為增函數(shù),所以，函數(shù)flg2,上單調(diào)遞減;第7 7頁共 2323 頁故選：B.B.【點(diǎn)睛】法是解答的關(guān)鍵， 考查推理能力， 屬于中等題 8 8 .已知長方體ABCD AB1GD1的表面積為208,AB BC AA118，則該長方體的外接球的表面積為【答案】A A可求出長方體外接

9、球的半徑，再利用球體表面積公式可計(jì)算出結(jié)【詳解】x24x x 0的圖象如下圖所對(duì)于 D D 選項(xiàng),函數(shù)f x In 1x2定義域?yàn)?1 U 1,x In2x 1 In該函數(shù)為偶函數(shù) 內(nèi)層函數(shù)u1、x21在2,上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y In u也為增函數(shù),所以，函數(shù)f X In 1x212,上單調(diào)遞增 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷,熟悉函數(shù)奇偶性的定義以及單調(diào)性的一些判斷方B B.106C C 56【解析】由題意得出ABABBC AA 18BC BC AA AB AA 104，由這兩個(gè)等式計(jì)算出2 2 2AB2BC2AA；,對(duì)于 C C 選項(xiàng)，作出函數(shù)f x【點(diǎn)睛】第 6 6 頁共 2323

10、頁依題意，AB BC AA118,AB BC BC AA AB AA,104,所以，2 2 2 2AB2BC2AA AB BC AA2 AB BC BC AA AB AA 116,故外接球半徑rBC AA29,2因此，所求長方體的外接球表面積S 4r2116. .故選：A.A.【點(diǎn)睛】本題考查長方體外接球表面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用長方體的棱長來表示外接球的半徑，考查計(jì)算能力，屬于中等題 x2y29 9 .記雙曲線C:二21 a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)p在雙曲a b2線C的漸近線I上，點(diǎn)P、P關(guān)于X軸對(duì)稱 若p F1PF2,4k1kpF1kpF2,其中kpF、k kpF

11、2、k1分別表示直線PF1、PF2、丨的斜率，則雙曲線C的離心率為（）A A. -5B B. .,3C C. ,5D D. 2、52 2【答案】A A【解析】設(shè)直線PF2的斜率為k，根據(jù)P F1PF2以及P R與PF1關(guān)于x軸對(duì)稱，可14 b21，由此可得出了1，由此可計(jì)算出雙曲線C的離心率. .【詳解】 不妨設(shè)直線PF2的斜率為k,由題易知k 0，且直線P F1與PF1關(guān)于x軸對(duì)稱，kPF1kPF1,1因?yàn)镻 F1PF2，所以直線P F1的斜率為 -，即kPFk1由4k1kPF1b2臨2可得4a1，即b21a24 所以， 雙曲線C的離心率為e.1 b:逅、a22故選:A.A.得出kPF1kP

12、F|第9 9頁共 2323 頁本題考查雙曲線離心率的求解，涉及到直線斜率的應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)要注意將垂直、對(duì)稱等關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題1010 .已知數(shù)列an滿足a14a27a3L【答案】C C【解析】利用3n 2 an的前n項(xiàng)和求出數(shù)列3n 2 an的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出an，然后利用裂項(xiàng)法可求出a?a38384L 821822的值. .【詳解】Q a4a27a3L3n 2 an4n. .當(dāng)n1時(shí)，a4 4 ；當(dāng)n2時(shí)， 由a14a27a3L3n 2 an4n,可得a 4a2gL3n5an 14 n 1,兩式相減，可得3n 2 an4,故an3n 2因?yàn)?a

13、a14 4 也適合上式，所以an43n 2161611依題意，an Qn 23n 1 3n43 3n1 3n 4 故, 16 111111,1116 1 15a?a3a3aLa21a?2L3 47710 10 1361643 4644故選：C.C.【點(diǎn)睛】 本題考查利用Sn求an，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題21111.已知函數(shù)f x 2sin xcos xcos 2cos x 1 sin，03n 2 an4n，貝ya2a3a3a4La21a225 - 00A3一4B.第1010頁共 2323 頁若fxf x,ff0，則()325A A.B.-C.D .-12346 6【答

14、案】D D【解析】利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)y f x的解析式為f x sin 2 x, 由f x f x可知函數(shù)y f x的一條對(duì)稱軸方程為x，可得出 的表達(dá)36式，再結(jié)合條件ff0可求出的值 2【詳解】依題意f xsi n2 xcos cos2xsi nsin 2x因?yàn)閒3xfx,所以x一為函數(shù)yf x圖象的一條對(duì)稱軸，6即-k,kZ，所以236k6,. .32因?yàn)閒2f0，所以sinsin 2,結(jié)合可得sinsin 5，又0故055，得5或52，解得22上或一（舍去）62故選：D.D.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題21212.已知拋物線C : x

15、 2py p 0的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線I的距離為2,直線 h h、J 與拋物線C分別交于M、N和M、P兩點(diǎn)，其中直線l2過點(diǎn)F,UULVMRuuv r RN，RxR,yR右yRMNP2，則當(dāng)MFN取到最大值時(shí)，MP()A A .14B B. 1616C C.18D D.20【答案】B B【解析】先求出P的值，得出拋物線C的方程為x24y，設(shè)M Xi,y）,N x2, y2,P X3, y3，由拋物線的定義以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出MF NF 2 MN，然后在第1111頁共 2323 頁MNF中利用余弦定理可求出cos MFN的最小值，由等號(hào)成立的條件可知為等邊三角形，可設(shè)直線12的方程為 y y .3x1.

16、3x1，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利【詳解】依題意，可知P2 2，設(shè)Mx1,y1，N x2,y2，P x3, y3，由余弦定理可得故選：B.B.【點(diǎn)睛】角的最值的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大，屬于難題二、填空題151313.2x2 的展開式中，含x4項(xiàng)的系數(shù)為 _x【答案】80【解析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，利用x的指數(shù)為4，求出參數(shù)的值，再將參數(shù)的值代入通項(xiàng)可得出結(jié)果. .MNF用韋達(dá)定理和拋物線定義可求出MP. .由拋物線定義可得比y 2因?yàn)閥RMNMFMNNF. .1,所以MFNF2 MN. .cos MFN2|NF|MNMF2 MF NF3 MFNF8 MF NF6MFNF|8MF|N

17、F|當(dāng)且僅當(dāng)MFNF時(shí)等號(hào)成立,MFN的最大值為-，此時(shí)MFN為等邊三角形,不妨直線MP的方程為 y y . . 3x3x 1 1，聯(lián)立4y，消去3x 1X3X314，故MP16. .本題考查利用涉及韋達(dá)定理同時(shí)也考查了拋物線中第1212頁共 2323 頁【詳解】152x2的展開式通項(xiàng)為Tk 1C；x2x2 5k1k5k10 3kC52x,x第1313頁共 2323 頁故答案為：80. .【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算可得出結(jié)果【詳解】y2x 11414 .設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足3x2 3y，則zx 3y4 02x

18、y的最大值為【答案】令10 3k 4，得k 2,因此,2x2的展開式中，含X4項(xiàng)的系數(shù)為d 2380. .173【解析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線z 2x y，觀察直線在y軸上截距y 2x 1聯(lián)立，解得3x2 3y故 z z 的最大值為zmax17故答案為:【點(diǎn)睛】173作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示觀察可知，當(dāng)直線z 2x第1414頁共 2323 頁y過點(diǎn)C時(shí)，直線z 2x y在y軸上的截距最大，此時(shí),z z 取得最大值,本題考查線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般利用平移直線法找出最優(yōu) 解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題x第 iiii 頁共 232

19、3 頁1515.已知長方體ABCD AQGD的體積為32,AB 2BC 4,E平面ABB*,若點(diǎn)E到直線AA的距離與到直線CD的距離相等，則DiE的最小值為 _. .【答案】4【解析】根據(jù)長方體的體積得出AAi4，然后以D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi所在直線分別為x、y、z z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E 2,y,z，根據(jù)已知條件得出y 4 z2，然后利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求出DiE的最小值. .【詳解】因?yàn)殚L方體ABCD AiBiCiDi的體積為VABCD A|B1CiDi32，AB 2BC 4，所以AAi4 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DDi所在直線分別為x、y、z

20、 z 軸建立如圖所示 的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)E 2,y,z，則點(diǎn)E到直線AAi的距離為y,點(diǎn)E到直線CD的距離為廠孑，.4 z242. 2z28z 24 4，故DiE的最小值屬于中等題 實(shí)數(shù)m的取值范圍為而Di0,0,4，故DiE本題考查空間涉及到空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用， 考查計(jì)算能力,i6i6.已知函數(shù)f xelnx,0 x2e,xm，若函數(shù)g xx m僅有i個(gè)零點(diǎn)，則為4. .第1616頁共 2323 頁【答案】0,em f xf xm【解析】令g x 0，得出，令h x，將問題轉(zhuǎn)化為直線y e eee與函數(shù)y h x的圖象有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，然后對(duì)m與 e e 的大小進(jìn)行分類討論， 利用數(shù)

21、形結(jié)合思想得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的等式或不等式，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】fxIn x,0 x m令g x 0，貝U fx m，得m，令h x - ee ee ,x mx則問題轉(zhuǎn)化為直線ym與函數(shù)yeh x的圖象有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m e時(shí)，ym1，此時(shí)函數(shù)yh x的圖象與直線y只有1個(gè)公共點(diǎn)e,1,ee符合題意；則In m -，如下圖所示,e m*；wiy ”-dyJnn0/丨memIn m1顯然一成下面解不等式Inm -,即_ememem只有1個(gè)公共點(diǎn),e第1717頁共 2323 頁In x1In x構(gòu)造函數(shù)F x,x 0,Fx，令F x 0，得x exx當(dāng)0 xe時(shí)，F(xiàn) x 0,當(dāng)x e時(shí)

22、，F(xiàn)x 0.第1818頁共 2323 頁1所以，函數(shù)y F x在x e處取得最大值，即F xmaxF e -,max_7e所以，當(dāng)m 0且m e時(shí)，不等式-恒成立，此時(shí)，0 m e. .m e剛In m 1/厶亠、即，由上可知，m e(舍去). .m e綜上所述，0 m e. .故答案為：0,e. .【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是對(duì)m與 e e 的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論， 并利用數(shù)形結(jié)合思想得出不等關(guān)系， 考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題 三、解答題1717.已知ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,sin A B2 si nA,uuuv ui

23、uvb 5,AC 3MC，ABM 2 CBM. .(1) 求ABC的大??；(2) 求ABC的面積 35【答案】(1 1); (2 2). .42uuiruuuuSBMCCM 1【解析】(1 1)設(shè)CBM，由AC 3MC可得出 ，再由SBMAAM 2求出cos的值，進(jìn)而可求得ABC的值；(2) 在ABC中，利用余弦定理可求出a的值，然后利用三角形的面積公式可求出該當(dāng)m e時(shí),1，若函數(shù)yh x的圖象與直線ym有1個(gè)交點(diǎn)，則有mIn m，eesin A B2sin A,結(jié)合正弦定理得出AB -2BC，代入SBMCSBMACMAM第1919頁共 2323 頁用，考查計(jì)算能力，屬于中等題1818 隨著

24、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具 現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和統(tǒng)計(jì)如圖所示. .(1)(1)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在6.5,7.5(時(shí))內(nèi)的頻率;三角形的面積【詳(1(1)因?yàn)閡urACumu3MC，所以點(diǎn)M在線段AC上，且AM 2CM，丄SBMC故 一SBMACMAM記CBM1則SBMC2BCBMsin，SBMA2AB BM sin2. .2因?yàn)閟in A B.2sinA，即sinC , 2sin A，即AB. 2BC，結(jié)合式，得SBMCBC BM sinSBMA. 2BC BM2sin cos12，可得cos因?yàn)?,，所以4，所以ABC

25、(2)在ABC中，由余弦定理可得b2a2c22ac cos ABC，即25 a2a2a，解得2.5.5.故SABC1 . acsin2ABC2a sin34【點(diǎn)本題考查利用余弦定理解三角形,同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，涉及共線向量的應(yīng)第2020頁共 2323 頁(2)(2)求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和的平均數(shù)(每組取該組的中間第2121頁共 2323 頁值作代表）；（3 3）以頻率估計(jì)概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時(shí)間之和在4.5,6.5（時(shí)）內(nèi)的周數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望 【答案】（1 1）0.35；（ 2 2）7 7 ；（ 3 3）分布列見解析；

26、數(shù)學(xué)期望5【解析】（1）用1減去頻率直方圖中位于區(qū)間3.5,6.5和7.5,10.5的矩形的面積之和可得出結(jié)果；（2 2）將各區(qū)間的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，再將所得的積全部相加即可得出所求平均數(shù)；3（3）由題意可知X：B4不，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量X的概率分布列，并利用二項(xiàng)分布的均值可計(jì)算出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望【詳解】（1 1）依題意，此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在故X的分布列為X0 01234P240110291323189811000025005000250010000故E X 4 6. .105【點(diǎn)睛】6.5,7.5（時(shí)）內(nèi)的頻率為1 0.03 0.1 0.2 0.19

27、0.09（2 2）所求平均數(shù)為X 4 0.03 5 0.16 0.2 7 0.353（3 3） 依題意，X : B 4,. .p X 0100.04 0.35；PX1C43371029P10102500PX3C：337189P1010250080.199 0.09 10 0.047（時(shí)）；47240110100002 21371323X2C4 101050004381X41010000第2222頁共 2323 頁和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題本題考查頻率分布直方圖中頻率和平均數(shù)的計(jì)算,同時(shí)也考查了二項(xiàng)分布的概率分布列第2323頁共 2323 頁1919 .如圖，五面體ABCDEF中

28、，AE /2EF，平面DAE平面ABFE，平面CBF平面ABFE. .DAE DEA CFB EAB FBA 45,AB P EF，點(diǎn) P P(I)求證：DP P平面CBF;(n)求直線DP與平面ACF所成角的正弦值. .【答案】(I)證明見解析(n)3819【解析】(I)根據(jù)題意，分別取AE,BF的中點(diǎn) M M, , N N，連接DM,CN,MP,MN. .由題可知AD DE,ADE 90. .設(shè)AD DE 1，則AM -2,由平面DAE2平面ABFE，得DM平面ABFE，同理CN平面ABFE ，從而DM /CN ,則DM /平面CBF;由AM APcos45,所以AMP 90,所以AMP是

29、以AP為斜邊的等腰直角三角形， 再由MPA 45,FBA 45，得到MP/FB 則MP/平面CBF ，再由面面平行的判斷定理得到平面DMP/平面CBF，從而得證。如圖，分別取AE,BF的中點(diǎn) M M, N N，連接DM,CN,MP,MN. .(n)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD DE1，則A仲C24乎F 1,1,0,P 0,0,0,D1 12UJIVuuu2,22，得到AF2,1,0，F(xiàn)C1 1旦2,2,2求得平面AFC的一個(gè)法向量，再求得PD的坐標(biāo)，利用線面角的向量法求解。是線段AB上靠近 A A 的三等分點(diǎn). .【詳D第2424頁共 2323 頁由題可知ADADE 90 設(shè)AD DE

30、1,第2525頁共 2323 頁易知DM AE，且AM二2. .2因?yàn)槠矫鍰AE平面ABFE,所以DM平面ABFE 同理CN平面ABFE. .所以DM /CN. .因?yàn)镈M平面CBF,CN平面CBF,故DM /平面CBF 因?yàn)锳E , 2EF，EABFBA 45，所以AP11-AB. .3因?yàn)锳MAPcos45，所以AMP 90,所以AMP是以AP為斜邊的等腰直角三角形，所以MPA 45，而FBA 45，則MP/FB. .因?yàn)镸P平面CBF，F(xiàn)B平面CBF，所以MP/平面CBF. .因?yàn)镸P I DM M，所以平面DMP/平面CBF 因?yàn)镈P平面DMP，所以DP/平面CBF 如圖，連接PE，以

31、 P P 為原點(diǎn)，AB，PE所在直線分別為 x x 軸，y y 軸，以過點(diǎn) P P 且垂直于平面ABFE的直線為 z z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD DE 1，ujivuuiv所以AF 2,1,0，F(xiàn)C1,0,0，C3 1 422,2,2F 1,1,0，P 0,0,0，D1 1 V22,2,21 1 722,2,2第2626頁共 2323 頁設(shè)n x, y,z為平面AFC的一個(gè)法向量,設(shè)直線DP與平面ACF所成的角為 uuvv比.PDn3/38故sinuuvv-，PD|n|19即直線DP與平面ACF所成角的正弦值為33819【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間線面的位置關(guān)系、向量法求空間角，

32、還考查了運(yùn)算能力、空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題。2 22020已知點(diǎn)M、N分別是橢圓C:乂1的上、下頂點(diǎn)，以MN為直徑作圓C,164直線I與橢圓C交于M、P兩點(diǎn)，與圓C交于M、Q兩點(diǎn) (1) 若直線l的傾斜角為45，求OPQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積；(2) 若點(diǎn)R XR,0、S Xs,0分別在直線NP、NQ上，且PRPS, 求直線I的 斜率 【答案】(1 1)6; (2 2)二5或-55. .51010【解析】(1 1)將直線I的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可計(jì)算出OPQ的面積;(2(2)設(shè)直線I的方程為y kx 2 k 0，與橢圓

33、的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P P 的坐標(biāo)，進(jìn)而可求點(diǎn)S的坐標(biāo)，由PR PS可知直線PR、PS的斜率互為相反數(shù)，利用斜率公式可得出關(guān)于k的方程，解出即可【詳解】(1)依題意，可知M 0,2,N 0, 2，直線I : y x 2. .vuuivntriAF則vuuiv ri FC0,即2x y 0,x y、2z0,取x 2，則y4,2,4,3遷uuiv易知PD1 1 x/222 2第2727頁共 2323 頁y x 2聯(lián)立x2y2，消去y可得5x216x 0,故xP1164將P點(diǎn)橫坐標(biāo)代入直線I的方程可得yP算能力，屬于中等題 x m f x（2 2）若m 2，求證：關(guān)x的不等式2 1 ex在1,0上恒成

34、立. .x【答案】（1 1）函數(shù)y f x在1,0上單調(diào)遞減，理由見解析；（2 2）證明見解析. .【解析】（1 1）求出函數(shù)y f x的導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)f x在區(qū)間1,0上的符號(hào)，即 可得出結(jié)論；165易知XQ2，故OPQ的面積S1OQyp(2)設(shè)直線I : y kx，聯(lián)立y2x16kx 22乙144k2x216kx 0,因?yàn)閤,y，依題意x16k1 4k28k21 4k2. .MQ NQ，所以kNQ1k|MQ丄，故NQ：yk y則點(diǎn)S2k,0. .PR PS，則kPSkpR，即PR，2 8k21 4k2單2k1 4k2璽21冰2k16k1 4k2【點(diǎn)55I的斜率為或105510本題考同時(shí)也考

35、查了利用距離相等求直線的斜率,考查計(jì)2121 .已知函數(shù)f x In x 1,x 1,0. .x m(1(1)若m 1,判斷函數(shù)f x的單調(diào)性并說明理由;解得k譜，即直線第2828頁共 2323 頁（2 2）將所證不等式變形為xln 1 x m ln 1 xx 2x 1 ex，證明出ln 1 x x 0，于是將不等式轉(zhuǎn)化為證明x 2 ln 1 x 2xe，通過證明出第2929頁共 2323 頁x 2 1 n 1 x2xX2，將不等式轉(zhuǎn)化為ex1，然后構(gòu)造函數(shù)x 2x 2h x e，利用單調(diào)性證明即可 x 2【詳解】（1 1）函數(shù)y f x在1,0上單調(diào)遞減，理由如下：x1 x 1 x x依題意

36、fx lnx1廠，x 1,0，則f x廠w當(dāng)x1,0時(shí)，fx0,故函數(shù)yf x在1,0上單調(diào)遞減；（2 2）要證Xmf x2 1 ex，即證x m In x 1 mx 2x 1 exx即證x ln1 xmIn 1 x x 2x 1xe. .設(shè)g xIn 1xx，則g x11x. .x 1x 1當(dāng)x1,0時(shí)，g xo，所以y gx在1,0上單調(diào)遞增，所以g x g 00， 即In 1 x x0. .故當(dāng)m2時(shí)，xln 1x m In 1 xx xln 1 x 2 In 1 x x，第3030頁共 2323 頁【點(diǎn)睛】故即證x 2 In 1x2xex. .令p xx2 In 1 x2x，x1,0.

37、 .由（1 1）可知,p xIn 1xx22 In 1 x0，x1x 1故p xx2 In 1 x2x在1,0上單調(diào)遞增. .所以，當(dāng)x1,0時(shí)，x2 In 1x2x p 02x0，即In 1 x0，x 2所以，當(dāng)x1,0時(shí)，x2 In1x2x x 2x 2所以只需證明x 2xe即證明x2xe1. .x 2x22 xx2xxe設(shè)h xxe，則hx20. .x2x2所以y h x在1,0上單調(diào)遞增，所以h xh 01，所以原不等式成立第3131頁共 2323 頁本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性， 同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式， 本題的 難點(diǎn)在于利用分析法， 通過構(gòu)造函數(shù)逐步找到不等式成立的充分條件，