2019-2020學年新必修一5.2.1三角函數(shù)的概念教案

1、2019-2020 學年新人教 A 版必修一 5.2.1 三角函數(shù)的概念 教案整體設計教學分析學生已經(jīng)學過銳角三角函數(shù) , 它是用直角三角形邊長的比來刻畫的 . 銳角三角函數(shù)的引 入與“解三角形”有直接關系 .任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學模型 , 它與 “解三角形”已經(jīng)沒有什么關系了.因此, 與學習其他基本初等函數(shù)一樣 , 學習任意角的三角函數(shù) ,關鍵是要使學生理解三角函數(shù)的概念、圖象和性質 ,并能用三角函數(shù)描述一些簡單的周期變化規(guī)律 , 解決簡單的實際問題 .本節(jié)以銳角三角函數(shù)為引子 , 利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù) . 由于三角函數(shù)與單 位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系 , 使

2、得我們在討論三角函數(shù)的問題時 , 對于研究哪些問題以 及用什么方法研究這些問題等 , 都可以從圓的性質 （特別是對稱性 ）中得到啟發(fā) . 三角函數(shù)的 研究中 , 數(shù)形結合思想起著非常重要的作用 .利用信息技術 , 可以很容易地建立角的終邊和單位圓的交點坐標、單位圓中的三角函數(shù) 線之間的聯(lián)系 , 并在角的變化過程中 , 將這種聯(lián)系直觀地體現(xiàn)出來 .所以 ,信息技術可以幫助 學生更好地理解三角函數(shù)的本質 .激發(fā)學生對數(shù)學研究的熱情 , 培養(yǎng)學生勇于發(fā)現(xiàn)、勇于探 索、勇于創(chuàng)新的精神 ; 通過學生之間、 師生之間的交流合作 , 實現(xiàn)共同探究、 教學相長的教學 情境.三維目標1.通過借助單位圓理解并掌握

3、任意角的三角函數(shù)定義 , 理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量 的函數(shù) ,并從任意角的三角函數(shù)定義認識正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域 , 理解并掌握正弦、 余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號 .2.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解 , 掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等 .3.正確利用與單位圓有關的有向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來 .4.能初步應用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關的一些簡單問題 .重點難點教學重點 :任意角的正弦、余弦、正切的定義，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 . 教學難點 : 用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù) ; 三角函數(shù)符號

4、; 利用與單位圓有關的有 向線段，將任意角a的正弦、余弦、正切函數(shù)值用幾何形式表示 .課時安排2 課時教學過程第 1 課時導入新課思路 1. 我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎?譬如三角形內(nèi)角和為180，那么 sin200 的值還是三角形中 200的對邊與斜邊的比值嗎 ?類比角的概念的推廣 怎樣修正三角函數(shù)定義 ?由此展開新課 . 另外用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再 在適當時機聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯的選擇 .思路 2. 教師先讓學生看教科書上的“思考”，通過這個“思考”提出用直角坐標系中 角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的問題，以引導學生回憶銳角三角函數(shù)

5、概念，體會引 進象限角概念后，用角的終邊上點的坐標比表示銳角三角函數(shù)的意義，從而為定義任意角的 三角函數(shù)奠定基礎 . 教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前，作了如下鋪墊 : 直角三角形為載體 的銳角三角函數(shù)T象限角為載體的銳角三角函數(shù)T單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數(shù)推進新課新知探究 提出問題問題：在初中時我們學了銳角三角函數(shù)，你能回憶一下銳角三角函數(shù)的定義嗎？問題：你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？活動：教師提出問題，學生口頭回答，突出它是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三 角函數(shù)，教師并對回答正確的學生進行表揚，對回答不出來的同學給予提示和鼓勵然后教師在黑板上畫出

6、直角三角形教師提示：前面我們對角的概念已經(jīng)進行了擴充，并且學習了弧度制，知道了角的集合與 實數(shù)集是一一對應的，在此基礎上，我們來研究任意角的三角函數(shù) 教師在直角三角形所在的 平面上建立適當?shù)淖鴺讼?，畫出角a的終邊；學生給出相應點的坐標，并用坐標表示銳角三 角函數(shù)/ 0.V圖 1如圖 1,設銳角a的頂點與原點 0 重合，始邊與 X 軸的正半軸重合，那么它的終邊在第象限在a的終邊上任取一點P（a，b），它與原點的距離,a2b20.過 P 作 x 軸的垂線，垂足為 M，則線段 0M 勺長度為 a，線段 MP 的長度為 b. 根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義，我們有MPbOMaMPbsin a二 -，COS

7、a=-，tan a二-OPrOPrOPa討論結果：銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù) 令.MP _bOM _a , MP_bOP rOP rOM a提出問題問題:如果改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？問題：你利用已學知識能否通過取適當點而將上述三角函數(shù)的表達式簡化活動:教師先讓學生們相互討論，并讓他們動手畫畫圖形，看看從圖形中是否能找出某種 關系來然后提問學生，由學生回答教師的問題，教師再引導學生選幾個點，計算一下對應的 比值，獲得具體認識，并由相似三角形的性質來證明最后可以發(fā)現(xiàn)，由相似三角形的知識，對于確定的角a，這三個比值不會隨點P 在a的終邊上的位置

8、的改變而改變，學生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點的距離為1 的點可以使表達OM , MP b=a，tana=.OPOM a，在半徑為單位長度的圓中，角a的弧度數(shù)的絕對值等于圓心a的終邊的旋轉方向決定）在直角坐標系中，我們稱以原點 O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓這樣，上述 P 點就是a的終邊與單位圓的交點銳角三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示過圖形教師引導學生進行對比式簡化. MP _此時 sina=b，cosOP在引進弧度制時我們看到角a所對的弧長（符號由角(X=同樣地，我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)如圖 2 所示,設a是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么：(1) y叫

9、做a的正弦,記作 sina,即 sina=y;(2) x叫做a的余弦,記作 COSa,即 COSa=X；(3)叫做a的正切，記作 tana,即 tana= (x豐0).XX所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值 的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)教師出示定義后，可讓學生解釋一下定義中的對應關系教師應指出任意角的正弦、余弦、正切的定義是本節(jié)教學的重點用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數(shù)，與學生在銳角三角函數(shù)學習中建立的已有經(jīng)驗有一定的距離，與學生在數(shù)學必修一的學習中建立起來的經(jīng)驗也有一定的距離學生熟悉的函數(shù)y=f(x)是實數(shù)到實數(shù)的- 對應，而這里給出的三

10、角函數(shù)首先是實數(shù)(弧度數(shù))到點的坐標的對應，然后才是實數(shù)(弧度數(shù))到實數(shù)(橫坐標或縱坐 標)的對應，這就給學生的理解造成一定的困難教師在教學中可以在學生對銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認識的基礎上，先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系，在直角坐標系中考查銳角三角函數(shù)，得出用角的終邊上點的坐標(比值)表示銳角三角函數(shù)的結論，然后再“特殊化”引出用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的結論在此基礎上，再定義任意角的三角函數(shù)在導學過程中教師應點撥學生注意，盡管我們從銳角三角函數(shù)出發(fā)來引導學生學習任意 角的三角函數(shù)，但任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間并沒有一般與特殊的關系教師在教學中應當使學生體會到，用

11、單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)，不僅簡單、方便，而且反映本質教師可以引導學生通過分析三角函數(shù)定義中的自變量是什么，對應關系有什么特點，函數(shù)值是什么特別注意a既表示一個角，又是一個實數(shù)(弧度數(shù)) “它的終邊與單位圓交于點 P(x,y) ”包含兩個對應關系從而可以把三角函數(shù)看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).(2)sina不是 sin 與a的乘積，而是一個比值；三角函數(shù)的記號是一個整體，離開自變量的“ sin ”“ tan ”等是沒有意義的 討論結果：這三個比值與終邊上的點的位置無關，根據(jù)初中學過的三角函數(shù)定義，有

12、MPbOM asina=-:= ,COsa =OPrOP rAMPbtana=OPa由相似三角形的知識 ,對于確定的角a,這三個比值不會隨點P 在a的終邊上的位置的改變而改變能提出問題問題：學習了任意角，并利用單位圓表示了任意角的三角函數(shù)，引入一個新的函數(shù)，我們可以對哪些問題進行討論？問題:根據(jù)三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切的定義域、值域是怎樣的？活動:教師引導學生結合在數(shù)學必修一中的有關函數(shù)的問題，讓學生回顧所學知識，并總結回答老師的問題，教師對學生總結的東西進行提問，并對回答正確的學生進行表揚，回答不正確或者不全面的學生給予提示和補充教師讓學生完成教科書上的“探究”，教師提問或讓學生上黑

13、板板書按照這樣的思路，我們一起來探究如下問題：請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦、 余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖3 中的括號內(nèi)三角函 數(shù)定義域sinaCOSatana塁舊盤laiUE圖 3教師要注意引導學生從定義出發(fā)，利用坐標平面內(nèi)點的坐標的特征得定義域、函數(shù)值的符號等結論對于正弦函數(shù) sina=y，因為 y 恒有意義，即a取任意實數(shù)，y 恒有意義，也就是 說 sina恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是R;類似地可寫出余弦函數(shù)的定義域；對于正切函數(shù) tana=y，因為 x=0 時，y無意義，即 tana無意義，又當且僅當角a的終邊落在縱軸xx

14、上時，才有 x=0，所以當a的終邊不在縱軸上時，乂恒有意義，即 tana恒有意義，所以正切函x數(shù)的定義域是aM+kn（k Z）.（由學生填寫下表）2三角函數(shù)定義域sinaRCOsaRtanaa|aM +kn,kZ2三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于 x，y 的符號，當點 P 在第一、二象限時，縱坐標 y0，點 P 在第三、四象限時，縱坐標 y0,那么：Vi/O圖 4y叫做a的正弦，即sina =y；rrX叫做a的余弦，即COSa=Xrry叫做a的正切，即 tana =丄(x工0)XX這樣定義三角函數(shù)，突出了點 P 的任意性，說明任意角a的三角函數(shù)值只與a有關,而 與點

15、P 在角的終邊上的位置無關，教師要讓學生充分思考討論后深刻理解這一點解:由已知，可得OP=(3)2如圖 5,設角ao|=4,|MP|=-y,|OM0|=3,|OM|=- x,OMPAOM0F0,于是 sina=y=y=|MP|IM0P0141|OP|OR I -5XCOSa=X= =1|OM |OM0|3|OP|=IOP0|=5；P、Po作 X 軸的垂線 MP MPo,則|MoPy sin 4tan a二一-.x cosa 3點評：本例是已知角a終邊上一點的坐標，求角a的三角函數(shù)值問題.可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上，再由定義得解變式訓練5求的正弦、余弦和正切值.3IM圖 65解

16、:在平面直角坐標系中，作/ AOB-,如圖 6.31JQ易知/AOB 的終邊與單位圓的交點坐標為（一，），225- 351 .5所以 sin = ,cos = ,tan-. 3 .32323例 2 求證：當且僅當下列不等式組成立時，角0為第三象限角sin0,tan0.活動：教師引導學生討論驗證在不同的象限內(nèi)各個三角函數(shù)值的符號有什么樣的關系，提示學生從三角函數(shù)的定義出發(fā)來探究其內(nèi)在的關系.可以知道：三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于 x,y 的符號，當點 P 在第一、二象限時，縱坐標 y0,點 P 在第三、四象限時，縱坐標 y0,所以正弦函數(shù)值對于第一、 二象限角是正的

17、，對于第三、四 象限角是負的；同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負的；正切函數(shù)在 第一、三象限是正的，在第二、四象限是負的.證明：我們證明如果式都成立，那么0為第三象限角.因為sin00 成立，所以0角的終邊可能位于第一或第三象限.因為式都成立，所以0角的終邊只能位于第三象限于是角0為第三象限角.反過來請同學們自己證明.點評：本例的目的是認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號，其條件以一個不等式出現(xiàn),在教學時要讓學生把問題的條件、結論弄清楚，然后再給出證明.這一問題的解決可以訓練學生的數(shù)學語言表達能力 .變式訓練（2007 北京高考）已知 cos0 tan00 時尸J0k,

18、a是第四象限角，sina=y=3k=型，seca= =10,r、10k 10 x kA.第一或第二象限角C.第三或第四象限角 答案:C 例 3 求下列三角函數(shù)值：19(1)sin390 ;(2)cos;(3)tan(-6活動：引導學生總結終邊相同角的表示法有什么特點 那么這些角的同一三角函數(shù)值有何關系？為什么？引導學生從角的終邊的關系到角之間的關系再到函數(shù)值之間的關系進行討論三角函數(shù)的定義證明.由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等 式(公式一)：B.D.330 ).sin(a+k2n)=sina,cos(a+k2n)=cosa,tan(2n)=tana+k其中 k乙a

19、,第二或第三象限角第一或第四象限角,終邊相同的角相差 2n的整數(shù)倍,然后再用.由此得到一組公利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉化為求 0 到 2n(或 0 角函數(shù)值這個公式稱為三角函數(shù)的“誘導公式一”.1到 360 )角的三解：(1)sin390 =sin(360 +30 )=sin30(2)cos19n=cos(2n+7n)=cos7n6 6 6.3(3)tan(-330 )=tan( -360 +30 )=tan30點評：本題主要是對誘導公式一的考查函數(shù)的值,利用公式一將任意角都轉化到02n范圍內(nèi)求三角例 1 已知角a的終邊在直線 y=-3x活動:要讓學生獨立思考這一題目可以找兩個

20、學生來板演這個例題對解答思路正確的學生給以鼓勵x=k,y=_3k,r=.k2(-3k)2=,10| k | .二 10sina+3seca=10X欝+310=-3 10+3 10=.求函數(shù) y=. sin a+tan a 的定義域.活動：讓學生先回顧求函數(shù)的定義域需要注意哪些特點，并讓學生歸納出一些常見函數(shù)有意義的要求，根據(jù)函數(shù)有意義的特征來求自變量的范圍.對于三角函數(shù)這種特殊的函數(shù)在解三角不等式時要結合三角函數(shù)的定義進行.求含正切函數(shù)的組合型三角函數(shù)的定義域時正切函數(shù)本身的定義域往往被忽略，教師提醒學生應引起注意這種情況.同時,函數(shù)的定義域 是一個集合，所以結論要用集合形式表示.解：要使函數(shù)

21、 y= sin a+tana有意義，則 sina0且a*kn+ (kZ).2由正弦函數(shù)的定義知道,sina0就是角a的終邊與單位圓的交點的縱坐標非負角a的終邊在第一、二象限或在 x 軸上或在 y 軸非負半軸上，即 2knWaWn+2kn(kZ).函數(shù)的定義域是a|2knWa +2kn或一+2knaW(2k+1)n,kZ.2 2當 k0 時,P(k,-3k)是第四象限內(nèi)的點，角a的終邊在第 四象限；當 k0,且 tana有意義，由此推導出a的取值范圍就是函數(shù)的定義域變式訓練求下列函數(shù)的定義域：(1)y=s in x+cosx;(2)y=s in x+ta nx;sin x cosxr.(3)y=

22、;(4)y=, sin x+tanx.tanx解：(1)T使 sinx,cosx 有意義的 x R, /. y=sinx+cosx 的定義域為 R.x R要使函數(shù)有意義，必須使 sinx 與 tanx 有意義.有x k -2函數(shù) y=sinx+tanx的定義域為x |XMkn+一 ,k Z.2要使函數(shù)有意義，必須使 tanx 有意義，且 tanx豐0.有Xk2,k Z),x k函數(shù) y=_cosx的定義域為 x |XM ,k Z.tanx2當 sinx0且 tanx 有意義時，函數(shù)有意義，2k x (2k1)有x k2函數(shù) y=, sinx+tanx 的定義域為:2kn,2kn+)U(2kn

23、+-,(2k+1)n(kZ)22知能訓練課本本節(jié)練習.解答:71737、31.SI n-；cos-;ta n(k Z).2.sine=5;cose=1312;ta ne =13512.由定義求角角a090180270360角a的弧度 數(shù)02n3_22n點評：已知角a終邊上一點的坐標a的三角函數(shù)值3.6 2 6263點評:根據(jù)定義求某個特殊角的三角函數(shù)值sina010-10COSa10-101tana0不存在0不存在0點評：熟悉特殊角的三角函數(shù)值，并進一步地理解公式一4.當a為鈍角時,COSa和 tana取負值.點評:認識與三角形內(nèi)角有關的三角函數(shù)值的符號5. (1)正；(2)負；(3)零；(4

24、)負；(5)正佝 正. 點評：認識不同位置的角對應的三角函數(shù)值的符號6. (1)或或;(2)或或；(3)或或；(4)或或. 點評：認識不同象限的角對應的三角函數(shù)值的符號7. (1)0.874 6；(2), 3；(3)0.5；(4)1.點評:求三角函數(shù)值，并進一步地認識三角函數(shù)的定義及公式一.課堂小結本節(jié)課我們給出了任意角三角函數(shù)的定義，并且討論了正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，任意角的三角函數(shù)實質上是銳角三角函數(shù)的擴展，是將銳角三角函數(shù)中邊的比變?yōu)樽鴺伺c距離、坐標與坐標的比，記憶方法可用銳角三角函數(shù)類比記憶，至于三角函數(shù)的定義域可由三角函數(shù)的定義分析得到.本節(jié)課我們重點討論了兩個內(nèi)容，一是三角函

25、數(shù)在各象限內(nèi)的符號，二是一組公式，兩者的作用分別是：前者確定函數(shù)值的符號，后者將任意角的三角函數(shù)化為0到 360角的三角函數(shù)，這兩個內(nèi)容是我們?nèi)蘸髮W習的基礎，經(jīng)常要用，請同學們熟記.作業(yè)課本習題 1.2A 組題 1 9.設計感想關于三角函數(shù)定義法，總的說來就兩種：“單位圓定義法”與“終邊定義法”.這兩種方 法本質上是一致的.正因為此，各種數(shù)學出版物中，兩種定義方法都有采用.在學習本節(jié)的過 程中可以與初中學習的三角函數(shù)定義進行類比、學習.理解任意角三角函數(shù)的定義不但是學好本節(jié)內(nèi)容的關鍵，也是學好本章內(nèi)容的關鍵.在教學中，教師應該充分調動學生獨立思考和 總結的能力，以鞏固對知識的理解和掌握.教師在

26、教學中，始終引導學生緊扣三角函數(shù)的定義，善于利用數(shù)形結合.在利用三角函數(shù) 定義進行求值時，應特別強調要注意橫向聯(lián)系，即不僅僅能求出該值，還要善于觀察該值與其 他三角函數(shù)值之間的聯(lián)系，找出規(guī)律來求解.(設計者： 房增鳳)第 2課時導入新課思路 1.(情境導入)同學們都在一些旅游景地或者在公園中見過大觀覽車，大家是否想過大觀覽車在轉動過程中，座椅離地面的高度隨著轉動角度的變化而變化,二者之間有怎樣的相依關系呢？思路 2.(復習導入)我們研究了三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，學習了將任意角的三角函數(shù)化成 0 360角的三角函數(shù)的一組公式，前面還分析討論了三角函數(shù)的定義域，這些內(nèi)容的研究，都是建立在任意角的

27、三角函數(shù)定義之上的，這些知識在以后我們繼續(xù)學習“三角”內(nèi)容時，是經(jīng)常、反復運用的，請同學們務必在理解的基礎上要加強記憶.由三角函數(shù)的定義我們知道，對于角a的各種三角函數(shù)我們都是用比值來表示的，或者說是用數(shù)來表示的今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種表示方法一一幾何表示法.我們知道，直角坐標系內(nèi)點的坐標與坐標軸的方向有關因此自然產(chǎn)生一個想法是以坐標軸的方向來規(guī)定有向線段的方向，以使它們的取值與點的坐標聯(lián)系起來推進新課新知探究提出問題問題：回憶上節(jié)課學習的三角函數(shù)定義并思考：三角函數(shù)的定義能否用幾何中的方法來表示，應怎樣表示呢？問題:回憶初中學過的線段，若加上方向會怎樣呢？什么是有向線段？

28、活動:指導學生在平面直角坐標系內(nèi)作出單位圓，設任意角a的頂點在原點，始邊與 X軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P(x,y),x 軸的正半軸與單位圓相交于A(1,0),過P 作 x 軸的垂線,垂足為 M;過 A 作單位圓的切線，這條切線必平行于 y 軸(垂直于同一條直線 的兩直線平行),設它與角a的終邊或其反向延長線交于點T.教師點撥學生觀察線段的方向與點 P 的坐標顯然，線段 0M 的長度為|x|,線段 MP 的長度為|y|,它們都只能取非負值當角a的終邊不在坐標軸上時，我們可以把 OM MP 都看作帶有方向的線段：如果 x0,OM 與 x軸同向，規(guī)定此時 0M 具有正值 x;如果 x0

29、,把 MP 看作與 y 軸同向，規(guī)定此時 MP 具有正值 y;如果 y1.,正弦(或余弦)線變成一個點，而余弦(或正弦)線的長等于r,所以|sina|+|cosa|=1.=|OM| +|MPI 1, sina|+|cosa|1.例 2 在單位圓中畫出適合下列條件的角a的終邊或終邊所在的范圍，并由此寫出角a的集1a=;(2)sin211所以要作出滿足 sina=1的終邊，只要在單位圓上找出縱坐標為-的點 A,則 OA 即為角a221的終邊；對于(2),可先作出滿足 sina=的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角a的范圍.2解：作直線 y=交單位圓于 A 與 B 兩點,連結 OA,OB，則 0A 與

30、 0B 為角 a 的終邊,如2圖 8 所示.5故滿足條件的角a的集合為a|a=2kn+ 或a=2kn + ,k Z.,sin3 =利用三角函數(shù)線證明丨 sina|解：當a的終邊落在坐標軸上時當角a終邊落在四個象限時,利用三角形兩邊之和大于第三邊有|sina|+|cosa|合:(1)sina活動：引導學生畫出單位圓，對于(1),可設角a的終邊與單位圓交于A(x,y),貝 U sina=y,sina“v圖 816 61(2)作直線 y= 交單位圓于 A 與 B 兩點,連結 OA,OB,則 0A 與 OB 圍成的區(qū)域(如圖中的2陰影部分)即為角a的終邊所在的范圍5故滿足條件的角a的集合為a|2kn+

31、 a2kn +,kZ.6 6. 1品. 一.點評：在解簡單的特殊值(如土 一，等)的等式或不等式時，應首先在單位圓內(nèi)找到22對應的終邊(作縱坐標為特殊值的直線與單位圓相交，連結交點與坐標原點作射線),一般情況下，用(0,2n)內(nèi)的角表示它，然后畫出滿足原等式或不等式的區(qū)域，用集合表示出來變式訓練1已知 sina一，求角a的集合.211解：作直線 y= 交單位圓于點 P,P,貝Usin / POx=si n/ P Ox= ,在0,2n)內(nèi)225/ POx= , / P Px= .6 65滿足條件的集合為a|2kn + WaW2kn +二,kZ.6 6思路 2例 1 求下列函數(shù)的定義域：2(1)y

32、=logsi nx(2cosx+1); (2)y=lg(3-4sinx).活動:先引導學生求出 x 所滿足的條件，這點要提醒學生注意，研究函數(shù)必須在自變量允許的范圍內(nèi)研究，否則無意義.再利用三角函數(shù)線畫出滿足條件的角x 的終邊范圍.求解時,可根據(jù)各種約束條件，利用三角函數(shù)線畫出角x 滿足條件的終邊范圍，寫出適合條件的 x 的取值集合.si nx0,si nx1,解：(1)由題意,得si nx0,2cosx10, sinx1,1cosx22k則x2k ,2(k Z)222kx 2k332函數(shù)的定義域為x|2knx2kn+或 2kn+ x0, sin23x4sinx 0,所以 cosx .2故由余

33、弦函數(shù)線可知函數(shù)的定義域為2kn- 2kn+ ,k 乙331 1 1 1例 2 證明恒等式丄亍 +丄亍 +丄丁 +丄寸 =2.1 sin a 1 cos a 1 sec a 1 csc a活動：引導學生總結證明恒等式的方法與步驟，特別地，在證明三角恒等式時從較繁的一邊推向較簡的一邊.從方向上來推證三角恒等式主要有三種推證方法推向右邊；從右邊推向左邊；左、右兩邊同推向第三個式子解：證法一：,一般地是,即:從左邊sina =,cosrxrra= ,seca= ,csca=.rxy圖 92sin a ,cosa - ,tan ,seca rrx1匚上 左邊=1匚上x x(x r y(x r y) (

34、x r y)(x r y)22r 2xy 2xr 2ry2x22xrr yx(r x)原式左邊=y2r2r-22r y2 2 2rxy-22 2 2r x r x r y22 22=ryrx2222ryrx=2=右邊.原等式成立.證法二：左邊=-11_2sin a11 cos2a12cos a112sin a1 1221sina1cos a22=1sina1cos a=221sina1cos a2cos a-2-1 cos aa右邊.2sin a2-1 sin a左邊=右邊.原等式成立.點評：根據(jù)本題的特點，被證式的左邊比較復雜，故可由左邊證向右邊 變式訓練1 seca tana 1 si na1 seca tana cosa證明：設 M(x,y)為a終邊上異于原點的一點I OM =r,由三角函數(shù)定義有=(x r y)22 2(x r) y=(r y)(r x)r左邊=右邊,故原等式成立 知能訓練 課本本節(jié)練習.解答：1.終邊在不同位置的角對應的三角函數(shù)值的情況，包括三角函數(shù)值的符號情況，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等點評：利用單位圓中的三角函數(shù)線認識三角函數(shù)的性質，對未學性質的認識不作統(tǒng)一要求.2.(1)如圖 11 所示,yvJ圖 11略.點評：作已知角