一次函數知識點與范例

1、第十四章 一次函數14.1 變量與函數1、變量與常量的意義在一個變化過程中，我們稱數值發(fā)生變化的量為變量（variable）。數值始終不變的量為常量。友情提醒：在某一個變化過程中，變量、常量都可能有多個。常量可以是一個實數，也可以是一個代數式（數值始終保持不變）。例1、寫出下列各問題中所滿足的關系式，并指出各個關系式中，哪些量是變量，哪些量是常量？1、在一根彈簧的下端懸掛中重物，改變并記錄重物的質量，觀察并記錄彈簧長度的變化規(guī)律，如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，怎樣用含重物質量 m(單位：kg)的式子表示受力后彈簧長度L（單位：cm）？2、用總長為60m的籬笆圍成矩形場

2、地，求矩形的面積S（m2）與一邊長x(m)之間的關系式；3、某種活期儲蓄的月利率為0.16%,存入10000元本金，按國家規(guī)定，取款時，應繳納利息部分的20%的利息稅，求這種活期儲蓄扣除利息稅后實得的本息和y(元)與所存月數x之間的關系式.4、如圖，每個圖中是由若干個盆花組成的圖案，每條邊（包括兩個頂點）有n盆花，每個圖案的花盆總數是S，求S與n之間的關系式.2、函數的概念一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值。注意：1、對函數概念

3、的理解，主要應該抓住以下三點：有兩個變量；一個變量的數值隨著另一個變量的數值變化而變化；自變量每確定一個值，函數有一個并且只有一個值與之對應。2、函數不是數,它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系。3、自身先改變的是自變量,隨之而變的是函數。例1、判斷下列變量之間是不是函數關系：（1）長方形的寬一定時，其長與面積；（2）等腰三角形的底邊長與面積；（3）某人的年齡與身高。例2、一輛汽車的油箱中現有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L/km。（1）寫出表示y與x的函數關系式。（2）指出自變量x的取值范圍。（3）汽車行駛

4、200km時，油箱中還有多少汽油？解：（1）y=50-0.1x （2）0x500 （3）x=200, y=303、函數的表示方法函數的表示方法為解析法、列表法和圖形法，這三種方法在解決問題時是可以相互轉化的。解析法：把兩個變量的函數關系用一個等式來表示，該等式簡稱解析式優(yōu)點：函數關系清楚，容易由自變量的值，求出對應的函數值（反之也可），便于利用解析式來研究函數的性質。列表法：列出表格來表示兩個變量的函數關系。如：銀行的利息表，三角函數表，平方根表。 優(yōu)點：不用計算，就可求出函數值。圖像法：用圖像表示兩變量之間的關系如：醫(yī)務室的身高圖，氣象臺的氣溫變化圖。我國人口出生率變化的曲線圖。優(yōu)點：形象直

5、觀地表示出函數的變化情況。例1 一水庫的水位在最近5消耗司內持續(xù)上漲，下表記錄了這5個小時水位高度.由記錄表推出這5個小時中水位高度y(單位米)隨時間t （單位：時）變化的函數解析式，并畫出函數圖象；據估計這種上漲的情況還會持續(xù)2個小時，預測再過2個小時水位高度將達到多少米？解：（1）y=0.05t+10 (0t7)（2）當t=5+2=7時，y=0.05t+10=10.35預計2小時后水位將達到10.35米。4、函數圖象的意義一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象（graph）。例1 下面的圖象反映的過程

6、是小明從家去菜地澆水，有去玉米地鋤草，然后回家。其中x表示時間，y表示小名離家的距離。根據圖象回答問題：菜地離小明家多遠？小明走到菜地用了多少時間？；小明給菜地澆水用了多少時間？菜地離玉米地多遠？小明從菜地到玉米地用了多少時間？小明給玉米鋤草用了多少時間？玉米地離小名家多遠？小明從玉米地走回家的平均速度是多少？5、畫函數圖像的一般步驟1、列表: 2、描點: 3、連線:。6、函數自變量的取值范圍：【三招確定“函數自變量取值范圍”】一個函數關系式的自變量取值是有一定范圍的，自變量取值范圍必須使關系式或題中條件有意義。那么如何才能準確地確定自變量的取值范圍呢?下面介紹三種方法:第一招: 必須使含自變

7、量的代數式有意義.解析式是整式時,自變量取值范圍是全體實數.例如:指出下列各函數的自變量取值范圍: y = x2-1 ；y = 3x -2； y =-5x . 解:這三個函數式中,右邊的式子都是含自變量x的整式，所以它們的自變量取值范圍是全體實數。解析式是分式時,自變量的取值范圍是使分母不為0的實數.例如: 確定下列函數的自變量取值范圍:y= ； y= ； y = 解：這三個函數式中，右邊的式子都是含自變量x的分式，所以分母不為零時，函數有意義。所以中的x0；中的x-1；中的x1且x-1解析式是偶次根式,自變量的取值范圍是被開方數為非負數.例如：確定下列函數的自變量取值范圍:y=； y= ；

8、y = ； y=解： x2； 全體實數 ； 即 x0且x1； 全體實數含有零指數、負整指數冪的函數,自變量的取值范圍是使底數不為零的實數.例如：確定下列函數的自變量取值范圍: y= ； y= 解： x-20， x2 ; 即x-1且x0第二招:必須使實際問題有意義. 例如：一輛汽車的油箱中有汽油40升，該車每千米油耗為0.4升，請寫出油箱剩余油量Q（升）與行駛路程s（千米）之間的函數關系式，并確定自變量取值范圍。解：Q = 40 -0.4s 0s10自變量取值范圍為0s10第三招:必須使圖形存在.例1：A、B、C、D四個人做游戲A、B、C三人站在三個不同的點上構成一個三角形且BAC=40

9、6;，D在ABC內部移動，但不能超越ABC。則D與B、C構成一個三角形，則BDC的度數的取值范圍是_. 解:40°BDC180°例2 :已知等腰三角形的周長為20cm， 請寫出底邊長y（cm）與腰長x（cm）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍。解：y= 20- 2x 5 x10 例3：已知等腰直角ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20厘米,AC與MN在同一直線上,開始時點A與點N重合.讓ABC以每秒2厘米的速度向左運動,最終點A與點M重合,則重疊三角形部分的面積y(cm2)與時間t(秒)之間的函數關系式為_.自變量t 的取值范圍是_.分析:在移動的過程中,重

10、合部分的三角形也為等腰直角三角形AN=2t , 則MA= 20-2t, 所以解析式可求.由0MA20可確定自變量取值范圍解: y= , 自變量t 的取值范圍是0t10 14.2一次函數1、正比例函數一般地，形如y=kx（k是常數，k0）的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數例1、寫出下列函數的關系式。（）圓的周長L隨半徑r的大小變化而變化。（）鐵的密度為78g/cm3鐵塊的質量m（g）隨它的體積V（cm3）的大小變化而變化。（）每個練習本的厚度為05cm一些練習本摞在一些的總厚度h（cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化。（）冷凍一個0的物體，使它每分鐘下降2物體的溫度（）隨冷凍時間t（分

11、）的變化而變化。2、正比例函數解析式與圖象特征之間的規(guī)律：正比例函數y=kx（k是常數，k0）的圖象是一條經過原點的直線，我們稱它為直線y=kx當K>0時，圖象經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。經過原點與點（1，k）的直線是函數y=kx的圖象畫正比例函數圖象時，只需在原點外再確定一個點，即找出一組滿足函數關系式的對應數值即可，如（1，k），因為兩點可以確定一條直線。例2、汽車由天津駛往相距120千米的北京，（千米）表示汽車離開天津的距離，t（小時）表示汽車行駛的時間。如圖所示 汽車用幾小時可到達北

12、京？速度是多少？ 汽車行駛小時，離開天津有多遠？ 當汽車距北京20千米時，汽車出發(fā)了多長時間？ 解法一：用圖象解答： 從圖上可以看出4個小時可到達 速度=30（千米時） 行駛小時離開天津約為30千米 當汽車距北京20千米時汽車出發(fā)了約33個小時 解法二：用解析式來解答： 由圖象可知：與t是正比例關系，設S=kt，當t=4時S=120 即120=k×4 k=30S=30t 當t=1時 S=30×1=30（千米） 當S=100時 100=30t t=（小時） 以上兩種方法比較，用圖象法解題直觀，用解析式解題準確，各有優(yōu)特點3、一次函數的意義一般地，形如y=kx+b（k、b是常數

13、，k0）的函數，叫做一次函數當b=0時，y=kx+b即y=kx所以說正比例函數是一種特殊的一次函數例、下列函數中哪些是一次函數，哪些又是正比例函數？（1）y=-8x （2）y= （3）y=5x2+6 （4）y=-05x-1例、一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加米（1）一個小球速度v隨時間t變化的函數關系它是一次函數嗎？（2）求第25秒時小球的速度例、汽車油箱中原有油50升，如果行駛中每小時用油5升，求油箱中的油量y（升）隨行駛時間x（時）變化的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍y是x的一次函數嗎？解答：（1）（4）是一次函數；（1）又是正比例函數（1）v=2t，它是一次函數

14、（2）當t=25時，v2×25=5所以第25秒時小球速度為5米秒函數解析式：y=50-5x自變量取值范圍：0x10y是x的一次函數4、一次函數的性質一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，我們稱它為直線y=kx+b，它可以看作由直線y=kx平移b的絕對值個單位長度而得到（當b0時，向上平移；當b 0時，向下平移）。規(guī)律：當k>0時，直線y=kx+b由左至右上升；當k<0時，直線y=kx+b由左至右下降性質：當k>0時，y隨x增大而增大當k<0時，y隨x增大而減小b決定直線y=kx+b與y軸交點的坐標（0，b）當b>0時，交點在原點上方當b=0時，交點即原點

15、當b<0時，交點在原點下方例直線y=2x-3與x軸交點坐標為_，與y軸交點坐標為_，圖象經過第_象限，y隨x增大而_例分別說出滿足下列條件的一次函數的圖象過哪幾個象限？（1）k>0 b>0 （2）k>0 b<0 （3）k<0 b>0 （4）k<0 b<0解答：（15，0） （0，-3） 三、四、一 增大（1）三、二、一 （2）三、四、一 （3）二、一、四 （4）二、三、四例3、若函數y=mx-（4m-4）的圖象過原點，則m=_，此時函數是_函數若函數y=mx-（4m-4）的圖象經過（1，3）點，則m=_，此時函數是_函數例4、若一次函數y=

16、（1-2m）x+3圖象經過A（x1、y1）、B（x2、y2）兩點當x1< x2時，y1> y2，則m的取值范圍是什么？答案：例31 正比例 一次 例4解：當x1<x2時，y1>y2，y隨x增大而減小據一次函數性質可知：只有當k<0時，y隨x增大而減小 故1-2m<0 m>.b=0k > 0經過一、三象限y隨x的增大而增大k < 0經過二、四象限y隨x的增大而減小b>0k > 0經過一、二、三象限y隨x的增大而增大k < 0經過一、二、四象限y隨x的增大而減小b<0k > 0經過一、三、四象限y隨x的增大而增大k

17、 < 0經過二、三、四象限y隨x的增大而減小5、確定一次函數的解析式待定系數法先設待求函數關系式（其中含有未知常數系數），再根據條件列出方程或方程組，求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法。 例1、已知一次函數圖象過點（3，5）與（-4，-9），求這個一次函數的解析式分析：求一次函數解析式，關鍵是求出k、b值因為圖象經過兩個點，所以這兩點坐標必適合解析式由此可列出關于k、b的二元一次方程組，解之可得設這個一次函數解析式為y=kx+b因為y=k+b的圖象過點（3，5）與（-4，-9），所以解之，得故這個一次函數解析式為y=2x-1。結論：用待定系數法確定一次函數y=kx+b的

18、解析式的一般步驟是：(l)設所求函數解析式的一般式. (2)將已知條件轉化為關于k、b的方程或方程組. (3)解所建立的方程及方程組(4)將所求出的k、b代人一般式，求出解析式.例1. 已知一次函數y=3x-b的圖象經過點P(1,1),則該函數圖象必經過點( )A.(-1,1) B.(2,2) C.(-2,2) D.(2,-2)2. 若一次函數y=2x+b的圖像與坐標軸圍成的三角形的面積是9，求 b的值3點M（-2，k）在直線y=2x+1上，求點M到x軸的距離d為多少?一次函數(三)例1 小芳以200米分的速度起跑后，先勻加速跑5分鐘，每分提高速度20米分，又勻速跑10分鐘試寫出這段時間里她跑

19、步速度y（米分）隨跑步時間x（分）變化的函數關系式，并畫出圖象分析：本題y隨x變化的規(guī)律分成兩段：前5分鐘與后10分鐘寫y隨x變化函數關系式時要分成兩部分畫圖象時也要分成兩段來畫，且要注意各自變量的取值范圍解：y=我們把這種函數叫做分段函數在解決分析函數問題時，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際例2 城有肥料200噸，城有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往、兩鄉(xiāng)從城往、兩鄉(xiāng)運肥料費用分別為每噸20元和25元；從城往、兩鄉(xiāng)運肥料費用分別為每噸15元和24元現鄉(xiāng)需要肥料240噸，鄉(xiāng)需要肥料260噸怎樣調運總運費最少？通過分析思考，可以發(fā)現：，運肥料共涉及4個變量它們都是影

20、響總運費的變量然而它們之間又有一定的必然聯(lián)系，只要確定其中一個量，其余三個量也就隨之確定這樣我們就可以設其中一個變量為x，把其他變量用含x的代數式表示出來： 若設x噸，則： 由于城有肥料200噸：，200x噸 由于鄉(xiāng)需要240噸：，240x噸 由于鄉(xiāng)需要260噸：，260200+x噸 那么，各運輸費用為： 20x 25（200-x） 15（240-x） 24（60+x） 若總運輸費用為y的話，y與x關系為：y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x） 化簡得：y=40x+10040 （0x200）由解析式或圖象都可看出，當x=0時，y值最小，為10040因此，從城運往鄉(xiāng)

21、0噸，運往鄉(xiāng)200噸；從城運往鄉(xiāng)240噸，運往鄉(xiāng)60噸此時總運費最少，為10040元若城有肥料300噸，城200噸，其他條件不變，又該怎樣調運呢？解題方法與思路不變，只是過程有所不同： x噸 300-x噸 240-x噸 x-40噸反映總運費y與x的函數關系式為：y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）化簡：y=4x+10140 （40x300）由解析式可知：當x=40時 y值最小為：y=4×40+10140=10300因此從城運往鄉(xiāng)40噸，運往鄉(xiāng)260噸；從城運往鄉(xiāng)200噸，運往鄉(xiāng)0噸此時總運費最小值為10300噸如何確定自變量x的取值范圍是40x300的

22、呢？由于城運往鄉(xiāng)代數式為x-40噸，實際運費中不可能是負數，而且城中只有300噸肥料，也不可能超過300噸，所以x取值應在40噸到300噸之間總結:解決含有多個變量的問題時，可以分析這些變量間的關系，選取其中某個變量作為自變量，然后根據問題條件尋求可以反映實際問題的函數這樣就可以利用函數知識來解決了14.3用函數觀點方程（組）與不等式 1、一次函數與一元一次方程由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0（k、b為常數，k0）的形式所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值 從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值例1 一個物體現在的速度是5m/s，其速度每秒