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文檔簡介

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上§2 柯西中值定理和不等式極限一  柯西中值定理 定理(6.5) 設(shè) 、滿足(i)  在區(qū)間 上連續(xù),(ii) 在 內(nèi)可導(dǎo)(iii)  不同時為零;(iv)  則至少存在一點  使得                            

2、60;   柯西中值定理的幾何意義  曲線 由參數(shù)方程     給出,除端點外處處有不垂直于 軸的切線,則 上存在一點 P處的切線平行于割線 .。   注意曲線 AB在點 處的切線的斜率為 ,  而弦  的斜率為 .     受此啟發(fā),可以得出柯西中值定理的證明如下:由于,   類似于拉格朗日中值定理的證明,作一輔助函數(shù)        &

3、#160;              容易驗證 滿足羅爾定理的條件且 根據(jù)羅爾定理,至少有一點    使得   ,即 由此得注2:在柯西中值定理中,取 ,則公式(3)可寫成 這正是拉格朗日中值公式,而在拉格朗日中值定理中令 ,則 .  這恰恰是.注3:設(shè) 在區(qū)間 I上連續(xù),則 在區(qū)間 I上為常數(shù) , . 三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點:由拉格朗日中值定理知:滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦,必

4、與兩點間某點的切線平行??梢杂眠@種幾何解釋進(jìn)行思考解題:    例1:設(shè) 在 (a ,b) 可導(dǎo),且在 a,b 上嚴(yán)格遞增,若,則對一切有 。證明:記A(),對任意的x,記C(),作弦線AB,BC,應(yīng)用拉格朗日中值定理,使得分別等于AC,BC弦的斜率,但因嚴(yán)格遞增,所以,從而注意到,移項即得, 2、利用其有限增量公式要點:借助于不同的輔助函數(shù),可由有限增量公式進(jìn)行思考解題:例2:設(shè)上連續(xù),在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),試證存在使得證:上式左端作輔助函數(shù)則上式= ,=,其中 3、作為函數(shù)的變形要點:若在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可微,則在a,b上 &

5、#160; (介于與之間)此可視為函數(shù)的一種變形,它給出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的一種關(guān)系,我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3  設(shè)在上可導(dǎo),并設(shè)有實數(shù)A0,使得在上成立,試證證明 :在0,上連續(xù),故存在 使得 =M于是  M=A。故 M=0,在0, 上恒為0。用數(shù)學(xué)歸納法,可證在一切( i=1,2,)上恒有=0, 所以=0, 。 利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性 1.  證明中值點的存在性:   例 1  設(shè)函數(shù)在區(qū)間  上連續(xù),  在  內(nèi)可導(dǎo),  則 , 使得.證  在

6、Cauchy中值定理中取 .例2  設(shè)函數(shù)在區(qū)間  上連續(xù), 在  內(nèi)可導(dǎo), 且有.試證明:  .2. 證明恒等式:  例3  證明: 對,  有 .例4  設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)且又  則 .證明 . 例5   設(shè)對,  有 ,  其中是正常數(shù). 則函數(shù)是常值函數(shù).      (證明  ). 3. 證明不等式:  例6 證明不

7、等式:  時,  .例7 證明不等式:  對,有.4.  證明方程根的存在性:  證明方程  在  內(nèi)有實根.例8 證明方程  在  內(nèi)有實根. 四 、小結(jié)本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性;難點是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1°  拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理,它的特例是羅爾定理,它的推廣是接下來我們要學(xué)習(xí)的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁,是數(shù)學(xué)分

8、析的重要定理之一。2°  構(gòu)造輔助函數(shù)法是應(yīng)用微分中值定理的基本方法。實際上,輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段,通過巧妙地數(shù)學(xué)變換,將一般問題化為特殊問題,將復(fù)雜問題化為簡單問題,這種論證思想也是數(shù)學(xué)分析的重要而常用的數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)。關(guān)于如何恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造和選用輔助函數(shù)問題,請同學(xué)們結(jié)合第三部分的題目仔細(xì)體會總結(jié)。 二   不定式的極限 一.   型:定理 6.6  (Hospital法則 )  若函數(shù) 和滿足:(i)   (ii)   在點 的某空心鄰域內(nèi)而這可導(dǎo),

9、且;(iii)  可為實數(shù),也可為 )則   ( 證 )     注意: 若將定理中的x 換成 ,只要相應(yīng)地求證條件(ii)中的鄰域,也可以得到同樣的結(jié)論。例1   例2  .例3  .   ( 作代換 或利用等價無窮小代換直接計算. )例4  .   ( Hospital法則失效的例 ) 二.   型不定式 極限:定理 6.7  (Hospital法則 )  若函數(shù)

10、 和滿足:(i)   (ii)   在點 的某右鄰域內(nèi)二這可導(dǎo),且;(iii)  可為實數(shù),也可為 )則     例5   .例6   . 註:   關(guān)于 當(dāng) 時的階. x=5:0.1:50; y1=log(x); y2=x.(1/2); plot(x,y1,'b',x,y2,'m')       

11、0;    右圖看出    高于  clf, x=1:0.1:5; y1=exp(x); y2=x.2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m)  右圖看出    高于                            注意1     不存在,并不能說明     不存在(為什么?)注意2  不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法則來求,首先要注意它是不是不定式極限,其次是否滿足洛必達(dá)法則條件例  求極限     .   ( Hospital法則失效的例 )三.  其他待定型:  .前四個是冪指型的.例7  

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