數(shù)學(xué)教案－圓和圓的位置關(guān)系

1、數(shù)學(xué)教案圓和圓的位置關(guān)系1、教材分析 （1）知識(shí)結(jié)構(gòu) （2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 重點(diǎn)：兩圓的位置關(guān)系和兩圓相交、相切的性質(zhì)它們是本節(jié)的主要內(nèi)容，是圓的重要概念性知識(shí)，也是今后研究圓與圓問題的基礎(chǔ)知識(shí) 難點(diǎn)：兩圓位置關(guān)系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運(yùn)用由于兩圓位置關(guān)系有5種類型，特別是相離有外離和內(nèi)含，相切有外切和內(nèi)切，學(xué)生容易遺漏；而在相交圓的性質(zhì)應(yīng)用中，學(xué)生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線”看成是真命題 2、教法建議 本節(jié)內(nèi)容需要兩個(gè)課時(shí)第一課時(shí)主要研究圓和圓的位置關(guān)系；第二課時(shí)相交兩圓的性質(zhì) （1）把課堂活動(dòng)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)放在如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體，讓學(xué)生觀察、分析

2、、歸納概括，主動(dòng)獲得知識(shí)； （2）要重視圓的對(duì)稱美的教學(xué)，組織學(xué)生欣賞，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣中，獲得知識(shí)，提高能力； （3）在教學(xué)中，以分類思想為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為方法，貫串整個(gè)教學(xué)過程第一課時(shí) 圓和圓的位置關(guān)系 教學(xué)目標(biāo)： 1掌握?qǐng)A與圓的五種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定方法；兩圓連心線的性質(zhì)； 2通過兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的分類能力和數(shù)形結(jié)合能力； 3通過演示兩圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力 教學(xué)重點(diǎn)： 兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn)： 兩圓位置關(guān)系及判定 （一）復(fù)習(xí)、引出問題 1復(fù)習(xí)：直線和圓有幾種位置關(guān)系?各是怎樣定義的? （教

3、師主導(dǎo)，學(xué)生回憶、回答）直線和圓有三種位置關(guān)系，即直線和圓相離、相切、相交各種位置關(guān)系是通過直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義的 2引出問題：平面內(nèi)兩個(gè)圓，它們作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將會(huì)產(chǎn)生什么樣的位置關(guān)系呢? （二）觀察、分類，得出概念 1、讓學(xué)生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系，準(zhǔn)確給出描述性定義： (1)外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離(圖(1) (2)外切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)(圖(2)(3)相交：兩個(gè)

4、圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這兩個(gè)圓相交(圖(3) (4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)(圖(4) (5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含(圖(5)兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個(gè)特例 (圖(6) 2、歸納： (1)兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無(wú)公共點(diǎn) (2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)唯一 (3)兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內(nèi)含)；相交；相切(外切和內(nèi)切) 教師組織學(xué)生歸納，并進(jìn)一步考慮：從兩圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)考慮，

5、無(wú)公共點(diǎn)則相離；有一個(gè)公共點(diǎn)則相切；有兩個(gè)公共點(diǎn)則相交除以上關(guān)系外，還有其它關(guān)系嗎?可能不可能有三個(gè)公共點(diǎn)? 結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關(guān)系 （三）分析、研究 1、相切兩圓的性質(zhì) 讓學(xué)生觀察連心線與切點(diǎn)的關(guān)系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)： 如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上 這個(gè)性質(zhì)由圓的軸對(duì)稱性得到，有興趣的同學(xué)課下可以考慮如何對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行證明 2、兩圓位置關(guān)系的數(shù)量特征 設(shè)兩圓半徑分別為R和r圓心距為d，組織學(xué)生研究?jī)蓤A的五種位置關(guān)系，r和d之間有何數(shù)量關(guān)系（圖形略） 兩圓外切 dR+r； 兩圓內(nèi)切 dR-r (Rr); 兩圓外離 dR+r； 兩圓內(nèi)含

6、dR-r(Rr); 兩圓相交 R-rdR+r 說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué) （四）應(yīng)用、練習(xí) 例1： 如圖，O的半徑為5厘米，點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，OP=8厘米 求：(1)以P為圓心作P與O外切，小圓P的半徑是多少? (2)以P為圓心作P與O內(nèi)切，大圓P的半徑是多少? 解：（1）設(shè)P與O外切與點(diǎn)A，則 PA=PO-OA PA=3cm （2）設(shè)P與O內(nèi)切與點(diǎn)B，則 PB=PO+OB PB=1 3cm 例2：已知：如圖，ABC中，C90°，AC12，BC8，以AC為直徑作O，以B為圓心，4為半徑作 求證：O與B相外切 證明：連結(jié)BO，AC為O的直徑，AC12， O的半徑 ，且O是AC的中點(diǎn)

7、 ，C=90°且BC=8， ， O的半徑 ，B的半徑 ， BO=，O與B相外切 練習(xí)(P138) （五）小結(jié) 知識(shí)：兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含； 以及這五種位置關(guān)系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系； 兩圓相切時(shí)切點(diǎn)在連心線上的性質(zhì) 能力：觀察、分析、分類、數(shù)形結(jié)合等能力 思想方法：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想 （六）作業(yè) 教材P151中習(xí)題A組2，3，4題第二課時(shí) 相交兩圓的性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理； 2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法； 3、通過例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力； 4、結(jié)合相交兩圓連心線性質(zhì)教學(xué)向?qū)W生滲透幾何圖形的對(duì)稱

8、美 教學(xué)重點(diǎn) 相交兩圓的性質(zhì)及應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn) 應(yīng)用軸對(duì)稱來(lái)證明相交兩圓連心線的性質(zhì)和準(zhǔn)確添加輔助線 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì) （一）圖形的對(duì)稱美 相切兩圓是以連心線為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形相交兩圓具有什么性質(zhì)呢? （二）觀察、猜想、證明 1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對(duì)稱圖形，它是以連心線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形 2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦” 3、證明： 對(duì)A層學(xué)生讓學(xué)生寫出已知、求證、證明，教師組織；對(duì)B、C層在教師引導(dǎo)下完成 已知：O1和O2相交于A，B 求證：Q1O2是AB的垂直平分線 分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點(diǎn)和線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，于是想到連結(jié)O1

9、A、O2A、O1B、O2B 證明：連結(jié)O1A、O1B、 O2A、O2B，O1A=O1B， O1點(diǎn)在AB的垂直平分線上 又O2AO2B，點(diǎn)O2在AB的垂直平分線上 因此O1O2是AB的垂直平分線 也可考慮利用圓的軸對(duì)稱性加以證明： Ol和O2，是軸對(duì)稱圖形，直線O1O2是Ol和O2的對(duì)稱軸 Ol和O2的公共點(diǎn)A關(guān)于直線O1O2的對(duì)稱點(diǎn)即在Ol上又在O2上 A點(diǎn)關(guān)于直線O1O2的對(duì)稱點(diǎn)只能是B點(diǎn)， 連心線O1O2是AB的垂直平分線 定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦 注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線 （三）應(yīng)用、反思 例1、已知兩個(gè)等圓Ol和O

10、2相交于A，B兩點(diǎn)，Ol經(jīng)O2。 求OlAB的度數(shù) 分析：由所學(xué)定理可知，O1O2是AB的垂直平分線， 又O1與O2是兩個(gè)等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，O1AO2構(gòu)成等邊三角形，同時(shí)可以推證O l和O2構(gòu)成的圖形不僅是以O(shè)1O2為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，同時(shí)還是以AB為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形從而可由 OlAO260°，推得OlAB30° 解：O1經(jīng)過O2，O1與O2是兩個(gè)等圓 OlA=O1O2=AO2 O1A O2=60°， 又ABO1O2 OlAB =30° 例2、已知，如圖，A是O l、O2的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P是O1O2的中點(diǎn)。過點(diǎn)A的直線MN垂直于P

11、A，交O l、O2于M、N。 求證：AM=AN 證明：過點(diǎn)Ol、O2分別作OlCMN、O2DMN，垂足為C、D，則OlCPAO2D，且AC= AM，AD= AN OlP=O2P ，AD=AM，AM=AN 例3、已知：如圖，Ol與O2相交于A、B兩點(diǎn)，C為Ol上一點(diǎn)，AC交O2于D，過B作直線EF交Ol、O2于E、F 求證：ECDF 證明：連結(jié)AB 在O2中F=CAB， 在Ol中CAB=E， F=E，ECDF 反思：在解有關(guān)相交兩圓的問題時(shí)，常作出連心線、公共弦，或連結(jié)交點(diǎn)與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長(zhǎng)的一半，圓心距集中到一個(gè)三角形中，運(yùn)用三角形有關(guān)知識(shí)來(lái)解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合

12、分析求解 （四）小結(jié) 知識(shí)：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據(jù) 能力與方法：在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用；圓的對(duì)稱性的應(yīng)用 （五）作業(yè) 教材P152習(xí)題A組7、8、9題；B組1題探究活動(dòng) 問題1：已知AB是O的直徑，點(diǎn)O1、O2、On在線段AB上，分別以O(shè)1、O2、On為圓心作圓，使O1與O內(nèi)切，O2與O1外切，O3與O2外切，On與On-1外切且與O內(nèi)切設(shè)O的周長(zhǎng)等于C，O1、O2、On的周長(zhǎng)分別為C1、C2、Cn (1)當(dāng)n=2時(shí)，判斷Cl+C2與C的大小關(guān)系； (2)當(dāng)n=3時(shí)，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關(guān)系； (3)當(dāng)n取大于3的任一自然數(shù)時(shí)，Cl十C2十十Cn與C的大小關(guān)系怎樣?證明你的結(jié)論 提示：假設(shè)O、O1、O2、On的半徑分別為r、rl、r2、rn，通過周長(zhǎng)計(jì)算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十十Cn=C 問題2：有八個(gè)同等大小的圓形，其中七個(gè)有陰影的圓形都固定不動(dòng)，第八個(gè)圓形，緊