第二十一章 “二次根式”簡介

1、第二十一章 “二次根式”簡介課程教材研究所左懷玲本章內(nèi)容“二次根式”是數(shù)學課程標準中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容。從數(shù)學課程標準看，關(guān)于數(shù)的內(nèi)容，第三學段主要學習有理數(shù)和實數(shù)。對于有理數(shù)和實數(shù)，本套教課書主要分三章編寫，分別是7年級上冊第1章“有理數(shù)”，7年級下冊第10章“實數(shù)”和本章“二次根式”。本章是在第10章的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究有關(guān)實數(shù)的內(nèi)容。在第10章“實數(shù)”中，學生學習了一些有關(guān)實數(shù)的概念和運算，所學概念主要有平方根、算術(shù)平方根、立方根以及無理數(shù)和實數(shù)的概念；關(guān)于運算，主要是利用平方運算和立方運算求某些數(shù)的平方根和立方根，并對有理數(shù)的運算性質(zhì)和運算法則在實數(shù)的運算中仍然成立這一點有所體驗。

2、本章是在第10章的基礎(chǔ)上，進一步研究二次根式的概念和運算。在本章中，學生將學習二次根式的概念、性質(zhì)、運算法則和化簡的方法，通過對二次根式的概念和性質(zhì)的學習，學生將對實數(shù)的概念有更深刻的認識，通過對二次根式的加、減、乘、除運算的學習，學生將對實數(shù)的簡單四則運算有進一步的了解。學習本章的關(guān)鍵是理解二次根式的概念和性質(zhì)，它們是學習二次根式的化簡與運算的依據(jù)，重點是二次根式的化簡和運算，難點是正確理解二次根式的性質(zhì)和運算法則的合理性。本章內(nèi)容與已學 “實數(shù)”“整式”“勾股定理”等內(nèi)容聯(lián)系緊密，同時也是以后將要學習的“解直角三角形”“一元二次方程”和“二次函數(shù)”等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，并為學習高中數(shù)學中不等式

3、、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準備。本章教學時間約需9課時，具體分配如下（僅供參考）：211 二次根式 約2課時212 二次根式的乘除 約2課時213 二次根式的加減 約3課時數(shù)學活動小結(jié) 約2課時一、教科書內(nèi)容與課程學習目標（一）本章知識結(jié)構(gòu)框圖（二）教科書內(nèi)容本章內(nèi)容分為三節(jié)，第一節(jié)主要學習二次根式的概念和性質(zhì)，本節(jié)既是第10章相關(guān)內(nèi)容的發(fā)展，同時又是后面兩節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此本節(jié)起承上啟下的作用；第二節(jié)是二次根式的乘除運算，主要研究二次根式的乘除運算法則和二次根式的化簡；第三節(jié)是二次根式的加減，主要研究二次根式的加減運算法則和進一步完善二次根式的化簡。在第21.1節(jié) “二次根式”中，

4、教科書首先給出四個實際問題，這些實際問題的背景是學生比較熟悉的，其中包含的數(shù)學關(guān)系也是比較簡單的，前三個是幾何問題，分別是已知直角三角形的兩條直角邊求斜邊的長、已知正方形的面積求邊長和已知圓的面積求半徑，最后一個實際問題是物理方面的，涉及到的數(shù)學關(guān)系是，要求用h表示t。解決這四個問題需要利用已學的平方根和算術(shù)平方根的知識，這四個問題的答案，在結(jié)果的表達式上有共同的特點，即都是用算術(shù)平方根的形式表示出來的，這樣教科書就從實際問題出發(fā)，通過分析所得答案的表達式的共同特點引出二次根式的概念。在二次根式的概念中，重要的一點是理解被開方數(shù)是非負數(shù)的要求，教科書結(jié)合例題對此進行了較詳細的分析。接下去，教科

5、書依次探討了關(guān)于二次根式的結(jié)論：是一個非負數(shù)、。對于“是非負數(shù)”，教科書是利用算術(shù)平方根的概念得到的；對于，教科書則采用由特殊到一般的方法歸納得出的。在研究這個結(jié)論時，教科書首先設(shè)置“探究”欄目，要求學生利用算術(shù)平方根的概念進行幾個具體的計算，并對運算過程和運算結(jié)果進行進一步的分析，最后歸納給出這條結(jié)論；對于結(jié)論，教科書同樣采用了讓學生通過具體計算，分析運算過程和運算結(jié)果，最后歸納得出一般結(jié)論的方法進行研究。第一節(jié)的內(nèi)容是學習后兩節(jié)內(nèi)容的直接基礎(chǔ)。對于二次根式的運算，教科書首先研究了乘除運算，這是21.2節(jié)“二次根式的乘除”的內(nèi)容。本節(jié)中，除了學習二次根式的乘除運算法則外，還研究了二次根式的化

6、簡。對于二次根式的乘除運算，教科書首先研究了二次根式的乘法運算，二次根式的乘法法則是利用由特殊到一般的方法歸納給出的。教科書先設(shè)置一個“探究”欄目，在“探究”欄目中包含兩個不同層次的探究問題。第一步是讓學生通過計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步是讓學生對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行驗證，因此第一步中的被開方數(shù)都是完全平方數(shù)，這樣有助于學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第二步中的被開方數(shù)不是完全平方數(shù)，要求用計算器進行驗算，以確認規(guī)律是否正確。這樣，學生通過“探究”欄目的活動，就可以發(fā)現(xiàn)與之間的關(guān)系，從而得到二次根式乘法的運算法則，運用運算法則就可以進行二次根式的乘法運算。如果將二次根式的乘法法則反過來看，就可以得到積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用

7、這條性質(zhì)可以化簡二次根式，這樣教科書就給出了一種化簡二次根式的方法。對于二次根式的除法運算，類似于乘法運算，教科書也采用了由特殊到一般的方法，通過歸納得出二次根式除法的運算法則，繼而得到商的算術(shù)平方根的性質(zhì)，利用這條性質(zhì)也可以化簡二次根式，這樣教科書又給出一種化簡二次根式的方法。本節(jié)最后，教科書結(jié)合本章例題，給出了最簡二次根式的概念，明確了化簡二次根式的方向，這為下一節(jié)學習二次根式的加減運算作好鋪墊。第21.3節(jié)是“二次根式的加減”，本小節(jié)的主要內(nèi)容是二次根式的加減運算和二次根式的加、減、乘、除混合運算，本小節(jié)的基礎(chǔ)是學生已經(jīng)掌握了把一個二次根式化簡成最簡二次根式的方法。學習二次根式的運算是研

8、究數(shù)學的需要，也是實際的需要。本節(jié)開始，教科書結(jié)合一個實際問題引出二次根式的加法運算，使學生感到研究二次根式的加減運算是實際的需要。這個實際問題是要在一塊長方形木板上截出兩塊面積不同的正方形木板，當然解決這個實際問題的方法可能不同，教科書采用的是先求出兩個正方形的邊長的和，再將這個和與長方形的長進行比較的方法，利用這種方法會遇到求二次根式的和的問題，這樣教科書就從實際問題出發(fā)引出了二次根式的加法運算的問題。之后，教科書結(jié)合這個例子，研究了二次根式加減運算的法則，明確了二次根式的加減首先是化簡，在化簡之后就是類似于整式的加減運算了。整式加減無非是去括號與合并同類項，二次根式在化簡之后也是如此，合

9、并被開方數(shù)相同的二次根式（合并同類二次根式）實際上相當于合并同類項，合并的依據(jù)是分配律，關(guān)于這一點，在第10章“實數(shù)”中已經(jīng)有所涉及，教科書也在邊空給出說明。在分別學習了二次根式的加、減、乘、除運算的基礎(chǔ)上，就可以研究它們的混合運算了。教科書以例題的方式介紹了二次根式的加、減、乘、除混合運算的例子，突出了二次根式與整式之間的關(guān)系，體現(xiàn)了整式的運算性質(zhì)、公式和法則與二次根式相關(guān)內(nèi)容的一致性。（三）課程學習目標對于本章內(nèi)容，教學中應(yīng)達到以下幾方面要求：1. 理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負數(shù)的理由；2. 了解最簡二次根式的概念；3. 理解并掌握下列結(jié)論：（1）是非負數(shù)；（2）；（3）；4

10、. 掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算；5. 了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。二、本章編寫特點（一）注意加強知識間的縱向聯(lián)系本章內(nèi)容屬于”數(shù)與代數(shù)”這個領(lǐng)域，對于實數(shù)的內(nèi)容，本套教科書主要分為兩章學習，分別是七年級下冊的第10章“實數(shù)”和本章“二次根式”。在“實數(shù)”一章中，主要研究了平方根、立方根的概念和求法，實數(shù)的有關(guān)概念和運算，學生對數(shù)的認識已經(jīng)由有理數(shù)的范圍擴大到實數(shù)范圍，并對實數(shù)的運算性質(zhì)和運算法則有了初步的感受，這些就為本章的學習打下基礎(chǔ)。因此，本章編寫時充分注意與已有經(jīng)驗的聯(lián)系，在“實數(shù)”一章的基礎(chǔ)上進行編寫。例如，

11、對于二次根式的加減運算，在“實數(shù)”一章中，學生在體驗“有理數(shù)的運算律和運算法則在實數(shù)的范圍內(nèi)仍然成立”的過程中有所接觸，本章就在此基礎(chǔ)上利用分配律給出了加減法的運算法則，使學生進一步體會運算律在數(shù)的擴充過程中的一致性。本章內(nèi)容與第15章“整式”有著密切的聯(lián)系。由于數(shù)式通性，當將二次根式中的實數(shù)看成字母時，二次根式的運算實際上就是整式的運算，因此整式的運算法則和公式在二次根式的運算中繼續(xù)使用，因此本章編寫時，強調(diào)了與整式相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系。例如，教科書在介紹二次根式的混合運算時，強調(diào)了利用多項式的乘法法則和乘法公式進行運算，突出了二次根式運算的本質(zhì)，這樣的編寫方式加強了知識之間的相互聯(lián)系，有助于使學

12、生的學習形成正遷移。（二）加強與實際的聯(lián)系研究二次根式的概念和運算既是數(shù)學內(nèi)在的需要，也是實際的需要，因此本章編寫時，注意加強與實際的聯(lián)系。例如，二次根式概念的引入是結(jié)合四個實際問題展開的，二次根式加法運算是結(jié)合實際中裁截板材引出的，另外本章也有較多的應(yīng)用本章內(nèi)容解決實際問題的例題和習題，如計算鋼材問題、確定紙張規(guī)格問題、電視塔的傳播半徑問題等。加強二次根式與實際的聯(lián)系，將一些重要的概念和運算緊密結(jié)合實際生活展開，使學生在解決實際問題的過程中認識二次根式的有關(guān)概念和運算，這樣的一種編寫方式有助于學生理解二次根式的本質(zhì)，調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性（三）加大學生探索空間，體現(xiàn)由特殊到一般的認識過程由

13、于本章內(nèi)容與以前所學的實數(shù)內(nèi)容有較多聯(lián)系，在思考問題的方法上與整式的內(nèi)容又有很多相通之處，因此對于一些重要結(jié)論，編寫時注意了讓學生通過觀察、思考、討論等探究活動歸納得出結(jié)論的過程。例如，對于二次根式的乘法法則，教科書首先讓學生利用二次根式的概念和性質(zhì)進行幾個具體的計算，其中有兩個二次根式相乘的問題，也有積的算術(shù)平方根的問題，學生通過具體計算，并觀察所得結(jié)果發(fā)現(xiàn)二次根式相乘與積的算術(shù)平方根之間的關(guān)系，并利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行計算，然后利用計算器進行驗證，最后歸納得出二次根式的乘法運算法則，這個過程實際上讓學生通過探究活動經(jīng)歷了一個由特殊到一般的認識過程；同樣，二次根式的除法運算法則也是采用通過學生的

14、探索活動，由特殊到一般地歸納得出結(jié)論的方法。這樣，根據(jù)本章內(nèi)容的特點，本章編寫時盡可能多地給學生留出探索交流的空間，通過這樣的探究活動發(fā)展學生的思維能力，有效改變學生的學習方式，掌握認識事物的一般規(guī)律三、幾個值得關(guān)注的問題（一）適當加強練習，為后續(xù)學習打好基礎(chǔ)本章內(nèi)容屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中較基礎(chǔ)的內(nèi)容，尤其是二次根式的加、減、乘、除運算是后續(xù)學習解直角三角形、一元二次方程和二次函數(shù)的重要基礎(chǔ)，例如在“銳角三角函數(shù)”一章中，會遇到很多實際問題，在解決實際問題的過程中，要遇到將二次根式化成最簡二次根式以及二次根式的加減運算，在“一元二次方程”中，利用公式法解方程時，會用到二次根式的性質(zhì)，在“二次函

15、數(shù)”一章中，判斷二次函數(shù)的圖象與_軸是否有交點時，會遇到根的判別式中被開方數(shù)小于0的情形，這里需要深刻理解二次根式的意義。因此二次根式的有關(guān)概念和運算是學好這些后續(xù)內(nèi)容的重要基礎(chǔ)，而熟練掌握二次根式的概念和運算需要一定的訓練。這樣，教學中可以適當增加練習，使學生較好地理解二次根式的意義，較好地掌握二次根式的性質(zhì)和運算，為后續(xù)的學習打下良好的基礎(chǔ)，也為學習高中數(shù)學中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準備。另外，本章內(nèi)容與“整式”“勾股定理”等聯(lián)系緊密，在加強練習的過程中，要注意強調(diào)知識之間的相互聯(lián)系，進一步加深對整式和勾股定理等內(nèi)容的理解，使學生養(yǎng)成以聯(lián)系和發(fā)展的觀點學習數(shù)學的習慣（二）引導學生理解數(shù)學的本質(zhì)本章的重點是讓學生理解二次根式的概念和，并會熟練運用法則進行運算。本章編寫時，注重說明性質(zhì)和法則成立的合理性，突出了它們的數(shù)學本質(zhì)。例如，教科書在介紹二次根式的性質(zhì)時，首先讓學生通過探究活動，對這條性質(zhì)有所感受，然后再從算術(shù)平方根的意義出發(fā)，結(jié)合具體例子對這條性質(zhì)進行分析，最后由特殊