高等數學：7-4 空間曲線及其方程

1、1第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線空間曲線及其方程及其方程空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影小結小結 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(space curve)第七章第七章 空間解析幾何與向量代數空間解析幾何與向量代數2 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線空間曲線C可看作可看作特點：特點：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程曲線上的點都滿足方程曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程同時滿足兩個方程.空間兩曲面的交線空間兩曲面的交線

2、.空間曲線及其方程空間曲線及其方程xyzO1S2SC0),( zyxF0),( zyxG3例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 632122zxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx交線為交線為橢圓橢圓空間曲線及其方程空間曲線及其方程C1zxyO24例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面（如圖）上半球面（如圖）4)2(222ayax 圓柱面（如圖）圓柱面（如圖）交線為藍色部分（如圖）交線為藍色部分（如圖）空間曲線及其方程空間曲線及其方程zx

3、yOxyzO5 )()()(tzztyytxx空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程二、空間曲線的參數方程二、空間曲線的參數方程隨著參數的變化可得到曲線上的隨著參數的變化可得到曲線上的,1時時當給定當給定tt 就得到曲線上的一個點就得到曲線上的一個點),(111zyx全部點全部點.空間曲線及其方程空間曲線及其方程6動點從動點從A點出發(fā)點出發(fā),tax cos tay sin vtz 螺旋線的螺旋線的參數方程參數方程. .取時間取時間t為參數為參數,解解經過經過t時間時間,運動到運動到M點點.例例),(都是常數都是常數其中其中v 那末點那末點M 構構成的圖形稱為成的圖形稱為螺旋線螺旋線. 試建立其參

4、數方程試建立其參數方程.空間曲線及其方程空間曲線及其方程M在在xOy面的投影面的投影)0 ,(yxM zxyO MM A t a軸的正方向上升軸的正方向上升如果空間一點如果空間一點M 在圓柱面在圓柱面222ayx 上以上以角速度角速度繞繞z軸旋轉軸旋轉, 同時又以線速度同時又以線速度v沿平行于沿平行于z7螺旋線的參數方程還可以寫為螺旋線的參數方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質性質： 00: bbbz 00:上升的高度與轉過的角度成正比上升的高度與轉過的角度成正比. 即即,2 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距空間曲線及其方程空間曲線及其方程

5、zxyO MM A t P8 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關于曲線關于xOy的的設空間曲線設空間曲線C的一般方程：的一般方程：投影柱面的投影柱面的特征：特征：三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影 此柱面必包含曲線此柱面必包含曲線C,以曲線以曲線C為準線、為準線、 C投影柱面投影柱面. .空間曲線及其方程空間曲線及其方程母線垂直于所投影的坐標面母線垂直于所投影的坐標面.9類似地類似地:可定義空間曲線在其它坐標可定義空間曲線在其它坐標面上的投影面上的投影. 00),(xzyR 00),(yzxT yOz面面上的上的投影曲線投

6、影曲線 xOz面上的面上的投影曲線投影曲線 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在xOy 面上的面上的投影曲線投影曲線(或稱或稱投影投影)(即為曲線關于即為曲線關于xOy面面的的投影柱面投影柱面)(即為即為xOy 面面) C空間曲線及其方程空間曲線及其方程(即為投影柱面與即為投影柱面與xOy 面的交線面的交線)10例例 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. 211222zzyx解解(1) 消去變量消去變量z后得后得4322 yx在在 xOy面上的投影為面上的投影為 04322zyx(2) 因為曲線在平面因為曲線在平面 21 zxOy面的面的投影柱面投影柱面空間曲線及其方程空間曲線及

7、其方程上，上， 所以在所以在 xOz面上面上的投影為線段的投影為線段.23|021 xyz1123|021 yxz空間曲線及其方程空間曲線及其方程例例 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. 211222zzyx(3) 同理在同理在yOz面上的投影面上的投影 也為線段也為線段. 12交線方程為交線方程為 0222zyxxzy0 z 0222zyzy解解空間曲線及其方程空間曲線及其方程求橢圓拋物面求橢圓拋物面xzy 22與平面與平面02 zyx的交線在三個坐標面上的投影曲線方程的交線在三個坐標面上的投影曲線方程.例例(1) 消去變量消去變量z(2) 消去變量消去變量y(3) 消去變量消

8、去變量x得投影得投影 04522xxyyx得投影得投影0 y 042522xxzzx得投影得投影0 x13由參數方程表示的空間曲線在坐標面上由參數方程表示的空間曲線在坐標面上在在yOz平面上的平面上的投影投影為為在在xOy平面上的平面上的投影投影為為:想一想想一想 在在xOz平面上的平面上的投影投影呢呢?注注 tztytxsincos例例 螺旋線螺旋線即即0 z 0122zyx tztysin即即 0sinxzy的投影亦易求出的投影亦易求出.空間曲線及其方程空間曲線及其方程 tytxsincos0 x14 選擇題選擇題1.曲線曲線 在在xOy面面上的上的投影柱面投影柱面方程是方程是( ).A

9、03215416222zxzyx01162420)(22 xyxA 001162420)(22zxyxC 0071244)(22xzzyD071244)(22 zzyB空間曲線及其方程空間曲線及其方程15 2. 球面球面 與與 交線交線在在xOy面面上上投影曲線投影曲線方程是方程是()D2222Rzyx azx 0)()(2222zRzyzaB2222)()(RxayxC 0)()(2222zRxayxD空間曲線及其方程空間曲線及其方程2222( ) ()AazyzR16表示表示( ).(A) 雙曲柱面與平面雙曲柱面與平面x = 2交線交線;(B) 雙曲柱面雙曲柱面;(C) 雙葉雙曲面雙葉雙曲

10、面; (D) 單葉雙曲面單葉雙曲面.A 214922xxy曲面及其方程曲面及其方程3.17 填空題填空題1.母線平行于母線平行于x軸且通過曲線軸且通過曲線的的柱面方程柱面方程是是 2.雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面) 與與xOy面的交線面的交線是是相交于原點的兩條直線相交于原點的兩條直線. 0162222222zyxzyx16322 zy)0, 0(222 qpzqypx空間曲線及其方程空間曲線及其方程18空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT空間曲線及其方程空間曲線及其方程四、小結四、小結空間曲線的參數方程空間曲線的參數方程19曲線在曲線在xOz面上的面上的投影投影方程為方程為:曲線在曲線在yOz面上的面上的投影投影方程為方程為:曲線在曲線在xOy面上的面上的投影投影方程為方程為: 0022zaxyx 022yaaxz 00)(2224xzyaz解答解答思考題思考題1求曲線求曲線)0(0222222 aaxyxazyx在在各各坐標面坐標面上的上的投影投影方程方程.空間曲線及其方程空間