北師大數(shù)學(xué)初一上 行程問題 專題分類整理 帶部分答案

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流北師大數(shù)學(xué)初一上 行程問題 專題分類整理 帶部分答案.精品文檔.行程問題一、弄清行程問題中基本的量和它們之間的關(guān)系。行程問題中有三個(gè)基本量：速度、時(shí)間、路程。這三個(gè)量之間的關(guān)系是：路程時(shí)間×速度 ：速度路程/時(shí)間 時(shí)間 路程/速度 二、行程問題常見類型1、普通相遇問題。2、追及（急）問題。3順（逆）水航行問題。4、跑道上的相遇（追急）問題三、行程問題中的等量關(guān)系所謂等量關(guān)系就是意義相同的量能用等量連接的關(guān)系。若路程已知，則應(yīng)找時(shí)間的等量關(guān)系和速度的等量關(guān)系；若速度已知，則應(yīng)找時(shí)間的等量關(guān)系和路程的等量關(guān)系；若時(shí)間已知，則找路程的等量

2、關(guān)系和速度的等量關(guān)系。在航行問題中還有兩個(gè)固定的等量關(guān)系，就是：順?biāo)俣褥o水速度水流速度逆水速度靜水速度水流速度【通訊員問題】牢牢把握住關(guān)鍵隱含條件時(shí)間相等。【火車過橋問題】橋長車長=路程速度×過橋時(shí)間=路程【火車錯(cuò)車或超車問題】A車長B車長=路程速度和×錯(cuò)車時(shí)間=錯(cuò)車路程速度差×超車時(shí)間=超車路程【流水行船】船速：在靜水中的速度水速：河流中水流動(dòng)的速度順?biāo)伲捍陧標(biāo)叫袝r(shí)的速度逆水速度：船在逆水航行時(shí)的速度相遇問題1、甲乙兩人在一條長400 米的環(huán)形跑道上跑步，甲的速度是每分鐘跑360米，乙的速度是每分鐘跑240米。兩人同時(shí)同地同向跑，幾秒后兩人第一次相遇？

3、分析：本題屬于環(huán)形跑道上的追及問題，兩人同時(shí)同地同向而行，第一次相遇時(shí)，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即等量關(guān)系為：甲走的路程-乙走的路程=4002.為了迎接2008年北京奧運(yùn)會(huì)，小區(qū)倡導(dǎo)大家鍛煉身體，聰聰和明明兄弟兩人決定每天早起跑步，明明每秒跑4米，聰聰每秒跑6米，如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？分析：用線段圖表示為： 聰聰x秒跑的路程：              明明x秒跑的路程：用符號(hào)語言表示為（即列方程）： 

4、;                         3.甲乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步。已知環(huán)形跑道一圈長400米，乙每秒跑6米，甲的速度是乙的4/3倍。若甲、乙兩人在跑道上相距8米處同時(shí)相向出發(fā)，經(jīng)過幾秒兩人相遇？若甲在乙前8米處同時(shí)同向出發(fā)，那么經(jīng)過多長時(shí)間兩人首次相遇？分析：此題甲乙兩人的速度均已告訴，因此我們只能在時(shí)間中找等量關(guān)系，在路程中找等量關(guān)系。第問是一個(gè)

5、在環(huán)形跑道上的相遇問題。由于兩人反向同時(shí)出發(fā)，最后相遇。故相遇時(shí)兩人跑的時(shí)間是相等。得到第一個(gè)等量關(guān)系：甲時(shí)間乙時(shí)間 由于兩人出發(fā)時(shí)相距8米，所以當(dāng)兩人第一次相遇時(shí)，共跑了（4008）米。故可以得到第二個(gè)路程的等量關(guān)系 甲路程乙路程4008 設(shè)x秒后兩人相遇，則相遇時(shí)乙跑了6x米，甲跑了6× x米，代入第二個(gè)等量關(guān)系中可得方程 6×x6x4008第二問是一個(gè)環(huán)形跑道上的追急問題。因兩人同時(shí)出發(fā)，故當(dāng)甲追上乙時(shí)，兩人用時(shí)相同。可得第一個(gè)時(shí)間等量關(guān)系 甲時(shí)間乙時(shí)間由于兩人同向出發(fā)時(shí)相距8米，且速度較快的甲在前，故當(dāng)兩人第一次相遇時(shí)甲必須比乙多跑（4008）米，可得第二個(gè)行程的等

6、量關(guān)系甲路程=乙路程+400-8設(shè)X秒后甲與乙首次相遇，此時(shí)甲跑了6×x米，乙跑了6x米，代入第二個(gè)等量關(guān)系可得方程：6×x6x40084.兩塊手表走時(shí)一快一慢，快表每9小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)表快3分鐘，慢表每7小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)表慢3分鐘?，F(xiàn)在把快表指示時(shí)間調(diào)成是8:15，慢表指示時(shí)間調(diào)成8:31，那么兩表第一次指示的相同時(shí)刻是_:_；答案：5：225.在一圈300米的跑道上，甲、乙、丙3人同時(shí)從起跑線出發(fā)，按同一方向跑步，甲的速度是6千米/小時(shí)，乙的速度是千米/小時(shí)，丙的速度是3.6千米/小時(shí)，_分鐘后3人跑到一起，_小時(shí)后三人同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)；分析：我們注意到，3人跑到一起的意思是快者比慢

7、者跑的路程差應(yīng)是300的整數(shù)倍；如果都同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)，那么每人跑的路程都是300的整數(shù)倍。同時(shí)注意到本題的單位不統(tǒng)一，首先換算單位，然后利用求兩個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法可以解決問題。解：（1）先換算單位：甲的速度是米/分鐘；乙的速度是米/分鐘；丙的速度是米/分鐘。（2）設(shè)t分鐘3人第一次跑到一起，那么3人跑的路程分別是米、米、米。路程差都是300的整數(shù)倍。而 ，所以第一次3人跑到一起的時(shí)間是分鐘。（3）設(shè)k分鐘3人同時(shí)回到起點(diǎn)，那么3人跑的路程分別是米、米、米。每個(gè)路程都是300的整數(shù)倍。而，所以3人同時(shí)回到起點(diǎn)的時(shí)間是105分鐘。評注：求幾個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法是：所有分子的最小公倍數(shù)作分

8、子，所有分母的最大公約數(shù)作分母得到的分?jǐn)?shù)。6.男、女兩名運(yùn)動(dòng)員同時(shí)同向從環(huán)形跑道上A點(diǎn)出發(fā)跑步，每人每跑完一圈后到達(dá)A點(diǎn)會(huì)立即調(diào)頭跑下一圈。跑第一圈時(shí)，男運(yùn)動(dòng)員平均每秒跑5米，女運(yùn)動(dòng)員平均每秒跑3米。此后男運(yùn)動(dòng)員平均每秒跑3米，女運(yùn)動(dòng)員平均每秒跑2米。已知二人前兩次相遇點(diǎn)相距88米（按跑道上最短距離），那么這條跑道長_米；解：因?yàn)榈谝蝗r(shí)男運(yùn)動(dòng)員的速度是女運(yùn)動(dòng)員的倍，所以男運(yùn)動(dòng)員跑完第一圈后，女運(yùn)動(dòng)員剛剛跑到全長的位置。這時(shí)男運(yùn)動(dòng)員調(diào)頭和女運(yùn)動(dòng)員以相同的速度相向而行，所以第一次相遇點(diǎn)在距A點(diǎn)全長處。下面討論第二次相遇點(diǎn)的位置，在第二次相遇前，男運(yùn)動(dòng)員已經(jīng)跑完第二圈，男運(yùn)動(dòng)員跑第二圈的速度與女運(yùn)

9、動(dòng)員第一圈的速度相同，所以在男運(yùn)動(dòng)員跑完第二圈時(shí)，女運(yùn)動(dòng)員跑第二圈的時(shí)間恰好等于男運(yùn)動(dòng)員跑第一圈的時(shí)間，而女運(yùn)動(dòng)員跑第二圈的速度是男運(yùn)動(dòng)員跑第一圈速度的，所以女運(yùn)動(dòng)員剛好跑到距A點(diǎn)的位置，此時(shí)男女運(yùn)動(dòng)員相向運(yùn)動(dòng)，男運(yùn)動(dòng)員的速度為3m/s，女運(yùn)動(dòng)員的速度為2m/s。這樣第二次相遇點(diǎn)距A點(diǎn)。兩次相遇點(diǎn)間的距離為總?cè)L的。所以兩點(diǎn)在跑道上的最短距離為全長的。而這段距離又為88米。所以88÷200米。7.某人騎摩托車以300米/分的速度從始發(fā)站沿公交線出發(fā)，在行駛2400米時(shí)，恰好有一輛公共汽車總始發(fā)站出發(fā)，公交速度500米/分，每站?？?分鐘，兩站之間要行駛5分鐘，那么一路上摩托車會(huì)與公共

10、汽車遇見_次；解：摩托車與總站相距2400米的時(shí)候，遇見10次。8.A、B兩地相距105千米，甲、乙兩人分別騎車從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲速度為每小時(shí)40千米，出發(fā)后1小時(shí)45分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎。在他們相遇3分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小時(shí)20千米的速度，乙以每小時(shí)比原速快2千米的車速，兩人同時(shí)分別從A、B出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在C點(diǎn)相遇。則丙的車速是每小時(shí)_米；解：乙原來車速是每小時(shí)（105÷）-40=20千米，乙加速后與甲在C相遇，CA距離是20×=50千米，乙原來速度到C點(diǎn)時(shí)間是小時(shí)。甲、乙原來相遇地點(diǎn)與C點(diǎn)

11、的距離是千米，丙走這22千米用的時(shí)間是小時(shí)。丙車速是每小時(shí)千米。9.如圖表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，路程y(千米)隨時(shí)間x(分)變化的圖象.根據(jù)圖象回答問題；圖9(1)求比賽開始多少分鐘時(shí)，兩人第一次相遇。(2)求這次比賽全程是多少千米。(3)求比賽開始多少分鐘時(shí)，兩人第二次相遇.分析：本題將行程問題與正比例函數(shù)、一次函數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，而其數(shù)據(jù)信息完全由圖象給出，突出了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。解題的關(guān)鍵是從圖象獲取數(shù)據(jù)信息，建立起關(guān)于一次函數(shù)和二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型，這種“審讀獲取信息建立數(shù)學(xué)模型解釋、解決問題”的方式是信息性問題的基本解題方式。追及問題1. 甲乙兩人相距40千米，甲

12、先出發(fā)1.5小時(shí)乙再出發(fā)，甲在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小時(shí)8千米，乙的速度是每小時(shí)6千米，甲出發(fā)幾小時(shí)后追上乙？分析：由于甲乙二人相距40千米，同向而行，甲先出發(fā)1.5小時(shí)（此時(shí)乙未出發(fā)），經(jīng)過1.5小時(shí)后乙才出發(fā)和甲同向而行，后來甲追上了乙，所以有等量關(guān)系：甲走的路程-乙走的路程=兩人原來的距離。如果設(shè)甲出發(fā)x小時(shí)后追上乙，則乙運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（x-1.5）小時(shí)，所以甲走的路程為8x千米，乙走的路程為6（x-1.5）千米。2. 甲乙兩人相距100米，甲在前每秒跑3米，乙在后每秒跑5米。兩人同時(shí)出發(fā)，同向而行，幾秒后乙能追上甲？分析：在這個(gè)直線型追及問題中，兩人速度不同，跑的路程也不同

13、，后面的人要追上前面的人，就要比前面的人多跑100米，而兩人跑步所用的時(shí)間是相同的。所以有等量關(guān)系：乙走的路程-甲走的路程=100        解：設(shè)x秒后乙能追上甲        根據(jù)題意 得  5x-3x=100                    

14、x=50答：50秒后乙能追上甲3.小明每天早上要在7：50之前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)。一天，小明以80米/分的速度出發(fā)，5分后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多長時(shí)間？（2）追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？分析：用線段圖表示為：  用符號(hào)語言表示為（即列方程）設(shè)：爸爸追上小明用了x分鐘，則可列方程為：                 &#

15、160;  4.某校新生列隊(duì)去學(xué)校實(shí)習(xí)基地鍛煉，他們以每小時(shí)4千米的速度行進(jìn)，走了  小時(shí)時(shí)，一學(xué)生回校取東西，他以每小時(shí)5千米的速度返回學(xué)校，取東西后又以同樣速度追趕隊(duì)伍，結(jié)果在距學(xué)校實(shí)習(xí)基地1500米的地方追上隊(duì)伍，求學(xué)校到實(shí)習(xí)基地的路程  分析：用線段圖表示為： 用符號(hào)語言表示為（即列方程）5.在一環(huán)行軌道上有三枚彈子同時(shí)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。已知甲于第10秒鐘時(shí)追上乙，在第30秒時(shí)追上丙，第60秒時(shí)甲再次追上乙，并且在第70秒時(shí)再次追上丙，問乙追上丙用了多少時(shí)間？(第11屆希望杯競賽培訓(xùn)題)解：設(shè)甲的運(yùn)動(dòng)速度是 乙的運(yùn)動(dòng)速度是，丙的運(yùn)動(dòng)速度

16、是設(shè)環(huán)形軌道長為L。甲比乙多運(yùn)動(dòng)一圈用時(shí)50秒，故有 甲比丙多運(yùn)動(dòng)一圈用時(shí)40秒，故有 可得到 甲、乙、丙初始位置時(shí)，乙、丙之間的距離甲、丙之間距離甲、乙之間距離（）×30（ ）×10； 乙追上丙所用時(shí)間秒所以第110秒時(shí)，乙追上丙評注：相遇問題的關(guān)系式是：路程和=速度和´時(shí)間；追及問題的關(guān)系式是：追及路程=速度差´時(shí)間。6.小明每天早上要在7：50之前趕到距離家1000米的學(xué)校去上學(xué)。小明以80米/分的速度出發(fā)，5分鐘后小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語文書。于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追小明用了多長時(shí)間？分析：此題中小明

17、的速度，爸爸的速度均已告訴。因此速度之間不存在等量關(guān)系。我們只能在父子二人的時(shí)間和父子二人的路程上找等量關(guān)系。由于小明比爸爸早出發(fā)5分鐘，且相遇時(shí)在同一個(gè)時(shí)刻，因此相遇時(shí)爸爸比小明少用5分鐘，可得時(shí)間的等量關(guān)系：爸爸的時(shí)間5分鐘小明的時(shí)間 當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，父子二人都是從家走到相遇的地點(diǎn)，故爸爸行的路程與小明行的路程相等。得路程相等關(guān)系。 爸爸路程小明路程 如果爸爸追上小明用了x分鐘，則第一個(gè)相等關(guān)系得：小明用了（x5）分鐘，帶入第二個(gè)等量關(guān)系，可得方程 180x80（x5）7.甲、乙兩人同時(shí)同地同向出發(fā)，沿環(huán)行跑道勻速跑步，如果出發(fā)時(shí)乙的速度是甲的2.5倍，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，甲的速度立即提

18、高，而乙的速度立即減少，并且乙第一次追上甲的地點(diǎn)與第二次追上甲的地點(diǎn)相距（較短距離）100米，那么這條環(huán)行跑道的周長是_米；ACB解：設(shè)甲原來的速度是1個(gè)單位，則乙原來的速度是2.5個(gè)單位，甲后來的速度是1.25個(gè)單位，乙后來的速度是2個(gè)單位。設(shè)第一次甲跑了x圈時(shí)被乙追上，則此時(shí)乙跑了(x+1)圈；被追上后甲又跑了y圈再次被乙追上，則乙又跑了(y+1)圈。利用兩次甲乙跑的時(shí)間相等列方程：解得：如圖，若兩人從A出發(fā)逆時(shí)針跑，則第一次乙在B點(diǎn)追上甲，第二次在C點(diǎn)追上甲（A、B、C是圓周的三等分點(diǎn)）。因?yàn)锽、C相距100米，所以環(huán)形跑道的周長為米。ACBBA8.某體育館有兩條周長分別為150米和25

19、0米的圓形跑道如圖，甲、乙倆個(gè)運(yùn)動(dòng)員分別從兩條跑道相距最遠(yuǎn)的兩個(gè)端點(diǎn)A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)跑到兩圓的交匯點(diǎn)C時(shí)，就會(huì)轉(zhuǎn)入到另一個(gè)圓形跑道，且在小跑道上必須順時(shí)針跑，在大跑道上必須逆時(shí)針跑。甲每秒跑4米，乙每秒跑5米，當(dāng)乙第5次與甲相遇時(shí)，所用時(shí)間是_秒。分析：本題如果按原來的圖形思考，會(huì)是非常麻煩的事，需要分段計(jì)算，然后找到周期，這樣沒有細(xì)心的計(jì)算是很難解決問題的?，F(xiàn)在我們注意到在小圓上是順時(shí)針，在大圓上是逆時(shí)針，如果這兩個(gè)圓能“擰開”就是一個(gè)在周長400米的大圓上的不同起點(diǎn)同時(shí)的追及問題，題目一下子變得非常簡單了。解：根據(jù)分析，甲在A處，乙在B處，相距200米同時(shí)同向而行，乙速較快，第一次追

20、上甲要多跑200米，以后每追上一次乙都要比甲多跑400米，那么第五次乙追上甲時(shí)，比甲多跑400×4+2001800米，需要的時(shí)間是1800÷（54）1800秒。評注：當(dāng)一個(gè)問題按試題指引的方向比較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)可以換一個(gè)角度得以使試題簡化，而題目本身并沒有實(shí)質(zhì)上的變化，這是解決數(shù)學(xué)問題經(jīng)常用到的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。9.某路公交線共有30站（含始發(fā)站和終點(diǎn)站），車站間隔2.5千米，某人騎摩托車以300米/分的速度從始發(fā)站沿公交線出發(fā)，差100米到下一站時(shí)，公交總站開始發(fā)車，每2分鐘一輛，公交速度500米/分，每站停靠3分鐘，那么一路上摩托車會(huì)被公共汽車從后追上并超過_次；（摩托

21、車從始至終不停，公交車到終點(diǎn)即停）解：摩托車與總站相距2400米的時(shí)候，第一輛車開始發(fā)車，它與摩托車超過9次，第二輛超過8次，第三輛超過2次，共計(jì)19次；隊(duì)伍中的行程問題1.某隊(duì)伍450米長，以每分鐘90米速度前進(jìn)，某人從排尾到排頭取東西后，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返共需多少時(shí)間？講評：這一問題實(shí)際上分為兩個(gè)過程：從排尾到排頭的過程是一個(gè)追及過程，相當(dāng)于最后一個(gè)人追上最前面的人；從排頭回到排尾的過程則是一個(gè)相遇過程，相當(dāng)于從排頭走到與排尾的人相遇。解：在追及過程中，設(shè)追及的時(shí)間為x秒，隊(duì)伍行進(jìn)（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/

22、秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程被追者的路程=原來相隔的路程”，有：    3x1.5x=450    x=300       在相遇過程中，設(shè)相遇的時(shí)間為y秒，隊(duì)伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有：    3y+1.5y=450    y=100 故往返共需的時(shí)間

23、為  x+y=300+100=400（秒）2.某行軍總隊(duì)以8千米/時(shí)的速度前進(jìn)。隊(duì)末的通信員以12千米/時(shí)的速度趕到排頭送一封信，送到后立即返回隊(duì)尾，共用時(shí)14.4分鐘。求這支隊(duì)伍的長度。分析：此題在通信員追上排頭以前是一個(gè)追急問題。從排頭回到排尾是一個(gè)相遇問題。我們應(yīng)分著兩種情形去考慮問題。由時(shí)間共用14.4分鐘可得一個(gè)等量關(guān)系：通信員追上排頭的時(shí)間 +通信員回到排尾的時(shí)間=14.4分鐘再由兩個(gè)固定關(guān)系 相遇路程/速度和=相遇時(shí)間 追急路程/速度差=追擊時(shí)間 可得兩個(gè)等量關(guān)系：相遇路程/8+12=相遇時(shí)間追急路程/12-8=追急時(shí)間 設(shè)隊(duì)伍長x千米，則追急時(shí)間為 小時(shí)，相遇時(shí)間為

24、小時(shí)，代入第個(gè)等量關(guān)系中可得方程 + = . 總之，利用列方程來解決問題的方法是數(shù)學(xué)里面一個(gè)重要思想，就是方程思想。具體做法是從題中找出反映題中全部意義的所有等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系用字母代替未知數(shù)列出方程。路程與時(shí)間問題（路途上有坡坎等）1.從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米。車從甲地開往乙地需9小時(shí)，乙地開往甲地需小時(shí)，問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？(第五屆華杯賽復(fù)賽題)分析 本題用方程來解簡單自然。解 設(shè)從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，根據(jù)題意得方程組解這個(gè)方

25、程組有很多種方法。例如代入消元法、加減消元法等。由于方程組系數(shù)比較特殊(第一個(gè)方程中x的系數(shù)恰好是第二個(gè)方程中y的系數(shù)，而y的系數(shù)也恰好是第二個(gè)方程中x的系數(shù))，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得 (x+y)( +)=9+所以 x+y= (3)(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-所以 x-y= (4)由(3)、(4)得 x=所以甲、乙兩地間的公路長210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。2. 攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯。由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息。司機(jī)說

26、，再走從C市到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了。問A、B兩市相距多少千米？(第五屆華杯賽決賽試題)分析：本題條件中只有路程，沒有時(shí)間和速度，因而應(yīng)當(dāng)仔細(xì)分析各段路程之間的關(guān)系。解：如圖，設(shè)小鎮(zhèn)為D，傍晚 汽車在E 休息 A D C E B 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD=DC 又由已知，EB=CE 兩式相加得：AD+ EB=DE因?yàn)镈E=400千米，所以AD+ EB=´400=200千米，從而A、B兩市相距400+200=600千米評注：行程問題常通過畫行程示意圖來幫助我們思考。3.小明早上從家步行到學(xué)校，走完一半路程時(shí)，爸爸發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本丟在家里，隨即騎車去給小明送

27、書，追上時(shí)，小明還有的路程未走完，小明隨即上了爸爸的車，由爸爸送往學(xué)校。這樣，小明就比獨(dú)自步行提早了5分鐘到學(xué)校，小明從家到學(xué)校全部步行需要_分鐘；解：小明走，與小明的爸爸走的時(shí)間相同，所以他們的速度比是：7：2，接下來如果小明步行，爸爸騎車都走的路程，那么小明就多用5分鐘，設(shè)速度的一份為x，則，所以小明的速度是，從家到學(xué)校的路程是1，所用時(shí)間是分鐘。汽車發(fā)車問題1.公共汽車每隔x分鐘發(fā)車一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面開來一輛公共汽車。如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x等于 分鐘。(第六屆迎春杯初賽試題)分析：此題包括了行程問題中的相遇

28、與追及兩種情況。若設(shè)汽車速度為a米/每秒，小宏速度為b米/每秒，則當(dāng)一輛汽車追上小宏時(shí)，另一輛汽車在小宏后面ax米處，它用6分鐘追上小宏。另一方面，當(dāng)一輛汽車與小宏相遇時(shí)，另一輛汽車在小宏前面ax米處，它經(jīng)過分鐘與小宏相遇。由此可列出兩個(gè)方程。解：設(shè)汽車速度為a米/每秒，小宏速度為b米/每秒，根據(jù)題意得 兩式相減得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5評注：行程問題常分為同向運(yùn)動(dòng)和相向運(yùn)動(dòng)兩種，相遇問題就是相向運(yùn)動(dòng)，而追及問題就是同向運(yùn)動(dòng)。解這類問題分析時(shí)往往要結(jié)合題意畫出示意圖，以便幫助我們直觀、形象地理解題意。有河流的行程問題1 有編號(hào)為、的3條賽艇，其在靜水中的速度依次為每小時(shí)v1

29、、v2、v3千米，且滿足v1> v2> v3> v >0，其中v為河流的水流速度。它們在河流上進(jìn)行追逐賽，規(guī)則如下： (1) 3條賽艇在同一起跑線上同時(shí)出發(fā)，逆流而上，在出發(fā)的同時(shí)，有一浮標(biāo)順流而下； (2) 經(jīng)過1小時(shí)，、號(hào)賽艇同時(shí)掉頭，追趕浮標(biāo)，誰先追上誰為冠軍。在整個(gè)比賽期間各艇的速度保持不變，則比賽的冠軍 解：經(jīng)過1小時(shí)，、號(hào)賽艇同時(shí)掉頭，掉頭時(shí)，各艇與浮標(biāo)的距離為： S i=(vi-v)´1+v´1= vi ´1(i=1、2、3) 第i號(hào)賽艇追上浮標(biāo)的時(shí)間為：(小時(shí))由此可見，掉頭后各走1小時(shí)，同時(shí)追上浮標(biāo)，所以3條賽艇并列冠軍。

30、評注：順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度-水流速度。2.一貨輪航行于A、B兩個(gè)碼頭之間，水流速度為3km/小時(shí)，順?biāo)?.5小時(shí)，逆水需3小時(shí)，求兩碼頭之間的距離。分析：此題是一個(gè)航行問題，由于順?biāo)钑r(shí)間，逆水所需時(shí)間均已告訴，所以我們只找速度等量關(guān)系，路程等量關(guān)系，而其速度的兩個(gè)等量關(guān)系時(shí)固有的，即：順?biāo)俣?靜水速度+水速、逆水速度=靜水速度-水速。對此提來講就是順?biāo)俣?靜水速度+3；逆水速度=靜水速度-3.路程關(guān)系是比較明顯的，即：順?biāo)烦?逆水路程我們用來列方程，那就是需要順?biāo)畷r(shí)間、順?biāo)俣取⒛嫠畷r(shí)間、逆水速度，兩個(gè)時(shí)間已知，只要放出靜水速度為xkm/h,由、就可以分

31、別列出表示出順?biāo)俣?（x+3）km/h,逆水速度=（x+3）km/h,代入可得方程：2.5（x+3）=3(x-3)我們看到設(shè)出來的未知數(shù)不是題中要問的，這就是間接設(shè)元。若設(shè)出來的未知數(shù)正好是題中所要求的，那就是直接設(shè)元。好多題都是間接設(shè)元比較簡單。此題若是直接設(shè)元會(huì)比較難。3.一艘船在一條河里5個(gè)小時(shí)往返2次，第一小時(shí)比第二小時(shí)多行4千米，水速為2千米小時(shí)，那么第三小時(shí)船行了_千米；解：首先判斷出開始是順流。在第1小時(shí)和第2小時(shí)這兩個(gè)相等的時(shí)間內(nèi)，速差是4，路程差也是4，那么得到第1小時(shí)正好是走一個(gè)順流的長度。由于第1個(gè)小時(shí)在順?biāo)畷r(shí)走的才是一個(gè)全長，那么第4小時(shí)肯定是逆水。具體行駛情況如圖。

32、再者，第2小時(shí)和第3小時(shí)逆行的路程都是4，那么它們順行的路程也必須相等，故第3小時(shí)的最終時(shí)刻到全長的中點(diǎn)。44最后，比較第3小時(shí)和第3小時(shí)行駛的情況：設(shè)全長為2a千米，船在靜水中的速度為每小時(shí)x千米。解得a10千米。4.一架飛機(jī)帶的燃料最多用6小時(shí)，順風(fēng)去，每小時(shí)1500公里，逆風(fēng)回，每小時(shí)1200公里，飛機(jī)最多飛出_小時(shí)返回；解：我們知道去時(shí)順風(fēng)，每小時(shí)1500公里，也就是去時(shí)每走1公里用小時(shí)，回來時(shí)逆風(fēng)，每小時(shí)1200公里，也就是回來時(shí)每走1公里用小時(shí)。這樣，每公里的路程來回共需要小時(shí)。燃料最多能用6小時(shí)，所以飛機(jī)最多可飛行=4000(公里)順風(fēng)時(shí)飛行4000公里需要4000÷1

33、500=小時(shí)。所以最多飛出小時(shí)。火車問題1.一列火車勻速前進(jìn)，從開進(jìn)入300米長的隧道到完全駛出隧道共用了20秒，隧道頂部一盞固定的聚關(guān)燈照射火車10秒，這列火車的長度是多少？分析：此題的關(guān)鍵是把題意理解清楚。“開始進(jìn)入隧道到完全駛出隧道”的意思是火車進(jìn)入隧道到火車完全離開隧道。此過程火車行駛的路程應(yīng)為隧道的長度與火車長度的和。故可得第一個(gè)等量關(guān)系 火車路程=火車長度+300 “聚光燈照射火車10秒”的意思是火車以它的速度10秒行進(jìn)的路程是火車的長度。故可得第二個(gè)等量關(guān)系火車長度=火車速度×10 設(shè)該火車的速度為x米/秒，則由得火車長度為10x米。代入第一個(gè)等量關(guān)系中，可得方程20x

34、=10x+300時(shí)鐘問題1.早上8點(diǎn)多的時(shí)候上課鈴響了，這時(shí)小明看了一下手表。過了大約1小時(shí)下課鈴響了，這時(shí)小明又看了一下手表，發(fā)覺此時(shí)時(shí)針和分針的位置正好與上課鈴響時(shí)對調(diào)，那么上課時(shí)間是_時(shí)_分。分析：8點(diǎn)多上課，下課是9點(diǎn)多，兩次的時(shí)針應(yīng)是在89與910之間，這樣可以初步判斷出上課時(shí)間是8：點(diǎn)45分到8：50，下課時(shí)間是9：40到9：45之間。再利用分針與時(shí)針?biāo)俣鹊年P(guān)系即可轉(zhuǎn)化成環(huán)形上的行程問題。解：有分析可以知道，分針和時(shí)針走的總路程是整個(gè)圓周，設(shè)分針?biāo)俣葹?，那么時(shí)針?biāo)俣葹?，分針每小時(shí)走60個(gè)小格，設(shè)8與時(shí)針的夾角為x格，9與分針的夾角為y格，根據(jù)時(shí)間相同列方程組：。所以上課的時(shí)間為4

35、0+=分鐘。2.一只舊鐘的分針和時(shí)針每65分鐘(標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的65分鐘）重合一次,這只鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的1天（快或慢）_分鐘；分析：我們標(biāo)準(zhǔn)鐘每65標(biāo)準(zhǔn)分鐘時(shí)針、分針重合一次。舊鐘每65分鐘重合一次。顯然舊鐘快。本題的難點(diǎn)在于從舊鐘兩針的重合所耗用的65標(biāo)準(zhǔn)分鐘推算出舊鐘時(shí)針或分針的旋轉(zhuǎn)速度(每標(biāo)準(zhǔn)分鐘旋轉(zhuǎn)多少格)進(jìn)而推算出舊鐘的針24標(biāo)準(zhǔn)小時(shí)旋轉(zhuǎn)多少格，它與標(biāo)準(zhǔn)鐘的針用24標(biāo)準(zhǔn)小時(shí)所走的格數(shù)的差就是舊鐘鐘面上顯示的比標(biāo)準(zhǔn)鐘快的時(shí)間讀數(shù)。解：設(shè)舊鐘分針每標(biāo)準(zhǔn)分鐘走x格。那么，每走1格用標(biāo)準(zhǔn)分鐘。如用復(fù)合單位表示：舊鐘分針?biāo)俣葹閤 (格/標(biāo)準(zhǔn)分)。舊鐘分針走60格時(shí)針走5格，時(shí)針?biāo)俣瓤偸欠轴樀?，所以舊鐘

36、時(shí)針?biāo)俣葹閤 (格/標(biāo)準(zhǔn)分)。每次重合耗用65標(biāo)準(zhǔn)分鐘，而且兩次重合之間分針趕超了時(shí)針60格，列方程：.標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天有60×241440標(biāo)準(zhǔn)分，一天內(nèi)舊鐘分針走的格數(shù)為：×60×24。但是我們只須求出舊鐘分針比標(biāo)準(zhǔn)鐘分針多走了多少格，即減去1440個(gè)(標(biāo)準(zhǔn)鐘的)格，所以有×60×2460×24(1)×60×24×60×2410(舊鐘格)這里一定要明白，這10只是舊鐘上顯示的多走的格數(shù)，也是舊鐘的非標(biāo)準(zhǔn)分鐘數(shù)，并非標(biāo)準(zhǔn)的分鐘數(shù)。答：這只舊鐘在標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間一天內(nèi)快10分鐘。(按舊鐘上的時(shí)間)3.一個(gè)特殊

37、的圓形鐘表只有一根指針，指針每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為成差數(shù)列遞增。現(xiàn)在可以設(shè)定指針第一秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度a（a為整數(shù)），以及相鄰兩秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角度差1度，如果指針在第一圈內(nèi)曾經(jīng)指向過180度的位置，那么a最小可以被設(shè)成_，這種情況下指針第一次恰好回到出發(fā)點(diǎn)是從開始起第_秒。解：對于滿足條件的a，即存在1個(gè)自然數(shù)n，使得a+(a+1)+(a+2)+¼+(a+n-1)=180，即(2a+n-1)n=360。顯然a越小時(shí)，2a+n-1與n的差越小。又2a+n-1與n的奇偶性不同，于是可推出n=15，a=5。故a最小可以被設(shè)成5。在這種情況下指針第一次恰好回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，即5+6+7+n=360k（k是整數(shù)，n

38、5），所以(n+5)(n-4)能被720整除。注意到n-4n+5(mod3)，所以n-4和n+5是3的倍數(shù)。又n+5與n-4的奇偶性不同，故有一個(gè)是16的倍數(shù)。且n+5與n-4中有1個(gè)是5的倍數(shù)。于是得出滿足條件的最小的n是100。時(shí)間為96秒。流水行船問題：1.某人乘坐觀光游船沿河流方向從A港到B港前行。發(fā)現(xiàn)每隔40分鐘就有一艘貨船從后面追上游船,每隔20分鐘就會(huì)有一艘貨船迎面開過。已知A、B兩港之間貨船發(fā)出的間隔時(shí)間相同，且船在靜水中的速度相同，均是水速的7倍。那么貨船的發(fā)出間隔是_分鐘；分析：對于直線上汽車與行人的迎面相遇和背后追及這個(gè)類型的問題是多見的，這里要注意順?biāo)c逆水的不同。解：

39、設(shè)貨車在靜水中的速度為6，那么水速為1，游船的速度為x，時(shí)間間隔為t，那么在追及的情況下的間隔為30×(6+1)-(x+1)=(6+1)×t，迎面相遇情況下的間隔為20×(6-1)+(x+1)=(6-1)×t，解得t720/29分鐘。評注：這里要注意與路面上的情況不同的是發(fā)車的時(shí)間間隔相同時(shí)候，在順?biāo)c逆水的間隔路程就不同了，就是這樣出錯(cuò)的。2.有一地區(qū)，從A到B為河流，從B到C為湖。正常情況下，A到B有水流，B到C為靜水。有一人游泳，他從A游到B，再從B游到C用3小時(shí)；回來時(shí)，從C游到B，再從B到A用6小時(shí)。特殊情況下，從A到B、從B到C水速一樣，他從

40、A到B，再到C用2.5小時(shí)，在在這種情況下，從C到B再到A用_小時(shí)；解：設(shè)BC為1份，AB為x份，則AB占總體的，BC占總體的，根據(jù)特殊情況下，從A到B、從B到C水速一樣，他從A到B，再到C用2.5小時(shí)，速度相同，時(shí)間的比等于路程的比，得到關(guān)于時(shí)間的等式.這樣得到其它兩個(gè)條件的等式：而要求的算式是這樣知道在BC上逆水時(shí)的時(shí)間為，靜水時(shí)所用時(shí)間為，順?biāo)畷r(shí)所用時(shí)間為，所以在BC上逆水、靜水、順?biāo)畷r(shí)的速度比為：，由于三者是公差為水速的等差數(shù)列，所以得到等式：=+，.所以.答：在特殊情況下，從C到B再到A用7.5小時(shí)。評注：本題的關(guān)系十分復(fù)雜，把四個(gè)條件都用時(shí)間表示出來，然后尋找在BC上的三種速度是一

41、個(gè)等差數(shù)列。3.A地位于河流的上游，地位于河流的下游，每天早上，甲船從地、乙船從地同時(shí)出發(fā)相向而行。從12月1號(hào)開始，兩船都裝上了新的發(fā)動(dòng)機(jī)，在靜水中的速度變?yōu)樵瓉淼?.5倍，這時(shí)兩船的相遇地點(diǎn)與平時(shí)相比變化了1千米。由于天氣的原因，今天（12月6號(hào)）的水速變?yōu)槠綍r(shí)的2倍，那么今天兩船的相遇地點(diǎn)與12月2號(hào)相比，將變化_千米；分析：對于流水行船問題，注意水速的影響，水中相遇時(shí)，速度的和不變；解：設(shè)開始甲船在靜水中中速度為V甲，乙船在靜水中速度為V乙，水速為V水，相遇時(shí)間為t。（1）開始時(shí)相遇時(shí)間為t，而速度均增加1.5倍時(shí)，行駛路程不變，故時(shí)間縮小1.5倍時(shí)間即為t¸1.5=，根據(jù)兩次相遇點(diǎn)相距1千米，甲兩次的路程差為1千米，列方程，tV水=3，從而（千