(整理)第1章質點運動學

1、大學物理學大學物理學上上主講主講 蔣純志蔣純志 前言前言 物理學的發(fā)展，廣泛而直接推動著技術的革命和社會的發(fā)展。 18世紀60年代開始的第一次技術革命以蒸汽機應用蒸汽機應用為標志，是牛頓力學和熱力學牛頓力學和熱力學發(fā)展的結果；19世紀70年代開始的第二次技術革命以電力的廣泛應用和無線電通信電力的廣泛應用和無線電通信為標志，是電磁學電磁學發(fā)展的結果；20世紀40年代興起的并一直延續(xù)至今的第三次技術革命是相對論和量子論相對論和量子論發(fā)展的結果。 力學是物理學中最古老和發(fā)展最完美的學科。其淵源在西方可追溯到公元前4世紀古希臘學者柏拉圖認為圓運動是天體的最完美的運動和亞里斯多德關于力產生運動的說教；在

2、中國可以追溯到公元前5世紀墨經中關于杠桿原理的論述。 力學成為一門科學理論是從17世紀伽利略論述慣性運動開始，繼而牛頓提出的三個運動定律。牛頓定律為基礎的力學理論叫牛頓力學或經典力學，它曾經被尊為完美普遍的理論而興盛了約300年。在20世紀初發(fā)現了它的局限性，高速領域為相對論所取代，在微觀領域為量子力學所取代，而在一般技術領域，仍保持著重要的地位。為什么鳥撞飛機發(fā)動機受傷葉片總是往外翻卷？ （逆飛機飛行方向）民航機鳥撞后外觀我 國 中 科 院 等 離 子 體 所 的我 國 中 科 院 等 離 子 體 所 的EAST超導托卡馬克裝置（位超導托卡馬克裝置（位于合肥市科學島）。于合肥市科學島）。19

3、94年通年通過國際合作成功研制出過國際合作成功研制出HT-7超導托卡馬克裝置超導托卡馬克裝置 ，使我國，使我國成為繼俄、日、法之后第四個成為繼俄、日、法之后第四個擁有該類裝置的國家。項目的擁有該類裝置的國家。項目的名稱在名稱在2003年年10月正式由月正式由HT-7U改為改為EAST。 EAST裝置的裝置的主機部分高主機部分高11米，直徑米，直徑8米，米，重重400噸，由超高真空室、縱噸，由超高真空室、縱場線圈、極向場線圈、內外冷場線圈、極向場線圈、內外冷屏、外真空杜瓦、支撐系統(tǒng)等屏、外真空杜瓦、支撐系統(tǒng)等六大部件組成。六大部件組成。重慶菜園壩長江大橋。大橋創(chuàng)下了三項世界第一：鋼箱拱梁跨距42

4、0米，為世界第一長；是世界第一座公路輕軌兩用城市大橋；也是世界第一座采用纜索吊機安裝的大橋。2007年通車重慶朝天門長江大橋，雙層公軌兩用橋，下層是輕軌軌道。主跨552米，號稱世界第一拱橋，2009年通車嘉陵江輕軌大橋重慶悅來嘉陵江大橋物理學：研究物質世界最基本的結構、最普遍的相互作用物理學：研究物質世界最基本的結構、最普遍的相互作用以及最一般的運動規(guī)律的學科，是一門以實驗為基以及最一般的運動規(guī)律的學科，是一門以實驗為基礎的自然科學。礎的自然科學。力學：研究物體作機械運動力學：研究物體作機械運動(物體位置隨時間的變化物體位置隨時間的變化)的規(guī)的規(guī)律及其應用的科學。律及其應用的科學。(它是物理學

5、的基礎它是物理學的基礎)運動學：運動學：研究物體位置隨時間變化的描述。研究物體位置隨時間變化的描述。動力學：動力學：研究物體的機械運動和物體相互作用力之研究物體的機械運動和物體相互作用力之間的關系。間的關系。經典力學研究物體做低速運動，相對論力學研究物經典力學研究物體做低速運動，相對論力學研究物體做高速運動。體做高速運動。力學的總框架力學的總框架力學力學運動學（平動和轉動）運動學（平動和轉動）動力學動力學牛頓定律和轉動定律牛頓定律和轉動定律守恒守恒定律定律動量守恒定律動量守恒定律機械能守恒定律機械能守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律第第1 1章章 質點運動的描述質點運動的描述1 1 質點運動

6、的描述質點運動的描述2 2 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度3 3 相對運動相對運動物體如何簡化？物體如何簡化？物體運動如何描述？物體運動如何描述？1-1 1-1 質點質點 一、實際研究中要對對象一、實際研究中要對對象( (物體物體) )的簡化的簡化 建立理建立理想模型想模型 抓主要因素抓主要因素 忽略次要因素忽略次要因素如研究對象是地球如研究對象是地球A.A.公轉公轉E ES S主要因素：太陽的引力主要因素：太陽的引力而其他天體的作用力和形狀而其他天體的作用力和形狀均可忽略均可忽略 B.B.自轉自轉形狀不可忽略形狀不可忽略這兩種情況應作不這兩種情況應作不同的簡化同的簡化二、質點二

7、、質點 參考系和坐標系參考系和坐標系 1.1.質點質點 物體的形狀可忽略，物體可看作有質量的點。物體的形狀可忽略，物體可看作有質量的點。 公轉的地球可看作質點，而自轉的地球不能當成質點。公轉的地球可看作質點，而自轉的地球不能當成質點。 1.1.參考系和坐標系參考系和坐標系 物質的運動是絕對的，又是相對的。物質的運動是絕對的，又是相對的。 參考系：選作參考的物體。參考系：選作參考的物體。 勻速直線運動的火車中，有一個自由下落的物體，勻速直線運動的火車中，有一個自由下落的物體， 火車為參考系，火車為參考系， 以地面為參考系，分別作何運動？以地面為參考系，分別作何運動？ 坐標系：從數量上確定物體相對

8、于參考系的位置。坐標系：從數量上確定物體相對于參考系的位置。P時刻時刻t t 質點運動到質點運動到P P點點任選一參考點任選一參考點o (o (通常選坐標原點通常選坐標原點) )oPror為質點為質點 t t 時刻的時刻的 位置矢量位置矢量)(trr 位置矢量也叫位置矢量也叫 運動函數運動函數通常位矢是通常位矢是t t 的函數的函數 寫成寫成 稱矢量稱矢量1-2 描述物體運動的物理量一、位置矢量一、位置矢量( r )( r )描述質點在空間位置的物理量。ZOXYP(x,y,z)方法： 建立坐標系,P (x, y, z) 原點到P點的有向線段OP = r kzjyixr大小：222|zyxrr方

9、向：rzryrxcos cos cos 方向余弦1coscoscos222kjri運動方程運動方程x = x (t )y = y (t )z = z (t )ktzjtyitxtrr)()()()(軌道方程：0),(zyxf),( yxzz 或補例11 自由落體運動的運動方程為221gty 補例12 平拋運動的運動方程2021gtytvx從上運動方程中消去 t 得2202xvgy 為軌跡方程二、位移二、位移 ( )描述質點位置變化的大小和方向的物理量質點從A點運動到B點ZOXYABABrrr注意： 位移跟路程的區(qū)別路程：質點在空間運動軌跡的長度 是標量。rArB大小 （A指向B的長度）方向 A

10、 B |rrDrDsDsDZOXYAB rArB| |ABrrrABrrr rr |Cr位移的大小不等于位置矢量大小的改變量位移的大小不等于位置矢量大小的改變量sDrD三、速度（三、速度（ v ）描述質點位置變化的快慢和方向的物理量: 平均速度 瞬時速度：瞬時速度：dtrdtrvt0limtrv ZOXYABrArB大?。簍r tr tr 方向：同與 r rDsD的極限方向（切向）當方向：0 trdtrdv 大?。悍Q速率。 平均速率瞬時速率0dlimdtSSvtt tSv ZOXYAB rArBCr: 0 t但Sr |trvt|lim0tSt0limdtdS一般而言：tStrdtkzddtj

11、yddti xdv)()()(kvjvivzyxkdtdzjdtdyidtdxsDrD四、加速度四、加速度描述質點速度變化快慢和方向的物理量tva 平均加速度瞬時加速度:0dlimdtvvatt ddddddyxzvvvijkttt222222ddddddxyzijktttkajaiazyx 0;avt 方向：當的極限方向d dvt大 小 ：ZOXYABAvAvBvBvv 1-3 1-3 運動學的兩類問題運動學的兩類問題一、一、已知運動方程，求速度、加速度已知運動方程，求速度、加速度（求導數）。（求導數）。例1 一質點的運動方程為 x = 4t2, y = 2t + 3,其中x和y的單位是米（

12、m），t的單位是秒（s）。試求：（1）運動軌跡；（2）第一秒內的位移；（3）t = 0 和 t = 1兩時刻質點的速度和加速度。解：解： （1）由運動方程x = 4t2 y = 2t + 3消去參數 t 得 x = ( y 3)2此為拋物線方程，即質點的運動軌跡為拋物線。（2）先將運動方程寫成位置矢量形式jtitj yi xr)32(42jrt3 00 時，jirt54 11 時，所以第一秒內的位移為jijjirrr2435401（3）由速度及加速度定義ji tjdtdyidtdxdtrdv28 速度idtvda8 加速度iajivtiajvt8 ,28 1 8 ,2 0 時，時，所以方法：先

13、求導數表達式，再代入數據計算結果。方法：先求導數表達式，再代入數據計算結果。直角坐標系中單位矢量是常矢量。直角坐標系中單位矢量是常矢量。二、已知加速度a及初始條件，求速度及運動方程。 （用定積分） 例2 分析斜拋運動，并求出最遠射程和最大高度。BOCxyvAyx例3 設質點在X軸上作直線運動，其加速度隨時間 t 的變化關系為：a = 1-2t +3t2, t0= 0時， v = v0, 求速度隨時間變化的函數關系（若還知道t0= 0時，x = x0, 試求運動方程）。解：解：dtdva 根據加速度公式上式可寫成 adt = dv ,兩邊積分 ？vvttdvadt00320 tttvv速度vvt

14、tdvdttt0002)321(例4 如圖1-6所示，在離水面高度為的岸邊上，通過定滑輪用繩子拉船靠岸，收繩的速率恒為 ，求船與岸邊距離為 時的速度和加速度。 解：設當船與岸邊距離為解：設當船與岸邊距離為 時，船到時，船到定滑輪的繩長為定滑輪的繩長為 ，則收繩的速率為則收繩的速率為 負號是為保證收繩的速率取正值。負號是為保證收繩的速率取正值。船是沿水面運動的，因此它的速度船是沿水面運動的，因此它的速度為為 ，由圖由圖1-61-6可知可知 ，因此，船的速，因此，船的速度為度為sldtdlv0dtdsv 22hls02222vshsdtdlhlldtdsv負號代表船向岸邊靠近。 0vs例4如圖1-

15、6所示，在離水面高度為的岸邊上，通過定滑輪用繩子拉船靠岸，收繩的速率恒為，求船與岸邊距離為時的速度和加速度。 船的速度為船的速度為02222vshsdtdlhlldtdsv負號代表船向岸邊靠近。負號代表船向岸邊靠近。 船的加速度為船的加速度為 3202022)(svhdtdlvhlldlddtdva負號表示加速度的方向指向岸邊，船向岸邊加速運動。負號表示加速度的方向指向岸邊，船向岸邊加速運動。2 2 切向和法向加速度切向和法向加速度一、自然坐標一、自然坐標質點作曲線運動，將質點運動的軌道作為一維坐標的軸線自然坐標。 自然坐標P 坐標原點YOXps 0s 0s ABtAetBenAenBe自然坐

16、標系坐標軸是變化的1 位置表示法位置表示法P點起軌跡的弧長S 弧坐標S = S ( t )2 速度的表示法速度的表示法t 時刻質點在A處取一切向單位矢量n取一法向單位矢量 ttdsvveedt3 加速度表示法加速度表示法0tttdevdvdvalimevtdtdtdt 二、二、 質點做圓周運動的角量描述質點做圓周運動的角量描述YOXA(t )B(t+t)1. 角位置 單位 rad2. 角位移 rad3. 角速度 srad dtdtt0lim4. 角加速度 220limdtddtdtt2 srad單位q=q q（t）qD=Bq qqDA-wb三、圓周運動的線量與角量的關系三、圓周運動的線量與角量

17、的關系RS tdvdaRRdtdt路程路程dtdSv dtRdR速度大小速度大小 加速度加速度0tttdevdvdvalimevtdtdtdt 切向加速度切向加速度 tvve速度速度A(t ) YOXte2te/tddte如何計算如何計算22nvavRR 代表切身單位矢代表切身單位矢量對時間的求導，它也量對時間的求導，它也是一個矢量，其大小表是一個矢量，其大小表示單位矢量轉動的角速示單位矢量轉動的角速度，與半徑度，與半徑R轉動的角速轉動的角速度相同，方向沿徑向指度相同，方向沿徑向指向圓心，如圖向圓心，如圖2-3 /tddtetnddtee21ttteee|ttnndddeeee法向加速度法向加

18、速度（向心加速度）（向心加速度）ttnnaa ea e2tndvveedt22222ndvvaaadttannaarca圖17anata可以證明質點做一般曲線運動時，可以證明質點做一般曲線運動時，法向加速度法向加速度2nva 為曲線的曲率半徑如圖如圖 總加速總加速度與切向加速度與切向加速度的夾角度的夾角總結：角量與線量的關系RS Rwv Ra 2Rwan例例6 6 一一質點質點在半徑為在半徑為0.50.5米的圓周上運動，其角位置為米的圓周上運動，其角位置為 ，試問：當，試問：當 t t 為何值時，法向加速度和為何值時，法向加速度和 切向加速度的大小相等？切向加速度的大小相等？例例5 5 質點的運動方程為質點的運動方程為 試求質點的軌道方程、速度和角速度、加速度和試求質點的軌道方程、速度和角速度、加速度和 角加速度。角加速度。 （勻速圓周運動，各個加速度的情況？）（勻速圓周運動，各個加速度的情況？）tytx3sin2,3co