哈密爾頓的四元數(shù)

1、.哈密爾頓的四元數(shù)威廉.哈密頓,歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。1805年8月3日出生于愛爾蘭的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文臺。哈密頓是一位罕見的語言奇才。14歲時就學(xué)會了12種歐洲語言。13歲就開場鉆研牛頓和拉普拉斯等人的經(jīng)典著作。17歲時掌握了微積分，并在光學(xué)中有所發(fā)現(xiàn)。22歲時大學(xué)還未畢業(yè)就被聘任為他就讀的都柏林三一學(xué)院的教授，同時獲得“愛爾蘭皇家天文學(xué)家的稱號。哈密頓在物理學(xué)和數(shù)學(xué)領(lǐng)域里都有出色的成就，他是一位勤奮工作而熱愛真理的人。他和妻子在一起漫步的橋頭，已經(jīng)有一個紀(jì)念碑。四元數(shù)是由哈密爾頓在1843年愛爾蘭發(fā)現(xiàn)的。愛爾蘭有一個很多人熟悉的英雄，威廉.華萊士。在電

2、影?英勇的心?中，有一柄長劍，叮地插在大地之上，長劍在風(fēng)中微顫，你仿佛聽見愛爾蘭的英雄在高呼：自由！在通往數(shù)學(xué)的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數(shù)是一個豐碑。從物理學(xué)上講，它就是泡利矩陣，有了泡利矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是互相感應(yīng)，而有了泡利矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。兩個四元數(shù)相等的準(zhǔn)那么是系數(shù)a、b、c、d都對應(yīng)相等。兩個四元數(shù)相加只要將對應(yīng)系數(shù)分別相加形成新的系數(shù)，這樣和本身也是一個四元數(shù)。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規(guī)定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數(shù)，并且盡可能多地保存實數(shù)和復(fù)數(shù)的特點，他約定：jk=i，kj=i，ki=j，ik=j，ij=k

3、，ji=k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣假設(shè)p和q為四元數(shù)，那么pq不等于qp。一個四元數(shù)被另一個四元數(shù)除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊含了用四元數(shù)q去除四元數(shù)p時，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數(shù)并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。四元數(shù)的引入給了數(shù)學(xué)家們又一次震動。它是一個確確實實有實際用處的代數(shù)，卻不具備所有實數(shù)和復(fù)數(shù)都具備的根本性質(zhì)，即ab=ba。哈密爾頓創(chuàng)造四元數(shù)后不久，從事其他領(lǐng)域研究的數(shù)學(xué)家們引入了更奇怪的代數(shù)。著名代數(shù)幾何學(xué)家凱萊引進(jìn)了矩陣，它是矩形或正方形數(shù)組。對

4、它們也可進(jìn)展通常的代數(shù)運算。但是如同在四元數(shù)中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數(shù)和矩陣只不過是許多性質(zhì)越來越奇怪的代數(shù)的先驅(qū)。格拉斯曼創(chuàng)造了許多這樣的代數(shù)。它們甚至比哈密爾頓的四元數(shù)還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個中學(xué)老師，因此過了許多年他的工作才獲得了應(yīng)有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了如今稱為超復(fù)數(shù)的新代數(shù)中的多樣性。為了特別的目的而創(chuàng)立的這些新代數(shù)本身并沒有向普通的算術(shù)及其擴(kuò)展在代數(shù)和分析中的真理提出挑戰(zhàn)。畢竟，一般的實數(shù)和復(fù)數(shù)可用于完全不同的目的，它們的實用性是無可質(zhì)疑的。也許真理本質(zhì)上就是難以捉摸的，或者如羅馬哲學(xué)家塞涅卡所說：

5、“自然界不會一下子披露她所有的機(jī)密。假如幾個力作用于一個物體，那么這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上。假如為了方便起見將通常實數(shù)稱為一維數(shù)，復(fù)數(shù)為二維數(shù)，那么，要用什么來表示空間中某種三維數(shù)的向量及其代數(shù)運算呢？人們希望對這種三維數(shù)進(jìn)展的運算，類似于復(fù)數(shù)的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實數(shù)和復(fù)數(shù)所具有的那些性質(zhì)。這樣代數(shù)運算才能自由且有效地使用。于是，數(shù)學(xué)家們開場尋找一種稱為三維復(fù)數(shù)及其代數(shù)的數(shù)。有許多數(shù)學(xué)家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個有用的復(fù)數(shù)的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數(shù)學(xué)家們所知道的所有的數(shù)都具有乘法的交換性，即ab

6、=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數(shù)或三元數(shù)，也應(yīng)該具有這一性質(zhì)以及其他實數(shù)和復(fù)數(shù)具有的性質(zhì)。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點讓步。首先，他的新數(shù)包含四個分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個特點對代數(shù)學(xué)來說都是革命性的，他把這種新的數(shù)叫做四元數(shù)。a+bi+cj+dki2=j2=k2=1兩個四元數(shù)相等的準(zhǔn)那么是系數(shù)a、b、c、d都對應(yīng)相等。當(dāng)時他正研究擴(kuò)展復(fù)數(shù)到更高的維次復(fù)數(shù)可視為平面上的點。他不能做到三維空間的例子，但四維那么造出四元數(shù)。根據(jù)哈密爾頓記述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河漫步,突然靈感撲面而來,他在橋上寫下乘法表:i2j2k2-1，i

7、83;jk，k·ij，j·ki；j·i-k；i·k-j，k·j-i。這是一個普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋現(xiàn)稱為金雀花橋BroomBridge。哈密頓創(chuàng)造了把四元數(shù)描繪成一個有序的四重實數(shù)：一個標(biāo)量a和向量bi+cj+dk的組合。根據(jù)上述乘法表，四元數(shù)顯然是復(fù)數(shù)的擴(kuò)大，它將復(fù)數(shù)作為特殊形式包含在自身之中，它屬于超復(fù)數(shù)。但這種數(shù)對乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最后直覺地想到：必須犧牲交換律，于是第一個非交換律的代數(shù)誕生了，在以前的乘法中，乘法是交換的，比方從小學(xué)數(shù)學(xué)開場,沒有人告訴你為什么1x2=2x1，但這背后其實埋藏?zé)o窮機(jī)密

8、。哈密頓的這個創(chuàng)造，把代數(shù)學(xué)從傳統(tǒng)的實數(shù)算術(shù)的束縛中解放出來，人們開場認(rèn)識到數(shù)學(xué)既可來自現(xiàn)實世界的直接抽象也可以來自人類的思維的自由創(chuàng)造，這種思想引起了代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一次質(zhì)的飛躍，現(xiàn)代抽象代數(shù)的閘門被翻開了。只有在4維歐空間之上，唐納森發(fā)現(xiàn)了無窮多微分構(gòu)造。loop量子引力被人詬病，因為她不能答復(fù)為什么時空是4維的，但上帝用數(shù)學(xué)來答復(fù)。要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊f話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒

9、講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當(dāng)眾說話的時機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強(qiáng)其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會用眼神。對說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚，并要其他幼兒模擬。

10、長期堅持，不斷訓(xùn)練，幼兒說話膽量也在不斷進(jìn)步。在19世紀(jì)到20世紀(jì)，哈密頓之后，物理學(xué)家洛侖次寫了厚厚的?電子論?，Lorentz的?TheTheoryofElectrons?總共三百多頁，當(dāng)時還沒有發(fā)現(xiàn)電子。這是歷史上一個偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應(yīng)該注意到，在洛侖次力公式f=qE+vXB出現(xiàn)了點乘與叉乘。這個是一個經(jīng)典電動力學(xué)里的假設(shè),但可以相信，這個假設(shè)說明，在四元數(shù)中,結(jié)合方法必須既有點乘又有叉乘，這個假設(shè)是實驗證實的，所以洛侖次是偉大的。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實“教諭在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正。“教授“學(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對于在“校或“學(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長、西席、講席等。電磁理論與四元數(shù)的結(jié)合是自然的，天然的，同時是微妙的。因為電