示范教案（3．3圓周角和圓心角的關(guān)系第5課時(shí)）

1、第五課時(shí)課 題 332 圓周角和圓心角的關(guān)系(二)教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1掌握?qǐng)A周角定理幾個(gè)推論的內(nèi)容 2會(huì)熟練運(yùn)用推論解決問(wèn)題 (二)能力訓(xùn)練要求 1培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問(wèn)題的能力 2在學(xué)生自主探索推論的過(guò)程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式 (三)情感與價(jià)值觀要求 培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn) 圓周角定理的幾個(gè)推論的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn) 理解幾個(gè)推論的“題設(shè)”和“結(jié)論”教學(xué)方法 指導(dǎo)探索法教具準(zhǔn)備 投影片三張 第一張：引例(記作332 A) 第二張：例題(記作332 B) 第三張：做一做(記作332 C)教學(xué)過(guò)程 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 師請(qǐng)同學(xué)們回憶一下

2、我們前幾節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些和圓有關(guān)系的角?它們之間有什么關(guān)系? 生學(xué)習(xí)了圓心角和圓周角、一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半即圓周角定理 師我們?cè)诜治?、證明上述定理證明過(guò)程中，用到了些什么數(shù)學(xué)思想方法? 生分類討論、化歸、轉(zhuǎn)化思想方法 師同學(xué)們請(qǐng)看下面這個(gè)問(wèn)題：(出示投影片332 A)已知弦AB和CD交于O內(nèi)一點(diǎn)P，如下圖求證：PAPB=PCPD 師生共析要證PAPBPCPD，可證由此考慮證明以PA、PC為邊的三角形與以PD、PB為邊的三角形相似由于圖中沒(méi)有這兩個(gè)三角形，所以考慮作輔助線AC和BD要證PACPDB由已知條件可得APC與DPB相等，如能再找到一對(duì)角相等如AD或CB便可證得所求結(jié)

3、論如何尋找A=D或C=B.要想解決這個(gè)問(wèn)題我們需先進(jìn)行下面的學(xué)習(xí) 講授新課 師請(qǐng)同學(xué)們畫一個(gè)圓，以A、C為端點(diǎn)的弧所對(duì)的圓周角有多少個(gè)?(至少畫三個(gè))它們的大小有什么關(guān)系?你是如何得到的? 生 弧AC所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的大小相等，我是通過(guò)度量得到的 師大家想一想，我們能否用驗(yàn)證的方法得到上圖中的ABCADCAEC?(同學(xué)們互相交流、討論) 生由圖可以看出，ABC、ADC和AEC是同弧(弧AC)所對(duì)的圓周角，根據(jù)上節(jié)課我們所學(xué)的圓周角定理可知，它們都等于圓心角AOC的一半，所以這幾個(gè)圓周角相等 師通過(guò)剛才同學(xué)的學(xué)習(xí)，我們上面提出的問(wèn)題A=D或CB找到答案了嗎? 生找到了，它們屬于同弧所對(duì)

4、的圓周角由于它們都等于同弧所對(duì)圓心角的一半，這樣可知AD或CB 師如果我們把上面的同弧改成等弧，結(jié)論一樣嗎? 生一樣，等弧所對(duì)的圓心角相等，而圓周角等于圓心角的一半，這樣，我們便可得到等弧所對(duì)的圓周角相等 師通過(guò)我們剛才的探討，我們可以得到一個(gè)推論 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 師若將上面推論中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論成立嗎?請(qǐng)同學(xué)們互相議一議 生如右圖，結(jié)論不成立因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩種可能，在弦不是 直徑的情況下是不相等的. 注意：(1)“同弧”指“同一個(gè)圓” (2)“等弧”指“在同圓或等圓中” (3)“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦” 師接下來(lái)我們看下

5、面的問(wèn)題： 如右圖，BC是O的直徑，它所對(duì)的圓周角是銳角、直角，還是鈍角?你是如何判斷的?(同學(xué)們互相交流，討論) 生直徑BC所對(duì)的圓周角是直角，因?yàn)橐粭l直徑將圓分成了兩個(gè)半圓，而半圓所對(duì)的圓心角是BOC=180，所以BAC=90 師反過(guò)來(lái)，在右圖中，如果圓周角BAC=90，那么它所對(duì)的弦BC經(jīng)過(guò)圓心O嗎?為什么? 生弦BC經(jīng)過(guò)圓心O，因?yàn)閳A周角BAC=90連結(jié)OB、OC，所以圓心角BOC=180，即BOC是一條線段，也就是BC是O的一條直徑 師通過(guò)剛才大家的交流，我們又得到了圓周角定理的又一個(gè)推論： 直徑所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑 注意：這一推論應(yīng)用非常廣泛，一般地，如果

6、題目的已知條件中有直徑時(shí)，往往作出直徑上的圓周角直角：如果需要直角或證明垂直時(shí)，往往作出直徑即可解決問(wèn)題 師為了進(jìn)一步熟悉推論，我們看下面的例題(出示投影片332 B) 例如圖示，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系?為什么? 師生共析由于AB是O的直徑，故連接AD由推論直徑所對(duì)的圓周角是直角，便可得ADBC，又因?yàn)锳BC中，ACAB，所以由等腰三角形的二線合一，可證得BD=CD 下面哪位同學(xué)能敘述一下理由? 生BD=CD理由是： 連結(jié)AD AB是O的直徑， ADB=90 即ADBC 又ACAB, BDCD 師通過(guò)我們學(xué)習(xí)圓周角定理及推論，大家互

7、相交流，討論一下，我們探索上述問(wèn)題時(shí)，用到了哪些方法?試舉例說(shuō)明 生在得出本節(jié)的結(jié)論過(guò)程中，我們用到了度量與證明的方法，比如說(shuō)在研究同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；還學(xué)到了分類與轉(zhuǎn)化的方法比如說(shuō)在探索圓周角定理過(guò)程中，定理的證明應(yīng)分三種情況，在這三種情況中，第一種情況是特殊情況，是證明的基礎(chǔ)，其他兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為第一種情況來(lái)解決，再比如說(shuō)，學(xué)習(xí)圓周角定義時(shí)，可由前面學(xué)習(xí)列的圓心角類比得出圓周角的概念 .P107 隨堂練習(xí) 1為什么有些電影院的坐位排列(橫排)呈圓弧形？說(shuō)一說(shuō)這種設(shè)計(jì)的合理性 答：有些電影院的坐位排列呈圓弧形，這樣設(shè)計(jì)的理由是盡量保證同排的觀眾視角相等 2如下圖，哪

8、個(gè)角與BAC相等?答：BDCBAC 3. 如下圖，O的直徑AB10 cm，C為O上的一點(diǎn)，ABC30，求AC的長(zhǎng) 解：AB為O的直徑 ACB=90 又ABC=30， AC=AB=10=5(cm) 4小明想用直角尺檢查某些工件是否恰好為半圓形，根據(jù)下圖，你能判斷哪個(gè)是半圓形?為什么?答：圖(2)是半圓形、理由是：90的圓周角所對(duì)的弦是直徑 下面我們一起來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：做一做(出示投影片 332 C)船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁，如下圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個(gè)危險(xiǎn)臨界點(diǎn)，ACB就是“危險(xiǎn)角”當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角”時(shí)

9、，就有可能觸礁；當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，就能避免觸礁(1)當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域?為什么?(2)當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域?為什么? 分析：這是一個(gè)有實(shí)際背景的問(wèn)題，由題意可知：“危險(xiǎn)角” ACB實(shí)際上就是圓周角，船P與兩個(gè)燈塔的夾角為，P有可能在O外，P有可能在O內(nèi)，當(dāng)C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域外，我們可采用反證法進(jìn)行論證 解：(1)當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角” C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)(即O內(nèi))，理由是： 連結(jié)BE，假設(shè)船在(O上，則有=C，這與C矛盾，所以船不可能在O上；假設(shè)船在O外，則有AEB

10、，即C，這與C矛盾，所以船不可能在O外因此船只能位于O內(nèi) (2)當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角小于“危險(xiǎn)角” C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域外(即O外)理由是： 假設(shè)船在O上，則有C，這與AEB，即C這與C矛盾，所以船不可能在O內(nèi)，因此，船只能位于O外 注意：用反證法證明命題的一般步驟： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾 (3)山矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓周角定理的2個(gè)推論，結(jié)合我們上節(jié)課學(xué)到的圓周角定理，我們知道，在同圓或等圓中，根據(jù)弦及其所對(duì)的圓心角，弧，弦、弦心距之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了圓中這些量之間相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化，而圓周角定

11、理建立了圓心角與圓周角之間的關(guān)系，因此，最終實(shí)現(xiàn)了圓中的角(圓心角和圓周角)，線段(弦、弦心距)、弧等量與量之間相等關(guān)系的相等相互轉(zhuǎn)化，從而為研究圓的性質(zhì)提供了有力的工具和方法 .課后作業(yè) 課本P108 習(xí)題35 活動(dòng)與探究1 如下右圖，BC為O的直徑，ADBC于D，P是弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB分別交AD、AC于點(diǎn)E、F (1)當(dāng)弧PA=弧AB時(shí)，求證：AE=EB； (2)當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，AF=EF，證明你的結(jié)論 過(guò)程(1)連結(jié)AB證AE=EB需證ABEBAE (2)執(zhí)果索因?qū)l件：要AF=EF，即要AAEF，而AEF=BED，而要A=BED，只需BC，從而轉(zhuǎn)化為弧PC=弧AB 結(jié)果(1)證明：延長(zhǎng)AD交O于點(diǎn)M，連結(jié)AB、BM BC為O的直徑，ADBC于D 弧AB=弧BM BADBMD 又弧AB=弧AP， ABP=BMD BADABP AEBE (2)當(dāng)弧PC=弧AB時(shí)，AF=EF 證明：弧PC=弧AB， PBC=ACB 而AEFBED90-PBC， EAF=90-ACB AEF=EAF AF=EF板書設(shè)計(jì) 332 圓周角和圓心角的關(guān)系(二)一、推論一： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等二、推論二： 直徑所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑三、例題四、隨堂練