材料力學 第3章扭轉

1、材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉3-1 扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例3-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖3-3 純剪切純剪切3-4 圓軸扭轉時的應力圓軸扭轉時的應力3-5 圓軸扭轉時的變形圓軸扭轉時的變形3-6 圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形圓柱形密圈螺旋彈簧的應力和變形3-7 非圓截面桿的扭轉非圓截面桿的扭轉材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉3-1 扭轉的概念和實例扭轉的概念和實例1受力特征受力特征：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內作用一對大小相等，方：在桿件兩端垂直于桿軸線的平面內作用一對大小相等，方向相反的外力偶。向相反的外力偶。 2變形特征

2、變形特征：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉動。：橫截面形狀大小未變，只是繞軸線發(fā)生相對轉動。 軸軸：以扭轉為主要變形的構件稱為軸：以扭轉為主要變形的構件稱為軸 。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉受扭轉變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的，所以本章主要介紹圓軸扭轉。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉3-2 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖直接計算直接計算1 1外力偶矩外力偶矩材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉按輸入功率和轉速計算按輸入功率和轉速計算電機每秒輸入功：電機每秒輸入功：外力偶作功完

3、成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知已知軸轉速軸轉速n n 轉轉/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me em)(N9550nPm材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-2-1 傳動軸如圖所示，主動輪傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率輸入功率PA=50kW，從動，從動輪輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉，軸的轉速速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。，計算各輪上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩mN6379550mN5 .47

4、79550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉2 2扭矩與扭矩圖扭矩與扭矩圖, 0 xM由0eMTeMT得扭矩的正負號規(guī)定：扭矩的正負號規(guī)定：按右手螺旋按右手螺旋法則，法則，T矢量背離截面為正，指矢量背離截面為正，指向截面為負（或矢量與截面外法向截面為負（或矢量與截面外法線方向一致為正，反之為負）線方向一致為正，反之為負）T稱為截面稱為截面n-n上的扭矩。上的扭矩。用截面法求扭矩時，建議均假設各截面扭矩用截面法求扭矩時，建議均假設各截面扭矩T為正，為正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T為正，則說明是正的扭矩，如為正，則說明是正的

5、扭矩，如果為負，則是負的扭矩。在畫軸的扭矩圖，果為負，則是負的扭矩。在畫軸的扭矩圖，正的扭正的扭矩畫在矩畫在x x軸上方，負的扭矩畫在軸上方，負的扭矩畫在x x軸下方。軸下方。注意注意MeMeMeTx材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。 目目 的的扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置 強度計算（危險截面）。xT材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-2-2 3-2-2 計算例計算例3-2-13-2-1中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBC

6、ADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩圖如左圖示。作扭矩圖如左圖示。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-2-3 3-2-3 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/minn =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 P P1 1=500kW=500kW，從動輪輸出，從動輪輸出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，試繪，試繪制扭矩圖。制扭矩圖。解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩m)15.9(kN 3005009

7、.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPmnA B C Dm2 m3 m1 m4112233材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉求扭矩（扭矩按正方向設）求扭矩（扭矩按正方向設）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面。段為危險截面。xTnA B C Dm2 m3 m

8、1 m44.789.566.37材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉3-3 純剪切純剪切薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚r101（r：為平均半徑）1實驗：實驗：實驗前：實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。一、薄壁圓筒扭轉時的切應力一、薄壁圓筒扭轉時的切應力 材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉2 實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線。縱向線變成斜直線。3 結論：結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一

9、微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 acddxbdy 無正應力橫截面上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的剪應力 ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4 與與 的關系：的關系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示： 材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉5 薄壁圓筒剪應力薄壁圓筒剪應力 大?。捍笮。?2 2 2 2d d 2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均半徑所作圓的面積。 材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉二

10、、切應力互等定理：二、切應力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為剪應力互等定理為剪應力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交力必然成對出現(xiàn)，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉三、切應變三、切應變 剪切胡克定律剪切胡克定律 單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為力狀態(tài)稱為

11、純剪切應力狀態(tài)。純剪切應力狀態(tài)。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（時（ p)，剪應力與剪應變成正比關系。，剪應力與剪應變成正比關系。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉G式中：式中：G是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故無量綱，故G的量綱與的量綱與 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通過實驗確值可通過實驗確定，鋼材的定，鋼材的G值約為值約為80GPa。 剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是

12、表明材料彈性性質剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在下的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：列關系（推導詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。就可以推算出來。)1 (2EG材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 1. 橫截面變形后仍為平面；橫截面變形后仍為平面； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 3. 縱向線變形后仍為平行。縱向線變形后仍為平行。平面假設：平面假設： 變形前為平面的橫截面變形前為平

13、面的橫截面變形后仍為平面，它像剛變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞軸線旋轉了性平面一樣繞軸線旋轉了一個角度。一個角度。3-4 圓軸扭轉時的應力圓軸扭轉時的應力一、等直圓桿扭轉實驗觀察：一、等直圓桿扭轉實驗觀察：材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：1. 變形幾何關系：變形幾何關系：xddtg距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與與到圓心的距離到圓心的距離 成正比。成正比。xdd 扭轉角沿長度方向扭轉角沿長度方向變化率。變化率。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉2. 物理關系：物理關系：虎克定律：代入上式得： G

14、xGxGGddddxGdd 材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉3. 靜力學關系：靜力學關系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理關系式 得：xGdd pIT材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉pIT橫截面上距圓心為處任一點剪應力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。面直桿。 式中：式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離

15、。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉單位：單位：mm4，m4。AIApd2 盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp對于實心圓截面：DdO材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉對于空心圓截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 應力分布應力分布（實心截面）（空心截面）工程

16、上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結構輕便，應用廣泛。結構輕便，應用廣泛。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 確定最大剪應力：確定最大剪應力：pIT由知：當max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系數（抗扭截面模量）， 幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：332016D.DRIWpt對于空心圓截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 三、強度條件三、強度條件強度條件強度條件： ， 許用切應力許用切應

17、力；pmaxmaWTx軸扭轉時，其表層即最大扭轉切應力作用點處于軸扭轉時，其表層即最大扭轉切應力作用點處于純剪切純剪切狀態(tài)狀態(tài)，所以，扭轉許用切應力也可利用上述關系確定。，所以，扭轉許用切應力也可利用上述關系確定。 理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應力理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應力 與許用正應力與許用正應力之間存在下述關系：之間存在下述關系：對于塑性材料對于塑性材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表許用拉應力。代表許用拉應力。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉強度計算三方面：強度計算三方面： 校

18、核強度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-4-1：一厚度為：一厚度為30mm、內直徑為、內直徑為230mm 的空心圓管，承的空心圓管，承受扭矩受扭矩T=180 kNm 。試求管中的最大剪應力，使用：。試求管中的最大剪應力，使用： (1)薄壁管的近似理論；薄壁管的近似理論； (2)精確的扭轉理論。精確的扭轉理論。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理論可求得利用薄壁管的近似理論可求得trT2max2)1 (1643maxDT(2) 利用精確的扭轉理論可求得利用精確的扭轉理

19、論可求得43329023011629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-4-2：一空心圓軸，內外徑之比為：一空心圓軸，內外徑之比為=0.5，兩端受扭轉力偶，兩端受扭轉力偶矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，矩作用，最大許可扭矩為，若將軸的橫截面面積增加一倍，內外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？內外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為的多少倍？（按強度計算）。（按強度計算）。解：設空心圓軸的內、外徑原分別為解：設空心圓軸的內、外徑原分別為d、D，面積增大一，面積增大一倍

20、后內外徑分別變?yōu)楸逗髢韧鈴椒謩e變?yōu)閐1 、 D1 ，最大許可扭矩為最大許可扭矩為1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-4-3：某汽車主傳動軸鋼管外徑某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩傳遞扭矩T=1.98kNm， =100MPa，試校核軸的強度。，試校核軸的強度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解：計算截面參數：解：計算截面參數：

21、 由強度條件：由強度條件：故軸的強度滿足要求。故軸的強度滿足要求。 材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故故空心軸較實心軸合理空心軸較實心軸合理。 31334. 044)2(222dtDDAA實空空心軸與實心軸的截面面積比空心軸與實心軸的截面面積比(重量比重量比)為：為： MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。MPamax5 .97若將空心軸改成實心軸，仍使若將空心軸改成實心軸，仍使，則，則材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉

22、轉例例3-4-4：功率為功率為150150kW，轉速為，轉速為15.415.4轉轉/ /秒的電動機轉子軸如秒的電動機轉子軸如圖，許用剪應力圖，許用剪應力 =30=30M Pa, Pa, 試校核其強度。試校核其強度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：解：求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖計算并校核剪應力強度計算并校核剪應力強度此軸滿足強度要求。此軸滿足強度要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉3-5 圓軸扭轉時的變形圓軸扭轉時的變形一、扭轉時的變形一、扭轉時的變形由公式由公式pGI

23、Tx dd 知：長為知：長為 l一段桿兩截面間相對扭轉角一段桿兩截面間相對扭轉角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp對于階梯軸，兩端面間相對扭轉角對于階梯軸，兩端面間相對扭轉角 為為 1nipiiiGIlT材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉二、單位扭轉角二、單位扭轉角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp 抗扭剛度抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉變形能力的強弱表示桿抵抗扭轉變形能力的強弱。 稱為許用單位扭轉角。稱為許用單位扭轉角。材料力學材料

24、力學 第三章第三章 扭扭 轉轉剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度： 設計截面尺寸： 計算許可載荷： max GT Ip max pGIT 有時，還可依據此條件進行選材。 max 材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉例例3-5-1：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB與與MC 作用，試作用，試計算該軸的總扭轉角計算該軸的總扭轉角AC(即截面即截面C對截面對截面A的相對轉角的相對轉角)，并校核，并校核軸的剛度。軸的剛度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1

25、扭轉變形分析扭轉變形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分別為：段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMll材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC設其扭轉角分別為設其扭轉角分別為AB和和BC，則：，則：材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 各段軸的扭轉角的轉向，由相應扭矩的轉向而定。各段軸的扭轉角的轉向，由相應扭矩的轉向而定。 由此得

26、軸由此得軸AC的總扭轉角為的總扭轉角為rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 剛度校核剛度校核 軸軸AC為等截面軸，而為等截面軸，而AB段的扭矩最大，所以，應校核該段段的扭矩最大，所以，應校核該段軸的扭轉剛度。軸的扭轉剛度。AB段的扭轉角變化率為：段的扭轉角變化率為：可見，該軸的扭轉剛度可見，該軸的扭轉剛度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 例例3-5-2：長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m= =20Nm/m

27、的作的作用，如圖，若桿的內外徑之比為用，如圖，若桿的內外徑之比為 =0.8 =0.8 ，G=80=80GPa ，許用，許用剪應力剪應力 =30=30MPa，試設計桿的外徑；若，試設計桿的外徑；若 =2/=2/m ，試校，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。核此桿的剛度，并求右端面轉角。材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 由扭轉剛度條件校核剛度由扭轉剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT解：解：設計桿的外徑設計桿的外徑maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD代入數值得：代入數值得：D 0.0226m。 89. 1)1 (108018040324429D材料力學材

28、料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉40NmxT右端面轉角右端面轉角為：為：弧度）( 033. 0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 例例3-5-3：某傳動軸設計要求轉速某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 N2 = 200馬力及馬力及 N3 = 300馬力，馬力，已知：已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？

29、若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？主動輪與從動輪如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉解：解：圖示狀態(tài)下圖示狀態(tài)下, ,扭矩如圖扭矩如圖，由強度條件得：，由強度條件得：m)(kN024. 7nNm16 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632Td mm80107014. 3702416163631Td Tx7.024 4.21(kNm)材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 3180702432 3249241 GTd mm75 ,mm8521 dd綜上：綜上：全軸選同一直徑時全軸選同一直徑時 mm851 dd 32 4 GTdIp由剛度條件得：由剛度條件得：材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉 軸上的軸上的絕對值絕對值最大的扭矩最大的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應輪應該換位。該換位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時此時, ,軸的最大直徑才為軸的最大直徑才為7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉(a )PRdF材料力學材料力學 第三章第三章 扭扭 轉轉