大學(xué)物理下冊第20章 振動 課件

1、1 第第 20 20 章章 振振 動動 (Vibration)20.1 簡諧振動的描述簡諧振動的描述20.3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量20.4 阻尼振動阻尼振動20.5 受迫振動受迫振動 共振共振20.2 簡諧振動的動力學(xué)簡諧振動的動力學(xué)220.6 同一直線上同頻率同一直線上同頻率 的簡諧振動的合成的簡諧振動的合成 20.7同一直線上不同頻率同一直線上不同頻率的簡諧振動的合成的簡諧振動的合成 20.8 諧振分析諧振分析 20.9 兩個互相垂直的簡諧兩個互相垂直的簡諧振動的合成振動的合成3 物體在一定位置附近作往復(fù)的運動叫物體在一定位置附近作往復(fù)的運動叫機械振機械振動，動，簡稱簡稱振動振動

2、周期和非周期振動周期和非周期振動 簡諧運動：簡諧運動：最簡單、最基本的振動最簡單、最基本的振動. . 例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震例如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及晶體中原子的振動等都在不停地振動。以及晶體中原子的振動等都在不停地振動。簡諧運動簡諧運動復(fù)雜振動復(fù)雜振動合成合成分解分解4 質(zhì)點運動時，如果離開平衡位置的位移質(zhì)點運動時，如果離開平衡位置的位移x x（或角位移（或角位移 ）按正弦規(guī)律隨時間變化，這種運）按正弦規(guī)律隨時間變化，這種運動就叫動就叫簡諧運動簡諧運動。一、簡諧運動的運動方程一、簡諧運動的運動方程(Equation of Simple Harmonic Motio

3、n) ) 20.1 簡諧運動的描述簡諧運動的描述 (Simple Harmonic Motion)AAxOvax圖圖20.1 質(zhì)點的簡諧運動質(zhì)點的簡諧運動)tcos(Ax (20.1)5角頻率角頻率 與與頻率頻率 的關(guān)系：的關(guān)系： = (20.3)可得：可得：角頻率角頻率 與與周期周期 T T 的關(guān)系：的關(guān)系：由由T 2 (20.2)tcos(A)tTcos(Ax 22(20.4)6簡諧運動的加速度和位移成正比而反相簡諧運動的加速度和位移成正比而反相A A: :振幅；振幅； ：角頻率角頻率; ; : :初相初相 叫做簡諧運動叫做簡諧運動的的三個特征量。三個特征量。)2cos()sin( tAt

4、Adtdxv(20.5)2222cos()()d xaAtdtAt (20.6)xdtxda222 (20.7)7tx圖圖tv 圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos( tAx0若若2T)2cos(tA)sin( tAv)cos(2tA)cos( tAa2圖圖20.2 簡諧運動的簡諧運動的x,v,a隨時間隨時間變化的關(guān)系曲線變化的關(guān)系曲線8二、相量圖法二、相量圖法(Method of phasor diagram)2 cos(tAv)cos(2tAaA振幅矢量振幅矢量;mvv)cos(tAx圖圖20.3 勻速圓周運動勻速圓周運動與簡諧運動與簡諧運動0t ttAOxnaax

5、9三、相三、相 初相初相 相差相差（Phase Initial Phase Phase Difference）：叫在時刻：叫在時刻 t 振動的振動的相（相（或或相位）相位）; t：t=0 時刻的相位叫時刻的相位叫初相初相 若兩個簡諧運動的相差始終是若兩個簡諧運動的相差始終是 = 2- 1則可知兩個運動是同步調(diào)的。則可知兩個運動是同步調(diào)的。)tcos(Ax)tcos(Ax222111 兩個簡諧運動兩個簡諧運動 它們的相差它們的相差1212 )t()t(20.8)10例例20.1 簡諧運動簡諧運動。一質(zhì)點沿。一質(zhì)點沿x軸作簡諧運動，振軸作簡諧運動，振幅幅A=0.05m，周期，周期T=0.2s。當(dāng)質(zhì)

6、點正越過平衡位。當(dāng)質(zhì)點正越過平衡位置項負置項負x方向運動時開始計時。方向運動時開始計時。 （1）寫出此質(zhì)點的簡諧運動表達式；）寫出此質(zhì)點的簡諧運動表達式； （2）求在）求在t=0.05s時質(zhì)點的位置、速度和加時質(zhì)點的位置、速度和加速度；速度； （3）另一質(zhì)點和此質(zhì)點的振動頻率相同，）另一質(zhì)點和此質(zhì)點的振動頻率相同，但振幅為但振幅為0.08m，并和此質(zhì)點反相，寫出這另一，并和此質(zhì)點反相，寫出這另一質(zhì)點的簡諧運動表達式；質(zhì)點的簡諧運動表達式； （4）畫出兩振動的相量圖。）畫出兩振動的相量圖。 11解解 (1)取平衡位置為坐標(biāo)原點，以余弦函數(shù)表示取平衡位置為坐標(biāo)原點，以余弦函數(shù)表示簡諧運動，則簡諧運

7、動，則A=0.05m， =2 /T=10 s-1。由于。由于t=0時時x=0，且，且v0，所以所以 = /4。簡諧運動的表達式為簡諧運動的表達式為27 07 10 cos(4)4x.t2222例例20.3 單擺的小擺角振動單擺的小擺角振動。如圖所示單擺擺長。如圖所示單擺擺長為為l，擺錘質(zhì)量為，擺錘質(zhì)量為m。證明：單擺的小擺角振動是。證明：單擺的小擺角振動是簡諧運動并求其周期。簡諧運動并求其周期。解解 取逆時針方向為叫位移取逆時針方向為叫位移 的正方向，則的正方向，則tfmg sin 在在位移角位移角 很小時很小時，sin ，所以，所以由于由于22ddddddtvallttttfmg (20.1

8、7)圖圖20.6 例例20.3單單擺擺2323由牛頓第二定律可得由牛頓第二定律可得22ddmlmgt 或或22ddgtl （20.18）與式（與式（20.11）比較，可得在擺角很小的情況下，）比較，可得在擺角很小的情況下，單擺的振動是簡諧運動，其角頻率為單擺的振動是簡諧運動，其角頻率為gl其周期為其周期為22lTg（20.19）24 20.3 簡諧運動的能量簡諧運動的能量 （Energy of Simple Harmonic Motion）彈簧振子為例彈簧振子為例 （Spring Oscillator）22pkkx21mv21EEE (20.25)總機械能總機械能222022220112211

9、22cos ()sin ()pkEkxkAtEmvmAt(20.26)(20.27)25mk2 彈簧振子彈簧振子總機械能為總機械能為 彈簧振子的總能量不隨時間改變，即彈簧振子的總能量不隨時間改變，即其機械能守恒?？偰芰颗c振幅的平方成正比，這其機械能守恒?？偰芰颗c振幅的平方成正比，這對其他的簡諧運動系統(tǒng)也正確。對其他的簡諧運動系統(tǒng)也正確。)t(sinkA21E022k (20.28)2pkkA21EEE (20.29)26圖圖20.7簡諧運動勢能曲線簡諧運動勢能曲線kEpExA A pExOE TTkkTTppkAdttkATdtETEkAdttkATdtETE02022002022041)(s

10、in211141)(cos2111 27 20.4 阻尼振動阻尼振動（damped vibration） 任何振動系統(tǒng)總要受到阻力的作用，任何振動系統(tǒng)總要受到阻力的作用，這時的振動叫這時的振動叫阻尼振動阻尼振動。因阻尼振動的振幅不斷。因阻尼振動的振幅不斷地減小，故而被稱為地減小，故而被稱為減幅振動減幅振動。阻尼力阻尼力比例常數(shù)比例常數(shù)dtdxfr v（ 20.31 ）運動方程運動方程dtdxkxdtxdm22 （ 20.32 ）28mk20 令令固有角頻率固有角頻率m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)代入（代入（ 20.32 ）式式, ,在阻尼作用較?。丛谧枘嶙饔幂^?。? 時）時）0 xdtdx2dtx

11、d2022 （20.33）方程方程（4-3）的解為）的解為)tcos(eAx0t0 （ 20.34）可得可得29其中其中0A0 和和是由初始條件決定的積分常數(shù)是由初始條件決定的積分常數(shù)圖圖20.8 阻尼振動圖線阻尼振動圖線tOxt0eA 220 （20.35）30阻尼振動周期為阻尼振動周期為振動能量為振動能量為其中其中0E為起始能量。能量減小到起始能量的為起始能量。能量減小到起始能量的e1所經(jīng)歷的時間為所經(jīng)歷的時間為時間常數(shù)，或叫鳴響時間時間常數(shù)，或叫鳴響時間阻尼越小，則鳴響時間也越長。阻尼越小，則鳴響時間也越長。22022T （20.36）t20eEE （20.37） 21 （20.38）3

12、1品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)QQ：在鳴響時間內(nèi)完成阻尼振動的次數(shù)：在鳴響時間內(nèi)完成阻尼振動的次數(shù)的的 倍，即倍，即 2otx圖圖20.9三種阻尼的比三種阻尼的比較較abc b b：過阻尼：過阻尼 a a：欠阻尼：欠阻尼 c c：臨界阻尼：臨界阻尼 T2Q（20.39）32 20.5 受迫振動受迫振動 共振共振（Forced vibration Resonance ） 在驅(qū)動力作用下的振動叫在驅(qū)動力作用下的振動叫受迫振動受迫振動。對振動系統(tǒng)施加的周期性外力叫對振動系統(tǒng)施加的周期性外力叫驅(qū)動力驅(qū)動力。物體受迫振動的運動方程物體受迫振動的運動方程彈性力彈性力阻力阻力簡諧力簡諧力令令mHh,m2,mk20 tc

13、osHdtdxkxdtxdm22 （20.40）33則上式可以寫成則上式可以寫成這個微分方程的解為這個微分方程的解為減幅振動減幅振動等幅振動等幅振動受迫振動穩(wěn)定狀態(tài)表示式受迫振動穩(wěn)定狀態(tài)表示式驅(qū)動力的角頻率驅(qū)動力的角頻率tcoshxdtdx2dtxd2022 （20.41）)tcos(A)tcos(eAx0220t0 （20.42）)tcos(Ax （20.43）34振幅為振幅為穩(wěn)態(tài)受迫振動與驅(qū)動力的相差為穩(wěn)態(tài)受迫振動與驅(qū)動力的相差為振幅極大時的振幅極大時的角頻率角頻率、相應(yīng)的、相應(yīng)的振幅振幅為為 212222204hA （20.44）2202arctan （20.45）2202 （20.46

14、）2202mHA （20.47）35圖圖20.10 受迫振動的振幅曲線受迫振動的振幅曲線0 0 當(dāng)當(dāng)即即時振幅達到最大值，即時振幅達到最大值，即發(fā)生了發(fā)生了共振共振。36共振的應(yīng)用：收音機、樂器、醫(yī)療診斷等共振的應(yīng)用：收音機、樂器、醫(yī)療診斷等共振的危害：機器設(shè)備的損害等共振的危害：機器設(shè)備的損害等圖圖20.11 1940 年年7月月1日美國日美國 Tocama 海峽大橋的共振斷塌海峽大橋的共振斷塌37 20.6 同一直線上同頻率的簡諧運動的合同一直線上同頻率的簡諧運動的合成成（ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Lin

15、e with same frequency ） 設(shè)在同一直線上的同頻率的兩個簡諧運動的設(shè)在同一直線上的同頻率的兩個簡諧運動的表達式分別為，表達式分別為，)tcos(Ax)tcos(Ax222111 任意時刻合振動的位移任意時刻合振動的位移21xxx 38X1A 12A 2A XOX2X2X1圖圖20.12 在在x 軸上的兩個同頻軸上的兩個同頻率的簡諧運動合成的相量圖率的簡諧運動合成的相量圖39合振動的表達式合振動的表達式)tcos(Ax 合振幅合振幅合振的初相合振的初相兩個分振動兩個分振動 的初相差的初相差)cos(AA2AAA12212221 (20.48)22112211cosAcosAs

16、inAsinAtg (20.49)401. 兩個分振動同相兩個分振動同相 ,2, 1,0k,k212 21212221AAAA2AAA toxx1x2x1+ x2圖圖20.13 兩振動同相兩振動同相412. 兩個分振動反相兩個分振動反相 ,2, 1,0k,)1k2(12 21212221AAAA2AAA toxx1x2圖圖20.14 兩振動反兩振動反相相x1 +x2當(dāng)當(dāng)21AA 時，時，0A 質(zhì)點處于靜止質(zhì)點處于靜止42tox圖圖20.15 任意相位任意相位差差3. 兩個分振動相差為其他值時，合振幅的值在兩個分振動相差為其他值時，合振幅的值在21AA 21AA 與與之間之間4320.7 同一直

17、線上不同頻率的簡諧運動的合同一直線上不同頻率的簡諧運動的合成成（ Combination of Simple Harmonic Motion Along a Straight Line with different frequency） 在同一直線上的兩個分簡諧振動的頻率不同，在同一直線上的兩個分簡諧振動的頻率不同，初相位相同，兩分振動的表達式分別為初相位相同，兩分振動的表達式分別為)tcos(Ax)tcos(Ax2211 合振動的表達式為合振動的表達式為)tcos(A)tcos(Axxx2121 44由于由于 , ,故故 隨時間作極其緩慢的周期變化。隨時間作極其緩慢的周期變化。1212)(

18、) t2cos(A212 合振動可視為振幅為合振動可視為振幅為 ，角頻率為角頻率為 的諧振動。的諧振動。t2cosA212 )(22112 頻率都較大但相差很小的兩個同方向振動合頻率都較大但相差很小的兩個同方向振動合成時所產(chǎn)生的這種振動忽強忽弱的現(xiàn)象成時所產(chǎn)生的這種振動忽強忽弱的現(xiàn)象拍拍。)t2cos(t2cosA2)tcos(A)tcos(Axxx12122121 (20.50)45單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)拍頻拍頻1xt2xtxt圖圖20.16 拍的形成拍的形成46拍頻為兩分振動頻率之差拍頻為兩分振動頻率之差拍現(xiàn)象的應(yīng)用：拍現(xiàn)象的應(yīng)用： 管樂器中的雙簧管；

19、校準(zhǔn)樂器管樂器中的雙簧管；校準(zhǔn)樂器( (使其和標(biāo)準(zhǔn)使其和標(biāo)準(zhǔn)音叉產(chǎn)生的拍音消失音叉產(chǎn)生的拍音消失) )；超外差式收音機中的變；超外差式收音機中的變頻器；汽車速度監(jiān)視器；地面衛(wèi)星跟蹤等。頻器；汽車速度監(jiān)視器；地面衛(wèi)星跟蹤等。12122212 拍拍(20.51）47 20.8 諧振分析諧振分析（ resonance analysis ） 20.17 頻率比為頻率比為1：2的兩個簡諧運動的合的兩個簡諧運動的合成成 兩個在同一直線上不同頻率的簡諧運動的合兩個在同一直線上不同頻率的簡諧運動的合成的結(jié)果仍是振動，但一般不再是簡諧運動。成的結(jié)果仍是振動，但一般不再是簡諧運動。 下面即頻率為下面即頻率為1：2

20、的兩個簡諧運動的合成的兩個簡諧運動的合成t2sinAtsinAxxx2121 48 兩個以上，而且各分振動的頻率都是其中一個兩個以上，而且各分振動的頻率都是其中一個最低頻率最低頻率的整數(shù)倍，則合振動仍是周期性的，其頻的整數(shù)倍，則合振動仍是周期性的，其頻率等于那個最低的頻率。率等于那個最低的頻率。 任何一個復(fù)雜的周期性振動都可以分解為一系任何一個復(fù)雜的周期性振動都可以分解為一系列簡諧運動之和列簡諧運動之和諧振分析諧振分析。 根據(jù)實際振動曲線的形狀，或它的位移時間函根據(jù)實際振動曲線的形狀，或它的位移時間函數(shù)關(guān)系，求出它所包含的各種簡諧運動的頻率和振數(shù)關(guān)系，求出它所包含的各種簡諧運動的頻率和振幅的數(shù)學(xué)方法幅的數(shù)學(xué)方法傅里葉分析傅里葉分析。49根據(jù)