大學(xué)物理——機(jī)械振動(dòng)

1、廣義振動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量：任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。A AO Fxm CK q qL i彈簧振子彈簧振子22dtxda 又又mk 2 令令簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程0222 xdtxd 一、一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征6-1 6-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（simple harmonic motion)xmkmFa xa2 kxF 其通其通解為：解為：諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程)cos( tAx運(yùn)動(dòng)學(xué)定義運(yùn)動(dòng)學(xué)定

2、義:動(dòng)力學(xué)定義動(dòng)力學(xué)定義:1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義A AO mk Fxx)cos( tAx運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程振幅振幅A 物體離開平衡位置的最大距離物體離開平衡位置的最大距離, ,決定于初條件決定于初條件. .頻率頻率 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù). 21 T角頻率角頻率 22 T周期周期T 物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間. . )(cos)cos(TtAtA 2T 2 T初相位初相位 相位相位 t 決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)2、描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征量A AO mk Fxx3.3.振動(dòng)速度及加速度振動(dòng)速度及加速度)c

3、os( tAx),cos( tAdtxda222dtdxv ),sin( tA Av max2Aa maxxa2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度和位移成速度和位移成正比而反向正比而反向.x, v, a avx T O t4.4.振動(dòng)初相及振幅由初始條件決定振動(dòng)初相及振幅由初始條件決定初始條件：當(dāng)初始條件：當(dāng)t = 0時(shí)時(shí), x = x0 ，v = v0)sin( tAv),cos( tAx代入代入得得,cos0 Ax sinA0 v2020)( vxA = arctan)(00 xv A AO xmk 例例6-1. 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A= 0.12 m，周期

4、，周期T= 2 s， 當(dāng)當(dāng)t = 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向x 正向運(yùn)動(dòng)。求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。正向運(yùn)動(dòng)。求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。解解取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。)cos( tAx由題設(shè)由題設(shè)T= 2 s，則，則,T2 A= 0.12 m由初條件由初條件 x0 = 0.06 m，v0 0得得,cos0 Ax 0,sin0 Av21cos0 Ax 3 0,sin 3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為)3cos(12. 0 tx設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為 例例6-2. 如圖所示，倔強(qiáng)系數(shù)為

5、如圖所示，倔強(qiáng)系數(shù)為 8 810103 3NmNm-1-1的輕的輕質(zhì)彈簧一端固定于質(zhì)彈簧一端固定于A，另一端系一質(zhì)量為另一端系一質(zhì)量為M=4.99kg=4.99kg的木塊靜止于水平光滑桌面上。的木塊靜止于水平光滑桌面上。 質(zhì)量質(zhì)量 m=0.01kg=0.01kg的子彈以水平速度的子彈以水平速度v =10=103 3 msms-1 -1 射入木射入木塊使其作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若在木塊經(jīng)過平衡位置且向塊使其作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若在木塊經(jīng)過平衡位置且向右運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)右運(yùn)動(dòng)時(shí)開始計(jì)時(shí)。取取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)、向向右為右為x軸正方向，求其振動(dòng)方程。軸正方向，求其振動(dòng)方程。mvMA解：解：mv=(m+

6、M)V0.01103=(4.99+0.01)VV=2m.s-12221)(21kAVMm 232108212)01. 099. 4 (21A A=0.05m4051083 Mmk )40cos(05. 0 tx0sin20cos05.00 vxt2 )240cos(05. 0 tx振振動(dòng)動(dòng)方方程程為為二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng) t + O P m x y A 勻速圓周運(yùn)動(dòng)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸上的投影軸上的投影 （或分運(yùn)動(dòng)）為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：（或分運(yùn)動(dòng)）為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：)cos( tAx2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)

7、矢量表示法A xO 3.兩同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差（兩同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差（phase difference）O x1A2AO x1A2AO x1A2A)cos(111 tAx)cos(222 tAx兩個(gè)諧振動(dòng)兩個(gè)諧振動(dòng)相位差相位差12 )()(12 tt兩同頻率的諧振動(dòng)的相位兩同頻率的諧振動(dòng)的相位差等于它們的初相差。差等于它們的初相差。 = 2 1 0, x2超前超前x1 = 0, 同相同相 = ，反相反相x, v, a avx T O tx, v, a O AA A2 )cos( tAa2)sin( tAv)cos( tAx).2cos( tA).cos( tA24.4.諧振動(dòng)的位移、速度

8、、加速度之間的位相關(guān)系諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的位相關(guān)系例例6-3. 以余弦函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線以余弦函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖所示，求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。如圖所示，求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。0vx (cm)O t (s)12 1 21t = 1sA t = 0O x A解解設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為)cos( tAxx0 = A/2，v0 0,cos0 Ax 21cos0 Ax 32 由旋轉(zhuǎn)矢量表示法由旋轉(zhuǎn)矢量表示法v0 032 旋轉(zhuǎn)矢量以旋轉(zhuǎn)矢量以 勻角速由勻角速由t = 0 到到t = 1s 轉(zhuǎn)過了轉(zhuǎn)過了4 /334t t =1s34 )3234cos(0.

9、02 tx角頻率的計(jì)算：角頻率的計(jì)算：t = 1s 時(shí)，對(duì)應(yīng)圖示的旋轉(zhuǎn)矢量。時(shí)，對(duì)應(yīng)圖示的旋轉(zhuǎn)矢量。例例6-4.已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的 速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。圖所示，試求其振動(dòng)方程。4 .314 .31 7 .157 .15 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解107 .15sin cmsAv )cos( tAx設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為0cos20 Aa14 .31 cmsvAm 214 .317 .15sin0 Av 656或或 0cos, 00 則則a6 )cos(2 tAa)sin( tAv117

10、.151 cmsvt21)61sin( 得得 6116761或或0)1cos(,01 則則a 6761 114. 3 scmvAm1014. 34 .31 故振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為cmtx)6cos(10 )61sin(1 Av)61sin(1 .347 .15 即即4 .314 .31 7 .157 .15 01)(st)(1 cmsv)cos(2 tAav 0 tst1 2 ov的旋轉(zhuǎn)矢量的旋轉(zhuǎn)矢量與與v軸夾角表軸夾角表示示t 時(shí)刻相位時(shí)刻相位2 t由圖知由圖知 322 6 1cmvAm1014. 34 .31 cmtx)6cos(10 方法方法2： 用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助

11、求解。)cos( tAx)2cos()sin( tvtAvm14 .31 cmsAvm 4 .314 .31 7 .157 .15 01)(st)(1 cmsv1 s mk 固有角頻率固有角頻率三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例1. 彈簧振子彈簧振子(block spring system)平衡位置平衡位置：彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，振動(dòng)物體所處的位置彈簧為原長(zhǎng)時(shí)，振動(dòng)物體所處的位置. x=0 , F=0 位移為位移為x處處: :由由牛頓第二定律牛頓第二定律,kxma xmka x2 角頻率角頻率完全由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。完全由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。固有周期固有周期kmT 22 固有頻率固有頻率A A

12、O mk FxxkxF 0222 xdtxd )cos( tAx2. 單擺單擺(simple pendulum)glTlg 22, 當(dāng)當(dāng) 5 5 (= (= 0.0873rad)時(shí)，時(shí)，,sin sinmgft 擺球相對(duì)于平衡位置的角位移為擺球相對(duì)于平衡位置的角位移為 時(shí)，時(shí)，切切向向合外力合外力: mgft l Tgm mgsin mC 平衡位置平衡位置 ：擺線與豎直方向夾角：擺線與豎直方向夾角 = 0 .由由牛頓第二定律牛頓第二定律,tmamg .22tdtdla 得得 mgdtdml22 或或0dd22 lgt諧振動(dòng)微分方程諧振動(dòng)微分方程結(jié)論結(jié)論：?jiǎn)螖[的小角度擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。單擺的小角度

13、擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,lg2 3. 復(fù)擺復(fù)擺(compound pendulum)繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。, 0222 dtd,22dtdJmgh Jmgh2 令令Jmgh ,sin 小幅擺動(dòng)時(shí)小幅擺動(dòng)時(shí)角位移角位移 ，回復(fù)力矩回復(fù)力矩M = mghsin M = mgh 由剛體的由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 Jmghdtd22 或或得得諧振動(dòng)微分方程諧振動(dòng)微分方程結(jié)論結(jié)論：復(fù)擺的小角度復(fù)擺的小角度擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。gmhCO 線性諧振動(dòng)線性諧振動(dòng)角諧振動(dòng)角諧振動(dòng)mk .1,2 TJK 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷及振動(dòng)方程的確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷及振動(dòng)方程的確

14、定kx,F ,M K ,2xa , 2 歸納與總結(jié)歸納與總結(jié)例：判斷下列運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)例：判斷下列運(yùn)動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.乒乓球在地面上的上下跳動(dòng)乒乓球在地面上的上下跳動(dòng)2.小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動(dòng)小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅振動(dòng) mgO22dtdRRamamgtt sin切向運(yùn)動(dòng)切向運(yùn)動(dòng) sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令0222 dtd簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)gRTRg 2200 振動(dòng)的角頻率振動(dòng)的角頻率和周期分別為：和周期分別為：四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的

15、勢(shì)能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為位移為x)sin( tAv)cos( tAx221kxEp )(cos2122 tkA諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù).系統(tǒng)的機(jī)械能守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒2A21kEEEpk 221mvEk )(sin2122 tkAkm2 振動(dòng)能量曲線振動(dòng)能量曲線xtotToEEk(t)221kA pkEEE 241kAEEpk Ep (t).41cos211120220kA)dtt(kATdtETETTpp .41)(sin21112T0220kAdttkATdtETETkk )(sin21E22k tkA

16、)t(kAEp 22cos21例例:如圖如圖m=210-2kg, 彈簧的靜止形變?yōu)閺椈傻撵o止形變?yōu)?l=9.8cm t=0時(shí)時(shí) x0= -9.8cm, v0=0(1) 取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)， 寫出振動(dòng)方程；寫出振動(dòng)方程；(2) 若取若取x0=0，v00為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，為計(jì)時(shí)零點(diǎn)， 寫出振動(dòng)方程寫出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。并計(jì)算振動(dòng)頻率。x Omx解：解： 確定平衡位置確定平衡位置 mg=k l 取為原點(diǎn)取為原點(diǎn) k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則則 f=mg-k( l +x)=-kx作諧振動(dòng)作諧振動(dòng) 設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為)cos(0 tAxsradl

17、gmk/10098.08 .9 初條件初條件: ,00sin0 mvxA098.0)(2020 由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn) 不同，但不同，但 、A A不變不變Hzlg6 . 1212 固有頻率固有頻率x Omx例例:如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的的 輕彈簧、輕彈簧、一半徑為一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

18、為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的的 定滑輪和一質(zhì)量為定滑輪和一質(zhì)量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR解：取位移軸解：取位移軸ox，m在平在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為為 l，則則0 lkmg 當(dāng)當(dāng)m有位移有位移x時(shí)時(shí)maTmg RaJRxlkT )(聯(lián)立得聯(lián)立得aRJRkx 2 0222 xRJmkdtxd物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 22RJmk kRJmT222 0 lkmg TmTmga2F moxkJR一、同方向、

19、同頻率諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng), ,其頻率仍為其頻率仍為 。)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA )cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx合振動(dòng)合振動(dòng)x1x2 1 2 x2A1AAO 6-2 6-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成如如 A1=A2 , , 則則 A=0，兩個(gè)等幅反相的振動(dòng)合，兩個(gè)等幅反相的振動(dòng)合成的結(jié)果將使質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)。成的結(jié)果將使質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)。, 2 , 1 , 0212 kk 合振動(dòng)的振幅取得最大，兩分振合振動(dòng)的振

20、幅取得最大，兩分振動(dòng)相互加強(qiáng)。動(dòng)相互加強(qiáng)。21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 合振幅最小合振幅最小，兩分振動(dòng)相互減弱。兩分振動(dòng)相互減弱。21AAA 分析分析若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相: :)cos(212212221 AAAAA二二. . 兩個(gè)同方向頻率相近簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同方向頻率相近簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍 如果我們先后聽到頻率很接近的聲音，如如果我們先后聽到頻率很接近的聲音，如552 和和564 Hz，我們很難區(qū)分它們頻率的差異；如果這兩，我們很難區(qū)分它們頻率的差異；如果這兩種聲音同時(shí)到達(dá)我們的耳朵，我們聽到聲音頻率為種聲音同時(shí)到達(dá)我們的

21、耳朵，我們聽到聲音頻率為558Hz=(552+564)/2,其強(qiáng)度以其強(qiáng)度以12Hz (=564 552) 的頻的頻率變化。這種現(xiàn)象稱為率變化。這種現(xiàn)象稱為拍拍，12Hz 為為拍頻。拍頻。xtx1tx2t分振動(dòng)分振動(dòng)),cos(11 tAx)cos(22 tAx合振動(dòng)合振動(dòng))2cos()2cos(21212 ttAx21xxx 1. 拍及拍頻拍及拍頻),(2112 )(2112 令令則則T拍拍x tcos( t+ )2Acos t 拍拍 =2 = 2 1 , 拍拍= 2 1 拍拍: :拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù). .合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽

22、強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象. .tAtA cos2)()cos(cos2 ttAx u拍的現(xiàn)象常被用于校正樂器。例如我們可以利用拍的現(xiàn)象常被用于校正樂器。例如我們可以利用標(biāo)準(zhǔn)音叉來校準(zhǔn)鋼琴的頻率：因?yàn)橐粽{(diào)有微小差別標(biāo)準(zhǔn)音叉來校準(zhǔn)鋼琴的頻率：因?yàn)橐粽{(diào)有微小差別就會(huì)出現(xiàn)拍音，調(diào)整到拍音消失，鋼琴的一個(gè)鍵就就會(huì)出現(xiàn)拍音，調(diào)整到拍音消失，鋼琴的一個(gè)鍵就被校準(zhǔn)了。被校準(zhǔn)了。2. 拍的應(yīng)用拍的應(yīng)用三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)合振動(dòng))(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振動(dòng)分振動(dòng))cos(11 tAx)cos(22 tAyjtyitxtr

23、)()()( 合合振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程0(1)12 0)(221 AyAxxAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線在第一、第三象限內(nèi)的直線12AA斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移討論討論yx)cos(222122 tAAyxS)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0)(221 AyAxxAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線12AA 斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移yx)cos(222

24、122 tAAyxS)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx)cos(1 tAx)cos(2 tAy2(3)12 12212 AyAx合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸為軸軸為軸線的橢圓線的橢圓.質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。向是順時(shí)針的。yx)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx23(4)12 合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸為軸軸為軸線的橢圓線的橢圓.質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。向是逆時(shí)針的。12212 AyAx 2 1 = 0 2 1 = 4 2 43 43 2

25、4 0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。 0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)。)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx四、四、兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形4023 xyyx,:對(duì)于兩個(gè)頻率不相同的諧振動(dòng)，其相位差對(duì)于兩個(gè)頻率不相同的諧振動(dòng)，其相位差)()(1212 t不斷地隨時(shí)間變化，因而合振動(dòng)不一定有穩(wěn)定的軌跡。不斷地隨時(shí)間變化，因而合振動(dòng)不一定有穩(wěn)定的軌跡。yxA2A1o o - -A1- -A2只有在兩振動(dòng)的只有在兩振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比頻率

26、成簡(jiǎn)單的整數(shù)比時(shí)，時(shí)，才有穩(wěn)定的軌跡。才有穩(wěn)定的軌跡。若已知一個(gè)分振動(dòng)的周期，可根據(jù)合振動(dòng)的李薩如圖形若已知一個(gè)分振動(dòng)的周期，可根據(jù)合振動(dòng)的李薩如圖形求出另一個(gè)分振動(dòng)的周期，這種方法常用來測(cè)定頻率。求出另一個(gè)分振動(dòng)的周期，這種方法常用來測(cè)定頻率。李薩如圖形李薩如圖形T1:T2= 2 1 =02 1:21:32:3* * 五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分解五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分解 頻譜頻譜振動(dòng)的分解振動(dòng)的分解：把一個(gè)復(fù)雜振動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。：把一個(gè)復(fù)雜振動(dòng)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。若周期振動(dòng)的頻率為若周期振動(dòng)的頻率為: : 0則各分振動(dòng)的頻率為則各分振動(dòng)的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次

27、諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 , ) , )按傅里葉級(jí)數(shù)展開按傅里葉級(jí)數(shù)展開)()(tfTtf 10cos2)(iiitkAatf T 22 任何一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)，都可看作是若干任何一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)，都可看作是若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。t0 x3t0 x1+x3+x5+x0)5sin513sin31(sin4)( tttUtx方波可按傅里葉級(jí)數(shù)展開為：方波可按傅里葉級(jí)數(shù)展開為：例如：例如：0tx10 x0tt0 x5)5sin513sin31(sin4)( tttUtxxo ot t鋸齒波鋸齒波A A 0 03 3 0 05 5 0 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖例

28、如：例如：鋸齒波鋸齒波可按傅里葉級(jí)數(shù)展開為：可按傅里葉級(jí)數(shù)展開為：)4sin413sin312sin21sin(1)( tttttx 一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無限多個(gè)頻率連續(xù)一個(gè)非周期性振動(dòng)可分解為無限多個(gè)頻率連續(xù)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。xo ot t阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)曲線阻尼振動(dòng)頻譜圖阻尼振動(dòng)頻譜圖o o A一、一、 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)（damped vibration) )：阻阻尼尼振振動(dòng)動(dòng)1.1.阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。系統(tǒng)克服阻力作功，系統(tǒng)的動(dòng)

29、能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向周圍輻射出去。周圍輻射出去。6-3 6-3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)和共振受迫振動(dòng)和共振簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物體在回復(fù)力作用下的一種簡(jiǎn)諧振動(dòng)是物體在回復(fù)力作用下的一種無阻尼自由振動(dòng)。無阻尼自由振動(dòng)。 當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)受到阻力作用時(shí)，在回復(fù)力和阻力作用下當(dāng)振動(dòng)系統(tǒng)受到阻力作用時(shí)，在回復(fù)力和阻力作用下 振動(dòng)，稱為振動(dòng)，稱為阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。彈簧振子彈簧振子動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程22dtxdmdtdxkx dtdxvFR 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼因子阻尼

30、因子物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí), ,介質(zhì)對(duì)物體介質(zhì)對(duì)物體的阻力與速度的一次方成正比的阻力與速度的一次方成正比 阻力系數(shù)阻力系數(shù)2 .2 .阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程阻尼振動(dòng)的振動(dòng)方程 （以摩擦阻尼為例）（以摩擦阻尼為例）)cos(00 teAxt0, 即即阻尼較小阻尼較小(1)(1)弱阻尼振動(dòng)弱阻尼振動(dòng): :teAA 00220222 T阻尼對(duì)振動(dòng)的影響：阻尼對(duì)振動(dòng)的影響：1. 1. A A 減小減小 2. 2. T T 增大增大非簡(jiǎn)諧振動(dòng)非簡(jiǎn)諧振動(dòng) 022022 xdtdxdtxd 220 3.3.弱阻尼振動(dòng)、過阻尼振動(dòng)、臨界阻尼振動(dòng)弱阻尼振動(dòng)、過阻尼振動(dòng)、

31、臨界阻尼振動(dòng)弱阻尼弱阻尼xt(2) 臨界阻尼振動(dòng)臨界阻尼振動(dòng)系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡位置并停下來.0 tetccx )(21(3)過阻尼振動(dòng)過阻尼振動(dòng)系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置.0 ttececx)(2)(1202202 臨界阻尼臨界阻尼xt過阻尼過阻尼xt022022 xdtdxdtxd 二、二、 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動(dòng)力作用下的受迫振動(dòng)的方程tFtddxkxtdxdm cos022 thxtddxtdxd cos22022 周期性外力周期性外力策動(dòng)力策動(dòng)力tFF cos0 令令mk 0 mFh,m,02 OAtx)cos()(cos)( tAteAtxt2200阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)thxtddxtdxd cos22022 穩(wěn)定解穩(wěn)定解)cos( tAx穩(wěn)定解穩(wěn)定解)cos( tAx(1)頻率