第6章 機(jī)械振動(dòng)

1、機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)第六章第六章 機(jī)械振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。物體在一定位置附近作來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。廣義振動(dòng)廣義振動(dòng)：任一物理量任一物理量( (如電量、如電量、電流等電流等) )在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。一、一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述6-1 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置平衡位置的位移的位移(或角位移或角位移)隨隨時(shí)間按時(shí)間按余弦余弦或或正弦正弦函數(shù)變化函數(shù)變化.F xxF 以彈簧振子為例以彈簧振子為例O )cos( tAx1. 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程振幅振幅A 物體離開(kāi)平衡位置的物體離開(kāi)平衡位置的最大距離最大距離, ,決定

2、于初始條件決定于初始條件. .周期周期T 物體完成一次全振動(dòng)物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間所需時(shí)間. . )(cos)cos(TtAtA2T F xxF 以彈簧振子為例以彈簧振子為例O )cos( tAx頻率頻率 :單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù). 21 T角頻率角頻率 22 T相位相位 t : 決定某時(shí)刻的質(zhì)決定某時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)初相位初相位 2.振動(dòng)速度及加速度振動(dòng)速度及加速度)cos( tAx),cos( tAdtxda222dtdxv ),sin( tA Av max2Aa maxxa2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度和位移反向正比和位移反向正比.3.振動(dòng)初相及

3、振幅由初始條件決定振動(dòng)初相及振幅由初始條件決定初始條件：當(dāng)初始條件：當(dāng)t = 0時(shí)時(shí), x = x0 ，v = v0)sin( tAv),cos( tAx代入代入得得0cos ,xA 0sinvA 2200()vAx 00arctan()vx 例如：例如：v0 = 0, x0 = A = 0 xO A A k 例例1. 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，A= 0.12 m, T= 2 s, 當(dāng)當(dāng)t = 0 時(shí)時(shí), x0 = 0.06 m, 此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向x 正向運(yùn)動(dòng)。求此簡(jiǎn)正向運(yùn)動(dòng)。求此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式。諧振動(dòng)的表達(dá)式。解：解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),

4、 ,設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為)cos( tAxT= 2 s0cos ,xA 0sin0,vA cos1 2 3 sin0, 3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為0.12cos()3xt 2,T 初初始始條條件件v0 0 x0 = 0.06A= 0.12 m二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)在勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸上軸上的投影為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：的投影為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：)cos( tAx2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法A xO )cos( tAxA旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)矢量大小矢量大小振

5、幅振幅矢量旋轉(zhuǎn)角速矢量旋轉(zhuǎn)角速度（恒定）度（恒定）角頻率角頻率t=0時(shí)矢量時(shí)矢量與與x軸夾角軸夾角初相初相 注意：注意：旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量本身繞起始端勻本身繞起始端勻角速度逆時(shí)針旋角速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其末端在轉(zhuǎn)，其末端在x軸軸上的上的投影點(diǎn)投影點(diǎn)才做才做簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。3.兩同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差兩同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差)cos(111 tAx)cos(222 tAx兩個(gè)諧振動(dòng)兩個(gè)諧振動(dòng)相位差相位差12 )()(12 tt對(duì)兩對(duì)兩同頻率同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng) = 2 1初相差初相差若若 = 2 1 0, 稱(chēng)稱(chēng)x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。 0,取取為為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單起起見(jiàn)見(jiàn)當(dāng)當(dāng)

6、= 0,兩振動(dòng)步調(diào)相同兩振動(dòng)步調(diào)相同, ,稱(chēng)稱(chēng)同相同相當(dāng)當(dāng) = ,兩振動(dòng)步調(diào)相反兩振動(dòng)步調(diào)相反, ,稱(chēng)稱(chēng)反相反相O xA1A2 O xA1A2 O xA1A2 用旋轉(zhuǎn)矢量表示振動(dòng)相位關(guān)系用旋轉(zhuǎn)矢量表示振動(dòng)相位關(guān)系xy1A2Ax2比比x1超前超前 /2同相同相反相反相x, v, a avx T O tx, v, a O AA A2 )cos( tAa2)sin( tAv)cos( tAx).cos(2tA ).cos( tA2例：由旋轉(zhuǎn)矢量確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移與例：由旋轉(zhuǎn)矢量確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)中位移與速度、位移與加速度的相位差。速度、位移與加速度的相位差。例例2. 以余弦函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線

7、如以余弦函數(shù)表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移時(shí)間曲線如圖所示，確定其振動(dòng)方程圖所示，確定其振動(dòng)方程.x (cm)O t (s)12 1 210v x0O t = 0 xA A t = 1sA解解: : 設(shè)振動(dòng)方程為設(shè)振動(dòng)方程為cos()xAt 由旋轉(zhuǎn)矢量確定振由旋轉(zhuǎn)矢量確定振動(dòng)初相位：當(dāng)動(dòng)初相位：當(dāng) t = 0, 23 23 0v 旋轉(zhuǎn)矢量以旋轉(zhuǎn)矢量以 從從 t = 0 到到t = 1 轉(zhuǎn)過(guò)角度為轉(zhuǎn)過(guò)角度為 43t 43 42( )0.02cos()33x tt 三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程A AO xmk F222cos(),d xaAtdt xa2 xmmaF2)( )cos( t

8、Ax由振動(dòng)方程由振動(dòng)方程令令 k,m2 kxF ( (回復(fù)力回復(fù)力) )kxF 反之，如質(zhì)點(diǎn)所受的力反之，如質(zhì)點(diǎn)所受的力則質(zhì)點(diǎn)一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)則質(zhì)點(diǎn)一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng).2220d xxdt 或位移滿足或位移滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程微分方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義簡(jiǎn)諧振動(dòng)的定義)cos( tAxkxF 運(yùn)動(dòng)學(xué)定義運(yùn)動(dòng)學(xué)定義動(dòng)力學(xué)定義動(dòng)力學(xué)定義2220d xxdt 或或歸納與總結(jié)歸納與總結(jié)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力與它相簡(jiǎn)諧振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的合外力與它相對(duì)于平衡位置位移成正比而反向。對(duì)于平衡位置位移成正比而反向。mk 固有角頻率固有角頻率四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例1. 彈簧振子彈簧振子kxF 選選平衡位置

9、平衡位置為原點(diǎn)為原點(diǎn)位移為位移為x處，物體所受的的處，物體所受的的合外力合外力滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義滿足簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)定義,物體一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體一定作簡(jiǎn)諧振動(dòng).由由牛頓第二定律牛頓第二定律,kxma xmka x2 角頻率角頻率完全由振動(dòng)系統(tǒng)本生的性質(zhì)決定。完全由振動(dòng)系統(tǒng)本生的性質(zhì)決定。固有周期固有周期 22 T固有頻率固有頻率)cos( tAx振動(dòng)方程振動(dòng)方程A AO xmk F sinmgmg2. 單擺單擺2,2glTlg 當(dāng)當(dāng) 5 時(shí)，時(shí)，,sin 擺球角位移為擺球角位移為 時(shí)時(shí)受的合外力受的合外力 mgF 合合平衡位置平衡位置 ： = 0. ,tmamg .22tdtdla 22

10、d0dgtl 諧振動(dòng)微分方程諧振動(dòng)微分方程結(jié)論結(jié)論：?jiǎn)螖[的單擺的小角度擺動(dòng)小角度擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2,gl sinmgF 合合2lTg ?3. 復(fù)擺復(fù)擺繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。繞不過(guò)質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體。2220,ddt ,22dtdJmgh 2mghJ 令令Jmgh ,sin 小幅擺動(dòng)時(shí)小幅擺動(dòng)時(shí)角位移角位移 ，回復(fù)力矩回復(fù)力矩 M = mghsin M = mgh 由剛體的由剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 Jmghdtd22 或或諧振動(dòng)微諧振動(dòng)微分方程分方程結(jié)論結(jié)論：復(fù)擺的復(fù)擺的小角度小角度擺動(dòng)擺動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。gmChO 拓展與思考拓展與思考由能量守恒建立簡(jiǎn)諧

11、振動(dòng)微分方程由能量守恒建立簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程xO k x 222121kxmvE 0 dtdE11(2)(2)022dvdxmvkxdtdt220d xmkxdt2220d xxdt km sinmgmg21(1cos )2Emvmgl 很小很小( 5 )，21cos2 221122Emvmgl 11(2)(2)022dEdvdmvmgldtdtdt dtdlv 22dvdldtdt 2220,ddt gl 線性諧振動(dòng)線性諧振動(dòng)角諧振動(dòng)角諧振動(dòng)mk 1,.2T J 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷及振動(dòng)方程的確定簡(jiǎn)諧振動(dòng)的判斷及振動(dòng)方程的確定kx,F , Mx,a2 , 2 歸納與總結(jié)歸納與總結(jié)0+ m m懸線懸

12、線平衡位置平衡位置固定端固定端例如：對(duì)圖示的扭擺，例如：對(duì)圖示的扭擺，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, MJ 為扭轉(zhuǎn)常數(shù)，取為扭轉(zhuǎn)常數(shù)，取決于決于懸線的長(zhǎng)度、懸線的長(zhǎng)度、直徑及材料。直徑及材料。mcos().t 例例3.如圖如圖m=2 10-2kg, 彈簧的靜止形變?yōu)閺椈傻撵o止形變?yōu)?l =9.8cm t =0時(shí)時(shí), x0 9.8cm, v0=0(1)取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，取開(kāi)始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)， 寫(xiě)出振動(dòng)方程；寫(xiě)出振動(dòng)方程；(2)若取若取x0=0，v00為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，為計(jì)時(shí)零點(diǎn)， 寫(xiě)出振動(dòng)方程寫(xiě)出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。并計(jì)算振動(dòng)頻率。解：解： (1)確定平衡位置確定平衡位置 mg=k

13、 l 取為原點(diǎn)取為原點(diǎn) k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則則 f = mg k( l +x)= kx系統(tǒng)作諧振動(dòng)，設(shè)振動(dòng)方程為系統(tǒng)作諧振動(dòng)，設(shè)振動(dòng)方程為0cos(),xAt 10rad / skgml 9.8cmmO x mx由初始條件得由初始條件得000arctan()0,vx 2200()0.098mvAx 由由x0=Acos 0= 0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0= A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m對(duì)同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)對(duì)同

14、一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn) 不同，但不同，但 、A不變不變1221.6Hzgl 固有頻率固有頻率9.8cmmO x mx x0 9.8cm, v0=010rad / s 例例4. 如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的的 輕彈簧、輕彈簧、一半徑為一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的的 定滑輪和一質(zhì)量為定滑輪和一質(zhì)量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期振動(dòng)，試證物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其周期T.解：解：將將m的平衡位置取為的平衡位置取為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)平衡位置對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)平衡

15、位置對(duì)應(yīng)的彈簧伸長(zhǎng)量為應(yīng)的彈簧伸長(zhǎng)量為 l0 , 則則00mgkl mxO R, Jk當(dāng)當(dāng)m有位移有位移x時(shí)時(shí)1mgFma 10()aF Rklx RJR 聯(lián)立得聯(lián)立得2JkxmaR 2220d xkxdtmJ R 22RJmk 222mJ RTk mxO R, Jk1F1Fmga2F m2220d xxdt 物體作簡(jiǎn)物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)諧振動(dòng)00mgk l 諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢(shì)能系統(tǒng)的勢(shì)能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為，位移為x)sin( tAv)cos( tAx212kEmv )(sin2122 tkA212pEkx )

16、(cos2122 tkA諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能是時(shí)間的周期性函數(shù)五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量五、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量系統(tǒng)的機(jī)械能守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒212kpEEEkA 221cos ()sin ()2tt 222011coscos22d xtotTo EEk(t)212kA kpEEE 214kpEEkAEp(t)振動(dòng)能量曲線振動(dòng)能量曲線例例5.一彈簧振子沿一彈簧振子沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧倔強(qiáng)軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)為系數(shù)為k，物體質(zhì)量為，物體質(zhì)量為m，簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為，簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅為A。求彈簧振子的動(dòng)能為勢(shì)能的求彈簧振子的動(dòng)能為勢(shì)能的3倍時(shí)的位置倍時(shí)的位置x。pkEE3 解

17、：解：2221414121kAEkxEp 2221321kxmv )(cos213)(sin2122222 tkAtAm.)( t)cos( tAx另解：另解：2Ax 一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng), 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA )cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與同方向同頻率質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與同方向同頻率的諧振動(dòng)的諧振動(dòng) :合振動(dòng)合振動(dòng) :6-2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成x1x2

18、 1 2 xA1AA2如如 A1=A2 , , 則則 A=0，兩個(gè)同幅反相的振動(dòng)合，兩個(gè)同幅反相的振動(dòng)合成的結(jié)果將使質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)。成的結(jié)果將使質(zhì)點(diǎn)處于靜止?fàn)顟B(tài)。, 2 , 1 , 0212 kk 合振動(dòng)的振幅取得最大，兩分振合振動(dòng)的振幅取得最大，兩分振動(dòng)相互動(dòng)相互加強(qiáng)。加強(qiáng)。21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 合振幅最小合振幅最小，兩分振動(dòng)相互減弱。兩分振動(dòng)相互減弱。21AAA 兩個(gè)重要特例兩個(gè)重要特例若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)同相：若兩分振動(dòng)反相若兩分振動(dòng)反相: :221212212cos()AAAAA 合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)式中式中tAtA)2cos(2

19、)(12 tt)2cos(cos12 隨隨t 緩變緩變隨隨t 快變快變合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)可看作振幅緩變的簡(jiǎn)諧振動(dòng)二二. 兩個(gè)同方向頻率相近簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)同方向頻率相近簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 拍拍分振動(dòng)分振動(dòng)11cos()xAt22cos()xAt 合振動(dòng)合振動(dòng)21212cos()cos()22xAtt 21xxx 當(dāng)當(dāng) 2 1時(shí)時(shí), ,( )cosxA tt 1212 拍拍 合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象合振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻拍頻: : 單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的次數(shù) =| 2 1| 12 拍拍212T 或或 ：xt tx2t tx1t tBeat phenomen

20、on 拍的現(xiàn)象常被用于校正樂(lè)器。例如我們可以利用拍的現(xiàn)象常被用于校正樂(lè)器。例如我們可以利用標(biāo)準(zhǔn)音叉來(lái)校準(zhǔn)鋼琴的頻率：因?yàn)橐粽{(diào)有微小差標(biāo)準(zhǔn)音叉來(lái)校準(zhǔn)鋼琴的頻率：因?yàn)橐粽{(diào)有微小差別就會(huì)出現(xiàn)拍音，調(diào)整到拍音消失，鋼琴的一個(gè)別就會(huì)出現(xiàn)拍音，調(diào)整到拍音消失，鋼琴的一個(gè)鍵就被校準(zhǔn)了。鍵就被校準(zhǔn)了。 微波測(cè)速雷達(dá)：微波測(cè)速雷達(dá)：被測(cè)物體移動(dòng)時(shí)，由于直達(dá)波和被測(cè)物體移動(dòng)時(shí)，由于直達(dá)波和反射波混合的結(jié)果在接收檢波器上混頻出差拍信反射波混合的結(jié)果在接收檢波器上混頻出差拍信號(hào)，該差拍信號(hào)的頻率和移動(dòng)物體速度成線性關(guān)號(hào)，該差拍信號(hào)的頻率和移動(dòng)物體速度成線性關(guān)系。系。 拍的應(yīng)用拍的應(yīng)用三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

21、合成三、兩個(gè)相互垂直的同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合振動(dòng)合振動(dòng))(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振動(dòng)分振動(dòng))cos(11 tAx)cos(22 tAyjtyitxtr)()()( 合合振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為橢圓方程為橢圓方程. . 兩相互垂兩相互垂直同頻率直同頻率不同相位不同相位差簡(jiǎn)諧振差簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成動(dòng)的合成22221212212122cos()sin ()xyxyAAA A 四、四、兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 軌跡稱(chēng)為軌跡稱(chēng)為李薩如圖形李薩如圖形對(duì)于兩個(gè)頻率不相同的諧振動(dòng)，其相位差對(duì)于兩個(gè)頻率不相同的諧

22、振動(dòng)，其相位差2121()()t不斷地隨時(shí)間變化，因而合振動(dòng)不一定有穩(wěn)定不斷地隨時(shí)間變化，因而合振動(dòng)不一定有穩(wěn)定的軌跡。只有在兩振動(dòng)的的軌跡。只有在兩振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比頻率成簡(jiǎn)單的整數(shù)比時(shí)，才有穩(wěn)定的軌跡。時(shí)，才有穩(wěn)定的軌跡。李李薩薩如如圖圖形形 2 解：解：(1)式中式中t以秒計(jì)，以秒計(jì)，x以厘米計(jì)。以厘米計(jì)。(1)求求x1和和x2合振動(dòng)的振幅和合振動(dòng)的振幅和初相位。初相位。(2)如果如果x1和和x3合成振幅最大，則合成振幅最大，則 3取何值？取何值？如果如果x2和和x3合成振幅最小，則合成振幅最小，則 3取何值？取何值？),438cos(31 tx),48cos(42 tx)8cos

23、(333 tx例例6.三個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為三個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為221212212cos()5cmAAAAA 7coscossinsintan22112211 AAAA 9 .81 式中式中t以秒計(jì)，以秒計(jì)，x以厘米計(jì)。以厘米計(jì)。(1)求求x1和和x2合振動(dòng)的振幅和合振動(dòng)的振幅和初相位。初相位。(2)如果如果x1和和x3合成振幅最大，則合成振幅最大，則 3取何值？取何值？如果如果x2和和x3合成振幅最小，則合成振幅最小，則 3取何值？取何值？),438cos(31 tx),48cos(42 tx)8cos(333 tx例例6.三個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為三個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為解：解

24、：(2)x1和和x3合成振幅最大合成振幅最大, x1和和x3同相同相4313 x2和和x3合成振幅最小合成振幅最小, x1和和x3反相反相4523 4323 或或一、一、 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)阻阻尼尼振振動(dòng)動(dòng)能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱(chēng)阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。能量隨時(shí)間減小的振動(dòng)稱(chēng)阻尼振動(dòng)或減幅振動(dòng)。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。作用，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量振動(dòng)以波的形式向外傳波，使振動(dòng)能量向周?chē)椛涑鋈?。向周?chē)椛涑鋈ァ?-3 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)和共振受迫振動(dòng)

25、和共振固定端固定端 m葉片葉片 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) kx物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)物體以不大的速率在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)時(shí), ,介質(zhì)對(duì)物介質(zhì)對(duì)物體的阻力僅與速度的一次方成正比體的阻力僅與速度的一次方成正比RFv 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)由牛頓第二定律，得由牛頓第二定律，得0()vk xlmgma l0 = mg/k 022022 xdtdxdtxd 0km 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼因子阻尼因子弱阻尼弱阻尼0 )cos( tAext220 阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動(dòng)的振幅按指數(shù)衰減過(guò)阻尼過(guò)阻尼t(yī))(tx過(guò)阻尼過(guò)阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位

26、置慢地回到平衡位置0 tOxAA(0) ecostAt etA 臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來(lái)回到平衡位置并停下來(lái)0 A C B tx(t) tx(t)b c a tx0阻尼振動(dòng)的應(yīng)用阻尼振動(dòng)的應(yīng)用在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，常根據(jù)不同的要求，通過(guò)不在實(shí)際生產(chǎn)和生活中，常根據(jù)不同的要求，通過(guò)不同的方法來(lái)控制阻尼的大小。例如，同的方法來(lái)控制阻尼的大小。例如，各種機(jī)器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種機(jī)器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種聲源、樂(lè)器，總希望它能輻射足夠大的聲各種聲源、樂(lè)器，總希望它能輻射足夠大的聲 能，能，就需要加大

27、其輻射阻尼，各種樂(lè)器上的空氣箱就起就需要加大其輻射阻尼，各種樂(lè)器上的空氣箱就起這種作用。這種作用。在靈敏電流計(jì)中，為了盡快地、在靈敏電流計(jì)中，為了盡快地、較準(zhǔn)確地進(jìn)行讀數(shù)測(cè)量，常使電較準(zhǔn)確地進(jìn)行讀數(shù)測(cè)量，常使電流計(jì)的偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀流計(jì)的偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。因?yàn)榕R界阻尼與過(guò)阻態(tài)下工作。因?yàn)榕R界阻尼與過(guò)阻尼和弱阻尼狀態(tài)相比，振動(dòng)物體尼和弱阻尼狀態(tài)相比，振動(dòng)物體回到平衡位置的時(shí)間最短。回到平衡位置的時(shí)間最短。二、二、 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)：受迫振動(dòng)：振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。這種周期性的外力稱(chēng)為這種周期性的外力稱(chēng)為驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力。系統(tǒng)在

28、彈性力、阻力和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在彈性力、阻力和驅(qū)動(dòng)力的作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為力的作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為202cosd xdxmkxFtdtdt thxtddxtdxd cos22022 0cosFFt 令令mk 0 0,2Fhmm 受迫振動(dòng)的微分方程受迫振動(dòng)的微分方程 mkxO = /2 )cos()(cos)( tAteAtxt2200阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)在阻尼較小的情況下的通解在阻尼較小的情況下的通解經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，減經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，減幅振動(dòng)可以忽略不計(jì)。幅振動(dòng)可以忽略不計(jì)。系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后的振動(dòng)為一穩(wěn)定的等幅的振動(dòng)為一穩(wěn)定的等幅振動(dòng)。振動(dòng)。受迫振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)為受迫振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)為)c

29、os( tAxthxtddxtdxd cos22022 受迫振動(dòng)微分方程受迫振動(dòng)微分方程A O xt(1)角角頻率頻率: : 等于驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于驅(qū)動(dòng)力的角頻率 (3)初相初相: :2202tan 特點(diǎn)特點(diǎn): :穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化。穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化。(2)振幅振幅: :2/12222204)( hA受迫振動(dòng)振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條受迫振動(dòng)振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條件，而與振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)件，而與振動(dòng)系統(tǒng)的性質(zhì)(固有角頻率、質(zhì)量固有角頻率、質(zhì)量)、阻、阻尼的大小和驅(qū)動(dòng)力的特征有關(guān)。尼的大小和驅(qū)動(dòng)力的特征有關(guān)。討論討論)cos( tAx受迫振動(dòng)的

30、穩(wěn)態(tài)解受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解2202 r最大振幅為最大振幅為2202rhA 如如 0 0 ， r= 0, ,即即驅(qū)動(dòng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的力的角頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有角頻率時(shí)，振幅達(dá)到最固有角頻率時(shí)，振幅達(dá)到最大值。這種現(xiàn)象叫大值。這種現(xiàn)象叫共振共振。三、共振三、共振2/12222204)( hA受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的角頻率與驅(qū)動(dòng)力的角頻率 有關(guān)。令有關(guān)。令dA/d =0，可得與振幅可得與振幅極大值對(duì)應(yīng)的角頻率為極大值對(duì)應(yīng)的角頻率為A 0在共振時(shí)，在共振時(shí)， = 0)cos( tAx共振原因的進(jìn)一步分析共振原因的進(jìn)一步分析受迫振動(dòng)的振動(dòng)方程受迫振動(dòng)的振動(dòng)方程2202tan 初相

31、初相則則 = /2振動(dòng)速度，振動(dòng)速度，)( tsinAdtdxv)(2tAcos tA cos 這說(shuō)明，振動(dòng)速度和驅(qū)動(dòng)力同相這說(shuō)明，振動(dòng)速度和驅(qū)動(dòng)力同相(F = Acos t )，因，因而，驅(qū)動(dòng)力總是對(duì)系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)能最大限度地而，驅(qū)動(dòng)力總是對(duì)系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)能最大限度地從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。tFF0 cos 驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力thxtddxtdxd cos22022 受迫振動(dòng)的微分方程受迫振動(dòng)的微分方程共振的利與弊共振的利與弊共振現(xiàn)象在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用共振現(xiàn)象在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用：鋼琴、小提琴等樂(lè)器的木制琴身，利用共振現(xiàn)象使

32、鋼琴、小提琴等樂(lè)器的木制琴身，利用共振現(xiàn)象使其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機(jī)的調(diào)其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機(jī)的調(diào)諧裝置也利用了共振現(xiàn)象（電磁共振）選臺(tái)；原子諧裝置也利用了共振現(xiàn)象（電磁共振）選臺(tái)；原子核內(nèi)的核磁共振用來(lái)進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究及醫(yī)療診核內(nèi)的核磁共振用來(lái)進(jìn)行物質(zhì)結(jié)構(gòu)的研究及醫(yī)療診斷等。斷等。共振的利與弊共振的利與弊共振現(xiàn)象也有其危害性：共振現(xiàn)象也有其危害性：例如，共振時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的振幅過(guò)大，建筑物、機(jī)器例如，共振時(shí)振動(dòng)系統(tǒng)的振幅過(guò)大，建筑物、機(jī)器設(shè)備等就會(huì)受到嚴(yán)重的損壞；汽車(chē)行駛時(shí)，若發(fā)動(dòng)設(shè)備等就會(huì)受到嚴(yán)重的損壞；汽車(chē)行駛時(shí)，若發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的頻率接近車(chē)身的固有頻率，車(chē)身

33、也會(huì)產(chǎn)生機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的頻率接近車(chē)身的固有頻率，車(chē)身也會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的共振而受到損壞。強(qiáng)烈的共振而受到損壞。18世紀(jì)中葉，一隊(duì)拿破侖士兵在指揮官的口令下，世紀(jì)中葉，一隊(duì)拿破侖士兵在指揮官的口令下，邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過(guò)法國(guó)昂熱邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過(guò)法國(guó)昂熱市一座大橋，快走到橋中間時(shí)，橋梁突然發(fā)生強(qiáng)市一座大橋，快走到橋中間時(shí)，橋梁突然發(fā)生強(qiáng)烈的顫動(dòng)并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市烈的顫動(dòng)并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市民落入水中喪生。造成這次慘劇的罪魁禍?zhǔn)祝衤淙胨袉噬Ｔ斐蛇@次慘劇的罪魁禍?zhǔn)?，正是共振！因?yàn)榇箨?duì)士兵齊步走時(shí)，產(chǎn)生的一種頻是共振！因?yàn)榇箨?duì)士兵齊步走時(shí)，產(chǎn)生的一種頻率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動(dòng)加強(qiáng)，率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動(dòng)加強(qiáng)，當(dāng)它的振幅達(dá)到最大限度直至超過(guò)橋梁的抗壓力當(dāng)它的振幅達(dá)到最大限度直至超過(guò)橋梁的抗壓力時(shí)，橋就斷裂了。時(shí)，橋就斷裂了。 共振的利與弊共振的利與弊聲音殺人聲音殺人 聽(tīng)不到的聲音聽(tīng)不到的聲音次聲，頻率低于次聲，頻率低于20赫茲，人赫茲，人體內(nèi)臟固有頻率和次聲頻率接近