第3章利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析

1、3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析做連續(xù)信號的頻譜分析 采樣截短DFT)(ajX)(atx( )x n)e(Xj ( )( )( )NNxnx n Rn)(jNeX)(kXNNkjNeX/2)(信號的頻譜分析：利用信號的頻譜分析：利用DFT計算連續(xù)信號的頻譜計算連續(xù)信號的頻譜3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析做連續(xù)信號的頻譜分析 信號的頻譜分析：利用信號的頻譜分析：利用DFT計算連續(xù)信號的頻譜計算連續(xù)信號的頻譜3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析做連續(xù)信號的頻譜分析 n 理論上，信號的時域長度和頻域帶寬不可能同理論上，信號的時域長度和頻域帶寬不可能同時為有限長，時域有限長

2、則帶寬無限長，時域無時為有限長，時域有限長則帶寬無限長，時域無限長則帶寬有限長。限長則帶寬有限長。n DFT對應的時域和頻域信號都是有限長離散序?qū)臅r域和頻域信號都是有限長離散序列，并隱含周期性。列，并隱含周期性。3.2 利用利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析做連續(xù)信號的頻譜分析 信號的頻譜分析：利用信號的頻譜分析：利用DFT計算連續(xù)信號的頻譜計算連續(xù)信號的頻譜所以利用所以利用DFT計算連續(xù)信號的頻譜，需要進行以下計算連續(xù)信號的頻譜，需要進行以下幾步操作：幾步操作：（1）頻域限帶：為滿足抽樣定理而進行的抗混疊）頻域限帶：為滿足抽樣定理而進行的抗混疊 濾波濾波 ，造成時域無限長，造成時域無限長（2

3、）時域抽樣：造成頻譜的周期延拓，可能產(chǎn)生）時域抽樣：造成頻譜的周期延拓，可能產(chǎn)生 頻譜混疊頻譜混疊 （ ）（3）時域截短：造成頻譜泄露（頻譜的擴散、拖）時域截短：造成頻譜泄露（頻譜的擴散、拖 尾、變寬）一個周期尾、變寬）一個周期N點點（4）頻域抽樣：造成時域周期延拓，可能產(chǎn)生時）頻域抽樣：造成時域周期延拓，可能產(chǎn)生時 域混疊（域混疊（F0fs/N，MN）2shff采樣周期延拓頻譜混疊時域截短頻譜泄漏、混疊擴散/拖尾/變寬頻域采樣取主值序列取主值序列周期延拓00shTfTFNf時域采樣間隔時域采樣頻率信號記錄長度（頻率分辨率）頻域采樣間隔采樣點數(shù)信號最高頻率00sTfNTF1/sfT2shff0

4、01/TF0TNT0TNT0sfNFu 頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇頻率響應的混疊失真及參數(shù)的選擇00sTfNTF2shff時域抽樣：001/FT頻域抽樣：同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，同時提高信號最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點數(shù)需增加采樣點數(shù)N。00sTfNTFhsff要增加信號最高頻率則0NF當 給定必，即分辨率0001FTF要提高頻率分辨率，即則shNTff當 給定 則要不產(chǎn)生混疊， 必u信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾信號最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾u參數(shù)選擇的一般原則：參數(shù)選擇的一般原則： NTf/Ns sf（3） 和和N確定以后，即可確定相應模擬信確定以后，即可確定相

5、應模擬信號的時間長度號的時間長度這里這里T是采樣周期。是采樣周期。0Ff 0F/fNs （2）根據(jù)頻率分辯率）根據(jù)頻率分辯率 ，確定所需，確定所需DFT的長度的長度maxfmaxsff 2（1）若已知信號的最高頻率）若已知信號的最高頻率 ，為防，為防止混止混 疊，選定采樣頻率疊，選定采樣頻率 ；0/2htT0112hhfTt如果不知道信號的最高頻率 fh 怎么辦？時域變化越快則高頻分量越豐富取變化最快的兩相鄰峰點谷點之間的時間為半個周期。例如：人們只觀察記錄了一段時間的波形或數(shù)據(jù)，如圖所示，應如何確定 fh 呢？u信號最高頻率信號最高頻率 fh 的確定的確定FFT例：有一頻譜分析用的處理器，其

6、抽樣點數(shù)必須是2的整數(shù)冪，假設(shè)沒有采用任何的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：11024HzkHz）頻率分辨率）信號最高頻率0 1 2T NT試確定以下參量：）最小記錄長度）抽樣點間的最大時間間隔 （即最小抽樣頻率）3）在一個記錄中最少點數(shù)1解： ）最小記錄長度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽樣間隔 （ ）3110125224 10hTmsf .3）最小記錄點數(shù)30224 1080010hfNF 10221024800mN ?。?）混迭）混迭對連續(xù)信號對連續(xù)信號 x(t) 進行數(shù)字處理前，要進行采樣進行數(shù)字處理前，要進行采樣 na)nTt ()t (x)nT(x 采樣序列的頻譜

7、是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，采樣序列的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為周期為fs，如采樣率過低，不滿足采樣定理，即，如采樣率過低，不滿足采樣定理，即若若fs2fh，則導致頻譜混迭，使一個周期內(nèi)的譜對，則導致頻譜混迭，使一個周期內(nèi)的譜對原信號譜產(chǎn)生失真，無法恢復原信號，進一步的數(shù)原信號譜產(chǎn)生失真，無法恢復原信號，進一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。字處理失去依據(jù)。u利用利用DFT做連續(xù)信號的頻譜分析時出現(xiàn)的問題：做連續(xù)信號的頻譜分析時出現(xiàn)的問題： 不滿足抽樣定理時產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象不滿足抽樣定理時產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象sT0)(tftm)(jFs0sT1m0t)(tfsT()sFj0sT1()sFj0sT1 （

8、2） 泄漏泄漏 處理實際信號序列處理實際信號序列 x（n）時，一般總要將它截）時，一般總要將它截斷為一有限長序列，長為斷為一有限長序列，長為N點，相當于乘以一個矩形點，相當于乘以一個矩形窗窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當窗口趨于無窮大許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當窗口趨于無窮大時，就是一個沖擊函數(shù)。時，就是一個沖擊函數(shù)。 我們知道，時域的乘積對應頻域的卷積，所以，我們知道，時域的乘積對應頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實際是原信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的加窗后的頻譜實際是原信號頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積

9、的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無窮。當窗口無窮大時，與沖擊函數(shù)的卷積才延伸到無窮。當窗口無窮大時，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時無畸變，否則就有畸變。是其本身，這時無畸變，否則就有畸變。改善方法：改善方法：對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為對時域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏泄漏1）增加）增加x(n)長度長度2）緩慢截短）緩慢截短 （3）柵欄效應）柵欄效應 N點點DFT是在頻率區(qū)間是在頻率區(qū)間 0，2 上對信號頻譜上對信號頻譜進行進行N點等間隔采樣，得到的是若干個離散的頻譜點等間隔采樣，得到的是若干個離散的頻譜點點 X（k），且它們限制

10、在基頻的整數(shù)倍上，這就），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣，好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點處看到真實的景象，其余部分頻譜成只能在離散點處看到真實的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，分被遮擋， 所以稱之為所以稱之為柵欄效應柵欄效應。 減小柵欄效應方法：減小柵欄效應方法：時域序列尾部補零，使譜時域序列尾部補零，使譜線變密，增加頻域采樣點數(shù)，原來漏掉的某些頻譜線變密，增加頻域采樣點數(shù)，原來漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測出來。分量就可能被檢測出來。改善方法：改善方法：增加頻域抽樣點數(shù)增加頻域抽樣點數(shù)N（時域補零），使譜線更密（時域補零），

11、使譜線更密DFT只計算離散點（基頻只計算離散點（基頻F0的整數(shù)倍處）的頻譜，的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù)而不是連續(xù)函數(shù)(4) DFT的分辨率的分辨率 F0n填補零值可以改變對填補零值可以改變對DTFT的采樣密度，人們常常的采樣密度，人們常常有一種誤解，認為補零可以提高有一種誤解，認為補零可以提高DFT的頻率分辨率。的頻率分辨率。n事實上我們通常規(guī)定事實上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率的頻率分辨率 ，這里的這里的 N 是指信號是指信號x(n)的有效長度，而不是補零的的有效長度，而不是補零的長度。長度。n不同長度的不同長度的x(n)其其DTFT的結(jié)果是不同的；的結(jié)果是不同的；n相同長度的相同

12、長度的x(n)盡管補零的長度不同但其盡管補零的長度不同但其DTFT的結(jié)的結(jié)果相同，他們的果相同，他們的DFT只是反映了對相同的只是反映了對相同的DTFT采用采用了不同的采樣密度。了不同的采樣密度。 N/fs(4) DFT的分辨率的分辨率 F0n填補零值可以改變對填補零值可以改變對DTFT的采樣密度，人們常常的采樣密度，人們常常有一種誤解，認為補零可以提高有一種誤解，認為補零可以提高DFT的頻率分辨率。的頻率分辨率。n事實上我們通常規(guī)定事實上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率的頻率分辨率 ，這里的這里的 N 是指信號是指信號x(n)的有效長度，而不是補零的的有效長度，而不是補零的長度。長度。n不同長

13、度的不同長度的x(n)其其DTFT的結(jié)果是不同的；的結(jié)果是不同的；n相同長度的相同長度的x(n)盡管補零的長度不同但其盡管補零的長度不同但其DTFT的結(jié)的結(jié)果相同，他們的果相同，他們的DFT只是反映了對相同的只是反映了對相同的DTFT采用采用了不同的采樣密度。了不同的采樣密度。 N/fs(4) DFT的分辨率的分辨率 F0 njnjenxeX)()(deeXnxjnj )(21)(DTFT：IDTFT：n相同長度的相同長度的x(n)盡管補零的長度不同但其盡管補零的長度不同但其DTFT的結(jié)的結(jié)果相同，他們的果相同，他們的DFT只是反映了對相同的只是反映了對相同的DTFT采采用了不同的采樣密度。用了不同的采樣密度。(5) 周期信號的譜分析周期信號的譜分析 )k(XN)j(Xa 可以得到單一譜線的可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作結(jié)果，但這是和作DFT時數(shù)據(jù)的截取長度選得是否恰當有關(guān)，截取長度時數(shù)據(jù)的截取長度選得是否恰當有關(guān)，截取長度N選得合理，選得合理， 可完全等于可完全等于 的采樣。的采樣。)tf2sin()t (xaa af對于連續(xù)的單一頻率周期信號對于連續(xù)的單一頻率周期信號 ， 為信號的頻率。為信號的頻率。)8n2sin(