第六章積分學SECTION2

1、§2 多重積分、曲線積分與曲面積分一、 多重積分1. 二重積分連續(xù)函數(shù)f(x,y)在有限可求積的平面區(qū)域內的二重積分式中,是對中的所有的下標i，j求和.特定區(qū)域內二重積分的計算公式積分區(qū)域計算公式（積分限應從小到大）設，則二重積分的變量替換(雅可比式) 若連續(xù)可微分的函數(shù)把平面Oxy上的有界閉區(qū)域單值映射到平面上的閉區(qū)域'，其雅可比式為則例 若則所以2. 三重積分直角坐標下的三重積分 假設有界區(qū)域V由下列不等式axb,y, z確定，其中,都是連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)f(x,y,z)在V上是連續(xù)的，則函數(shù)f(x,y,z)在有界區(qū)域V上的三重積分有時采用下面公式計算：式中是用平行于Oyz

2、的平面截區(qū)域V所得的截斷面(圖6.3).例設V表示在第一卦限中由曲面和坐標平面所圍成的封閉區(qū)域，則當一切常數(shù)都是正的時候，有這種類型的積分稱為狄利克萊積分，它在計算重積分時經常用到.圓柱坐標下的三重積分 (圖6.4)（一般地，02)式中V為直角坐標中的有界區(qū)域，V'是區(qū)域V在圓柱坐標系中的表達式.球面坐標下的三重積分 (圖6.5)（一般地，02,0)式中V'是區(qū)域V在球面坐標系中的表達式.三重積分的變量替換(雅可比式) 若連續(xù)可微函數(shù)把Oxyz空間的有界三維閉區(qū)域雙方單值地映射到O'uw空間的閉區(qū)域V'，并且當（u,w)V'時其雅可比式則3. 多重積分直

3、接計算多重積分若函數(shù)f()在由下列不等式所確定的有界閉區(qū)域內是連續(xù)的：ab() () () ()式中a,b為常數(shù)，()， ()， ()， ()為連續(xù)函數(shù)，則對應的多重積分可按下面公式計算：多重積分的變量替換（雅可比式） 若連續(xù)可微函數(shù)= (), i=1,2,n把O空間內的有界閉區(qū)域雙方單值地映射成O'空間內的有界閉區(qū)域',并且在閉區(qū)域'內雅可比式則特別，根據(jù)公式變換成極坐標(r,)時，有：二、 曲線積分對弧長的曲線積分 若函數(shù)f(x,y,z)在光滑曲線C:的各點上有定義并且連續(xù)（圖6.6）則式中ds為弧的微分，等.這個積分與曲線C的方向無關.對坐標的曲線積分若函數(shù)P=P

4、(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲線C:的各點上連續(xù)，這曲線的正方向為t增加的方向，則當曲線C的正向變更時，積分的符號改變.全微分的情形若函數(shù)P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在區(qū)域V中的任一條光滑曲線C上連續(xù)，并且式中u=u(x,y,z)為區(qū)域V內的單值可微函數(shù)，則式中()為積分曲線C的始點，()為積分曲線C的終點.這說明在假定的條件下，積分值與曲線C的形狀無關，只與曲線的始點和終點有關(圖6.7).在單連通區(qū)域V內有連續(xù)的一階偏導數(shù)的函數(shù)P,Q,R能表成全微分的充分必要條件是：在區(qū)域V內等式成立.這時函數(shù)u可按下面公式求得：式中

5、()為區(qū)域V內的某一固定點.格林公式1°曲線積分與二重積分的關系.設C為逐段光滑的簡單（無自交點）閉曲線，圍成單連通的有界區(qū)域S,這圍線的方向使區(qū)域S保持在左邊，若函數(shù)P(x,y),Q(x,y)及它們的一階偏導數(shù)在S+C上連續(xù)，則有格林公式：2°曲線積分與積分線路的關系.若函數(shù)P,Q,在區(qū)域S上連續(xù)，且則沿S內的任一光滑閉曲線的積分為零，即因而由S中的A到B的積分與線路無關（圖6.8)，即三、 曲面積分對曲面面積的曲面積分1°若S為逐片光滑的雙側曲面*z=z(x,y) (x,y)式中為曲面S在Oxy坐標面上的投影，z(x,y)為單值連續(xù)可微函數(shù)，函數(shù)f(x,y,z

6、)在曲面S的各點上有定義并連續(xù)，則此積分與曲面S的方向（法線的方向）無關.2°若曲面S由連續(xù)可微函數(shù) (u,)給定，則式中* 曲面上某一點的法線方向的選定，唯一確定了曲面上所有其他點的法線方向，它們就是選定方向的法線在曲面上連續(xù)移動（不經過曲面邊緣）的指向，所以也就決定了曲面的一側.如果改變原來選定的法線方向，曲面上的所有其他點的法線方向都隨著改變，曲面就從一側移到另一側.這種曲面稱為雙側曲面.對坐標的曲面積分 若S為光滑的雙側曲面，為它的正面，即由法線方向n(cos, cos,cos)所確定的一側，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)為在曲面S上有定義并

7、且連續(xù)的函數(shù)，則若曲面S由連續(xù)可微函數(shù) (u,)給定，則式中斯托克斯公式若C是包圍逐片光滑有界雙側曲面S的逐段光滑簡單閉曲線，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在S+C上連續(xù)可微函數(shù)，則高斯公式若S為包含體積V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一階偏導數(shù)在V+S上連續(xù)，則有高斯公式：式中cos,cos,cos為曲面S的法線正方向的方向余弦.四、 重積分、曲線積分與曲面積分的近似計算二重積分的近似計算公式式中對于不同的積分區(qū)域選取不同的常數(shù)，是求積系數(shù)，R是余項.為圓形C: Ac=n圖示R5(0,0)(±h

8、,0)(0,±h)4n圖示R7(0,0)(±h,0)9(0,0)(±h,0)(0,±h)7(0,0)(±h,0)(±h,±h)21(0,0)(k=1,2,10為正方形S: |x|h,|y|h,=4n圖示R9(0,0)(±h,±h)(±h,0)(0,±h)n圖示R49(0,0)為正三角形T: 外接圓半徑為h，n圖示R4(0,0)(h,0)7(0,0)7(0,0)為正六邊形H: 外接半徑為h，n圖示R7(0,0)(h,0)7(0,0)三重積分的近似計算公式式中對于不同的積分區(qū)域V選取不同的常數(shù)，是求積系數(shù)，R是余項.V為球體S: .=n圖示R7(0,0,0)V為立方體C: |x|h,|y|h,|z|h.=8n圖示R621(0,0,0)中心到6個面的距離的6個中點6個面的中心8個頂點n圖示R426個面的中心1