第七章空間解析幾何與向量代數(shù)(答案)

1、第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)一、選擇題1. 已知A(1,0,2), B(1,2,1)是空間兩點(diǎn)，向量的模是：（A ）A ） B） C） 6 D）92. 設(shè)a=1,-1,3, b=2,-1,2，求c=3a-2b是：（ B ）A ）-1,1,5. B） -1,-1,5. C） 1,-1,5. D）-1,-1,6.3. 設(shè)a=1,-1,3, b=2,1,-2，求用標(biāo)準(zhǔn)基i, j, k表示向量c=a-b為（A ）A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）-2i-j+5k4.求兩平面和的夾角是：（ C ）A ） B） C） D）5. 一質(zhì)點(diǎn)在力F=3i+4j+5k的作用下，從

2、點(diǎn)A（1,2,0）移動(dòng)到點(diǎn)B(3, 2,-1)，求力F所作的功是：（ B ）A ）5焦耳 B）1焦耳 C）3焦耳 D）9焦耳6. 已知空間三點(diǎn)M(1,1,1)、A(2,2,1)和B（2，1，2），求AMB是：（ C）A ） B） C） D）7. 求點(diǎn)到直線L：的距離是：（ A ）A ） B C） D）8. 設(shè)求是：（ ）A ）-i-2j+5k B）-i-j+3k C）-i-j+5k D）3i-3j+3k9. 設(shè)的頂點(diǎn)為，求三角形的面積是：（ A ）A ） B） C） D）310. 求平行于軸，且過(guò)點(diǎn)和的平面方程是：（ D）A）2x+3y=5=0 B）x-y+1=0 C）x+y+1=0 D）11

3、、若非零向量滿足關(guān)系式，則必有（ C ）；（A）；（B）；（C）；（D）12、已知，則（ D ）；（A）； （B）5； （C）3； （D）13、直線與平面的夾角為B；（A）； （B）； （C）； （D）14、點(diǎn)在平面的投影為A；（A）； （B）； （C）；（D）15、方程表示曲面，其對(duì)稱軸在上；(A)單葉雙曲面,軸; (B)雙葉雙曲面,軸;(C)單葉雙曲面,軸; (D)雙葉雙曲面,16設(shè)為非零向量，且, 則必有（ C ）A BC D17、設(shè)向量相平行，但方向相反，則當(dāng)時(shí)，必有（A ）A B C D 18向量與的數(shù)量積=（ C ）.A ； B ； C ； D 19非零向量滿足，則有（ C ）A

4、; B (為實(shí)數(shù))； C ； D 20設(shè)與為非零向量，則是（A ）A 的充要條件； B 的充要條件; C 的充要條件； D 的必要但不充分的條件21設(shè)，則向量在軸上的分向量是（B）A 7 B 7 C 1； D -922空間曲線的方程是（ B ）.A 惟一的； B 不惟一的； C 可能不惟一； D 不能確定.23方程組 表示 （ B ）.A 橢球面； B 平面上的橢圓；C 橢圓柱面； D 空間曲線在平面上的投影.24方程 在空間直角坐標(biāo)系下表示 （C ）. A 坐標(biāo)原點(diǎn)； B 坐標(biāo)面的原點(diǎn)； C 軸； D 坐標(biāo)面.25設(shè)空間直線的對(duì)稱式方程為 則該直線必（ A ）.A 過(guò)原點(diǎn)且垂直于軸； B 過(guò)

5、原點(diǎn)且垂直于軸；C 過(guò)原點(diǎn)且垂直于軸； D 過(guò)原點(diǎn)且平行于軸.26設(shè)空間三直線的方程分別為,則必有（ D ）.A ； B ； C ； D .二、填空題1平面的點(diǎn)法式方程是2、坐標(biāo)面的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是：3、已知兩點(diǎn)與，與向量方向一致的單位向量=。4、 平面的一般式方程是:5、平面的截距式方程是:6、已知, 且, 則；7、已知三向量?jī)蓛苫ハ啻怪保?，則向量的模等于；8、旋轉(zhuǎn)曲面是由曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周而得；9、空間曲線在面上的投影為；10、當(dāng)_時(shí),直線平行于平面。（1）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面方程是 _.（2）已知兩條直線的方程分別是，則過(guò)L1且平行于L2的平面方程是 _.

6、解（1）化參數(shù)方程為對(duì)稱方程：，則所求平面的法向量為 ，依點(diǎn)法式得， 即 （2）取上的點(diǎn)，取.則由點(diǎn)法式可得所求平面方程為 三、判斷題1、任何向量都有確定的方向。 （ ）2、若兩向量滿足關(guān)系，則同向。（ ）3、若，則 。 （ ）4、與非零向量同向的單位向量只有1個(gè).（ ）5、與非零向量共線的單位向量只有1個(gè).（ × ）四、計(jì)算題1在平面上，求與三點(diǎn)、和等距離的點(diǎn)。解：設(shè)所求點(diǎn)為 則， ，。由于與、三點(diǎn)等距，故，于是有：， 解此方程組，得，故所求的點(diǎn)為。2證明是一個(gè)球面方程，并求出球心和半徑。證：將方程移項(xiàng)并配方，得：，由兩點(diǎn)間的距離公式知它是以為球心，3為半徑的球面方程。3已知，求的

7、模、方向余弦與方向角。解：由題設(shè)知： 則，于是，。4已知，求下列各向量的坐標(biāo)：(1)；(2)；(3)；(4)解：(1) ；(2)；(3)；(4)5設(shè)，和，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量。解： 故在軸上的投影為13，在軸上的分向量為。6在坐標(biāo)面上求一與已知向量垂直的向量。解：設(shè)所求向量為，由題意，取，得，故與垂直。當(dāng)然任一不為零的數(shù)與的乘積也垂直。7求以，為頂點(diǎn)的三角形的面積。解：由向量的定義，可知三角形的面積為，因?yàn)?，所以，于是?8求與向量，都垂直的單位向量。解：由向量積的定義可各，若，則同時(shí)垂直于和，且，因此，與平行的單位向量有兩個(gè)：和9指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別

8、表示什么圖形？(1)；(2)；(3)；(4)。方程在平面解幾中表示在空間解幾中表示平行于軸的一直線與平面平行且過(guò)的平面斜率為1，在軸截距為1的直線平行于軸，過(guò)(0,1,0)，(-1,0,1)的平面圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓以過(guò)軸的直線為軸，半徑為2的圓柱面雙曲線母線平行于軸的雙曲柱面9分別求母線平行于軸及軸而且通過(guò)曲線的柱面方程。解：10從方程組中消去得：，此方程即母線平行于軸且通過(guò)已知曲線的柱面方程；20從方程組中消去得：，此方程即母線平行于軸且通過(guò)此曲線的柱面方程。10求球面與平面的交線在面上的投影的方程。解：由，得，代入，消去得，即，這就是通過(guò)球面與平面的交線，并且母線平行于軸的柱面方程，

9、將它與聯(lián)系，得：，即為所求的投影方程。11求過(guò)，和三點(diǎn)的平面方程。解一：點(diǎn)法式：，取，于是所求方程：。解法二：用一般式，設(shè)所求平面方程為 將已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入方程得解得 ，得平面方程：。解法三：設(shè)點(diǎn)為此平面上任一點(diǎn)，則，共面，由三向量共面的充要條件得，而，所以，即為所求平面的方程。12求平面與面的夾角。解：為此平面的法向量，設(shè)此平面與的夾角為，則，故。13分別按下列條件求平面方程(1)平行于面且經(jīng)過(guò)點(diǎn)； (2)通過(guò)軸和點(diǎn)； (3)平行于軸且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和。解：(1)因?yàn)樗笃矫嫫叫杏诿?，故為其法向量，由點(diǎn)法式可得：，即所求平面的方程：。(2)因所求平面通過(guò)軸，其方程可設(shè)為，已知點(diǎn)在此平面上，因

10、而有，即，代入（*）式得：，即所求平面的方程為：。(3)從共面式入手，設(shè)為所求平面上的任一點(diǎn)，點(diǎn)和分別用，表示，則，共面，從而，于是可得所求平面方程為：。14用對(duì)稱式方程及參數(shù)式方程表示直線：。解：因?yàn)橹本€的方向向量可設(shè)為，在直線上巧取一點(diǎn)（令，解直線的方程組即可得，），則直線的對(duì)稱式方程為，參數(shù)方程為：，。15求過(guò)點(diǎn)且與兩平面和平行的直線方程。解：因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄颗c不平行，所以兩平面相交于一直線，此直線的方向向量，故所求直線方程為。16確定直線 和平面間的位置關(guān)系。解：直線的方向向量 平面的法向量從而，由此可知直線平等于平面或直線在平面上。再將直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入平面方程左邊，得，即不在平

11、面上，故直線平行于平面。17求過(guò)點(diǎn)而與直線，平行的平面方程。解：因?yàn)橹本€的方向向量，直線的方向向量。 取 ，則通過(guò)點(diǎn)并以為法向量的平面方程即為所求的平面方程。本章測(cè)試題一、 填空題1. 已知,則向量在軸方向上的分向量為_(kāi)2. 過(guò)點(diǎn)和的直線方程為_(kāi)3. 設(shè)，且，則4. 設(shè)空間兩直線與相交于一點(diǎn)，則5. 已知向量與平行且方向相反，若，則6. 方程在空間直角坐標(biāo)系中表示的曲面是_7. 平面與平面的夾角為_(kāi)8. 平面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為_(kāi)二、 選擇題1. 設(shè)為三個(gè)任意向量,則( )A ； B； C ； D .2. 曲面與的交線是 ( )A 拋物線； B 雙曲線； C 圓周； D 橢圓3

12、. 設(shè)向量與平行且方向相反,又, 則有( ) A ； B ； C ； D 4. 直線 與平面的關(guān)系為 ( )A 平行但直線不在平面上； B 直線在平面上；C 垂直相交； D 相交但不垂直5. 已知,且, 則 = ( )A 1； B ； C 2； D . 6. 下列等式中正確的是( ) A ； B ； C ； D 7. 曲面在平面上的截線方程為 ( ) A ； B ； C ； D 8. 在空間直角坐標(biāo)系中表示 ( ) A 球面； B 橢圓錐面； C 拋物面； D 圓錐面三、 計(jì)算題1.已知,問(wèn)為何值時(shí),向量與互相垂直2.求過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的平面法向量3.求兩平行面與之間的距離4.求過(guò)點(diǎn)且與兩平面和的交線平行的直線方程5.一平面過(guò)點(diǎn)且平行向量和，試求這平面方程 四、已知三個(gè)非零向量中任意兩個(gè)向量都不平行，但與平行，與平行，試證：測(cè)試題參考答案一、 填空題1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面 7. 8. 二、 選擇題1. C 2. C 3. A 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 三、計(jì)算題1. 解 由得，即 ，將代入得：，解得 2. 解 由題意知：垂直