第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案

1、習(xí)題3.1（A）一 選擇15 BCBDB二 計(jì)算與證明1若，證明。證明：令，則 當(dāng)時(shí)，從而在單增 因?yàn)?，故，?設(shè)，證明。證明：10：令，則 因，則，從而在單減。 故，即20：令，則 當(dāng)時(shí)，從而在單減 故，即由100、20知，（B）一 選擇14 CBDD二 計(jì)算與證明1求解：令，則在上連續(xù)，在可導(dǎo)，故由拉格朗日定理知，存在一點(diǎn)，使 當(dāng)時(shí)，則 故原式2設(shè)在上可導(dǎo)，且，對(duì)于任何，都有，試證：在內(nèi)，有且僅有一個(gè)數(shù)，使。證：令，因?yàn)樵谏线B續(xù)，且，則由零點(diǎn)存在定理在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，即。 下證唯一性。設(shè)在內(nèi)存在兩個(gè)點(diǎn)與，且，使，在上運(yùn)用拉格朗日中值定理，則有，使得 這與題設(shè)矛盾，故只有一個(gè)使。3設(shè)在上

2、具有二階導(dǎo)數(shù)，且，如果，證明至少存在一點(diǎn)，使。證明：由題設(shè)知在上滿足洛爾定理?xiàng)l件，則至少存在一點(diǎn)，使得。因?yàn)?，則由題設(shè)知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，故在上滿足洛爾定理?xiàng)l件，則至少存在一點(diǎn)，使，4設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)且，且存在點(diǎn)，使得，試證至少存在一點(diǎn)，使得。證：在及上都滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則存在，使得因?yàn)椋瑒t，因在內(nèi)二階可導(dǎo)，則在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，故至少存在一點(diǎn)，使。習(xí)題3.2一 選擇15 CBABD二 計(jì)算1求解：原式2求解：原式3求解：原式4求解：令，則原式5求解：令，則 故原式 令，則原式6求極限。解：令，則原式7求解：原式習(xí)題3.3略習(xí)題3.43.6（A）一 選擇18 CACB

3、C DCD 二 計(jì)算1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故在及單增，在單減。2求函數(shù)的極值。解： 令得 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 故時(shí)，取極小值03求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解： 令，得或 故可疑極值點(diǎn)1，1-+-極小值0極大值4當(dāng)為何值時(shí)，在處有極值？求此極值，并說明是極大值還是極小值。解：由于在處有極值，則，從而 當(dāng)時(shí)，從而單增 當(dāng)時(shí)，從而單減 故在處取得極大值。5求內(nèi)接于橢圓，而面積最大的矩形的邊長(zhǎng)。解：設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則故矩形面積為當(dāng)時(shí)，取最大值， 矩形邊長(zhǎng)分別為和。6函數(shù)的系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)，這個(gè)函數(shù)沒有極值。解：，因，則是開口向上的拋物線 要使沒有極

4、值，則必須使在是單增或單減 即必須滿足或 故只有時(shí)，才能使成立 即時(shí)，沒有極值。7試證的拐點(diǎn)在曲線上。證：，設(shè)是的拐點(diǎn)，則 即的拐點(diǎn)在曲線上。8試證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上。證：， 令得：，故三個(gè)拐點(diǎn)， 容易驗(yàn)證：、在同一直線上。9試決定中的的值，使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。解：， 令，得或-1 則拐點(diǎn)為及 10在拐點(diǎn)處切線斜率為 從而在拐點(diǎn)處法線斜率為，這樣法線方程為，因法線過原點(diǎn)，所以 20在拐點(diǎn)處切線斜率為，這樣法線方程為，因法線過原點(diǎn)，所以。 故時(shí)，曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn)。（B）一 選擇16 DBDDC C二 計(jì)算與證明1試證當(dāng)時(shí)，取得極值。證： 故時(shí)，有解 當(dāng)時(shí)，從而單增

5、 當(dāng)時(shí)，則單減 當(dāng)時(shí)，則單增 故在處取得極大值在處取得極小值2求由軸上的一個(gè)給定點(diǎn)到拋物線上的點(diǎn)的最短距離。解：設(shè)是拋物線上任一點(diǎn)，則到的距離為 從而 令，得或 10當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)駐點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 故是的極小值點(diǎn)，極小值為2當(dāng)時(shí)，有三個(gè)駐點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 當(dāng)時(shí)，從而單減 當(dāng)時(shí)，從而單增 故是極小點(diǎn)，極小值為習(xí)題 3.7一 選擇1. B二 計(jì)算略自測(cè)題一 選擇13 BDC二 解答1求解：令，則，從而 故原式2求解：令，則 故原式3設(shè)函數(shù)二次可微，有，證明函數(shù)，是單調(diào)增函數(shù)。證：當(dāng)時(shí)，連續(xù) 由于 故 因?yàn)?所以在處連續(xù)，故在上連續(xù)。 令，則 當(dāng)時(shí)，單增，從而 當(dāng)時(shí)，單減，從而 故時(shí)，從而因?yàn)?，則，從而有， 故是單調(diào)增函數(shù)4研究函數(shù)的極值。解：10當(dāng)時(shí)， ，從而 令得 當(dāng)時(shí)，則單增 當(dāng)時(shí)，則單減 故是的極大值點(diǎn)，極大值為 20當(dāng)時(shí)，從而 說明單增，故是極小值點(diǎn)，極小值為0 30當(dāng)時(shí)，從而 說明單減，故是極大值點(diǎn)，極大值為15若在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，試證在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，滿足。證：由泰勒展式，有， 令，得 于是 令  ，則 故結(jié)