第八部分 無窮級(jí)數(shù) 練習(xí)

1、第七部分 無窮級(jí)數(shù)容易題1-9 中等題10-34難題35-401數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和為 。2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和為 。注：求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看成是一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)取值時(shí)的情況，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)在此點(diǎn)的值。3冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則其收斂域?yàn)?。分析：根?jù)收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的端點(diǎn)，所以收斂半徑為。由因?yàn)樵跁r(shí)，級(jí)數(shù)條件收斂，因此應(yīng)填。4冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。分析：因?yàn)閮缂?jí)數(shù)缺奇次方項(xiàng)，不能直接用收斂半徑的計(jì)算公式。因?yàn)?，所以，根?jù)比值判斂法，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。由收斂半徑的定義，應(yīng)填。5冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。分析：根?jù)收斂半

2、徑的計(jì)算公式，冪級(jí)數(shù)收斂半徑為，收斂域?yàn)?；冪?jí)數(shù)收斂域?yàn)?。因此原?jí)數(shù)在收斂，在一定發(fā)散。有根據(jù)阿貝爾定理，原級(jí)數(shù)在也一定發(fā)散。故應(yīng)填。6設(shè)，若級(jí)數(shù)收斂，則的取值范圍是。分析：因?yàn)樵跁r(shí)，與是等價(jià)無窮小量，所以由可知，當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小量。由因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，故收斂，因此。7已知，且對(duì)任意，則在原點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式為。分析：根據(jù)冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)，及，得，故應(yīng)填。8函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開式為。分析：已知，所以。根據(jù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開形式的惟一性，這就是所求。9已知，是的周期為的三角級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則的值分別為，。10設(shè)，其中 ，則。11設(shè)常數(shù)，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù) (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕

3、對(duì)收斂。 (D)斂散性與的值有關(guān)。答 C分析：因?yàn)?，且正?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以收斂。又因?yàn)椋栽?jí)數(shù)絕對(duì)收斂。12設(shè)，則級(jí)數(shù) (A)與都收斂。 (B)與都發(fā)散。(C)收斂，發(fā)散。 (D)發(fā)散，收斂。答 C分析：因?yàn)?，所以?jí)數(shù)是滿足萊布尼茲條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因此收斂。因?yàn)?在時(shí)與是等價(jià)無窮小量，且調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散。13設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 (A)。 (B) 。 (C)。 (D)。答 D分析：因?yàn)?，所以。又因?yàn)?，且收斂，所以收斂。另外，取，可以說明不能選(A)及(C)；取， ，因?yàn)?發(fā)散，所以發(fā)散。14下列命題中正確的是 (A)若，則 。(B) 若，且收斂，則收斂。(C)若，且收斂，則收斂

4、。(D) 若，且與收斂，則收斂。答 D分析：因?yàn)?，所以。又因?yàn)榕c收斂，所以收斂，因而收斂。故收斂。因?yàn)橹挥挟?dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(xiàng)(B),(C)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論用到了一般級(jí)數(shù)上，顯然不對(duì)。例如取級(jí)數(shù)與可以說明(B)不對(duì)，取級(jí)數(shù)與就可以說明(C)不對(duì)。15下列命題中正確的是 (A)若與都收斂，則收斂。(B) 若收斂，則與都收斂。(C) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則。(D) 若，且發(fā)散，則發(fā)散。答 A分析：因?yàn)?，所以?dāng)與都收斂時(shí)，收斂。取可以排除選項(xiàng)(B)；取排除選項(xiàng)(C)；取級(jí)數(shù)與可以說明(D)不對(duì)。16若級(jí)數(shù)，都發(fā)散，則 (A)發(fā)散。 (B)發(fā)散。(C) 發(fā)散。 (D)發(fā)

5、散。答 C分析：取可以排除選項(xiàng)(A),(B)及(D)。因?yàn)榧?jí)數(shù)，都發(fā)散，所以級(jí)數(shù)，都發(fā)散，因而發(fā)散。故選(C)。17設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則 (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。(C) 若極限存在，其值小于。(D) 若極限存在，其值小于等于。答 D分析：根據(jù)比值判斂法，若極限存在，則當(dāng)其值大于時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。因此選項(xiàng)(D)正確。取排除選項(xiàng)(C)。因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂并不能保證極限存在，所以選項(xiàng)(A)，(B)不對(duì)。18下列命題中正確的是 (A) 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則。(B) 若極限不存在，則冪級(jí)數(shù)沒有收斂半徑。(C) 若冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?D) 若冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，則冪級(jí)數(shù)的收

6、斂域?yàn)椤４?D分析：極限只是收斂半徑為的一個(gè)充分條件，因此選項(xiàng)(A)不對(duì)。冪級(jí)數(shù)沒有收斂半徑存在而且惟一，所以選項(xiàng)(B)不對(duì)。取級(jí)數(shù)可以排除選項(xiàng)(C)。選項(xiàng)(D)可以由冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)得到。19若冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，則級(jí)數(shù) (A)條件收斂。 (B)絕對(duì)收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。答 B分析：根據(jù)收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，所以原級(jí)數(shù)的收斂半徑為。因此冪級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂，即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。20設(shè)函數(shù)，而，其中 ，則的值為 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析：是對(duì)函數(shù)作偶延拓得到的三角級(jí)數(shù)展開式，且延拓后得到的函數(shù)連續(xù)，根據(jù)狄里克萊收斂定理，。21求級(jí)數(shù)的

7、和。解：因?yàn)?，所以?2已知級(jí)數(shù)，求級(jí)數(shù)的和。解：因?yàn)?，所以 。又因?yàn)?，故 。23判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：因?yàn)?，且，所以與在時(shí)是等價(jià)無窮小。又因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以，根據(jù)比階判斂法知級(jí)數(shù)收斂。另解：因?yàn)?，所以。已知收斂，所以由比較判斂法知級(jí)數(shù)收斂。24判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解：記 ，則，且，所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以此時(shí)比值判斂法失效，但由于，(因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增趨于)所以，因而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。25討論級(jí)數(shù)，的斂散性。解：因?yàn)?，所以根?jù)比值判斂法，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，由于，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，由級(jí)數(shù)的斂散性，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為

8、，由萊布尼茲判斂法與絕對(duì)值判斂法，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。26求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域(1) ，(2) ，(3) 。解：(1) 記，因?yàn)?所以收斂半徑為 ，收斂區(qū)間為 。又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)條件收；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級(jí)數(shù)僅在處收斂。(3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。27求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解：此時(shí)不能套用收斂半徑的計(jì)算公式，而要對(duì)該級(jí)數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑。因?yàn)? 所以，當(dāng), 即時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng), 即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。根據(jù)收斂半徑的定義知級(jí)數(shù)的收斂半徑為。又，當(dāng)時(shí), , 級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí), 一般項(xiàng)為, 級(jí)數(shù)也發(fā)

9、散。故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。注：還可以將級(jí)數(shù)變形為，再令，研究?jī)缂?jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域，最后得到的收斂域。28求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解：因?yàn)?，且，所以，?dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 又當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分別是和，所以發(fā)散。因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?9設(shè)為一等差數(shù)列，且，求級(jí)數(shù)的收斂域。 解：記的公差為，則，所以。因此收斂半徑為，又當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為，所以發(fā)散，于是級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?0將函數(shù)展開為處的冪級(jí)數(shù)。解：因?yàn)?。所?。31將函數(shù)在點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。解：因?yàn)?，所?。32將函數(shù)在點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù), 并求。解：將視為, 因此只需將展成即可。因?yàn)? 且，所以，于是, 。由于的冪級(jí)

10、數(shù)的系數(shù), 所以。33.（1）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。令，則的定義域?yàn)椋?。任給，由逐項(xiàng)求導(dǎo)公式得，。因此，。所以，。由得，。（1） 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和?？紤]冪級(jí)數(shù)，則其收斂域?yàn)?。若記其和函?shù)為，則。由于又因?yàn)椋?。故?4求級(jí)數(shù)的和。解：由于 。對(duì)上式兩邊求導(dǎo)，得 ，所以 ，此式兩邊再求導(dǎo)，得，在上式中令，有 。35求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間,內(nèi)的和函數(shù), 并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解：利用冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分, 得將上式兩端對(duì)上限求導(dǎo), 得, 。令, 得。求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。令，則的定義域?yàn)椋?。任給，由逐項(xiàng)積分公式得，。因此，所以，。36設(shè)級(jí)數(shù)收斂，且，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證： 因?yàn)?，所以?shù)列有界，即存在，使得對(duì)任意的，有，于是，又級(jí)數(shù)收斂，由比較判斂法知收斂，故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。37已知函數(shù)滿足等式，且，試討論級(jí)數(shù)的收斂性。解：因?yàn)?，所以 。由，得。根據(jù)泰勒公式，得所以在時(shí)與等價(jià)，且級(jí)數(shù)收斂，因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。注：本題也可先解定解問題，得到后再用泰勒公式討論。38設(shè)時(shí)周期為的周期函數(shù)，且，寫出的傅里葉級(jí)數(shù)與其和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和。解：根據(jù)傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式，得，所以的傅里葉級(jí)數(shù)為。其和函數(shù)的周期為，且令，得，且 ，所以。39已知且，若級(jí)數(shù)發(fā)散，證明級(jí)數(shù)收斂。證：因?yàn)?，所以極限存在，其值記為。由于級(jí)數(shù)發(fā)散，根據(jù)萊布