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1、第七部分 無窮級(jí)數(shù)容易題1-9 中等題10-34難題35-401數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和為 。2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和為 。注:求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和常用的有兩種方法,一種是用和的定義,求部分和極限;另一種是將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)看成是一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)取值時(shí)的情況,求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)在此點(diǎn)的值。3冪級(jí)數(shù)在處條件收斂,則其收斂域?yàn)?。分析:根?jù)收斂半徑的定義,是收斂區(qū)間的端點(diǎn),所以收斂半徑為。由因?yàn)樵跁r(shí),級(jí)數(shù)條件收斂,因此應(yīng)填。4冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為。分析:因?yàn)閮缂?jí)數(shù)缺奇次方項(xiàng),不能直接用收斂半徑的計(jì)算公式。因?yàn)?,所以,根?jù)比值判斂法,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)發(fā)散。由收斂半徑的定義,應(yīng)填。5冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。分析:根?jù)收斂半
2、徑的計(jì)算公式,冪級(jí)數(shù)收斂半徑為,收斂域?yàn)?;冪?jí)數(shù)收斂域?yàn)?。因此原?jí)數(shù)在收斂,在一定發(fā)散。有根據(jù)阿貝爾定理,原級(jí)數(shù)在也一定發(fā)散。故應(yīng)填。6設(shè),若級(jí)數(shù)收斂,則的取值范圍是。分析:因?yàn)樵跁r(shí),與是等價(jià)無窮小量,所以由可知,當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無窮小量。由因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,故收斂,因此。7已知,且對(duì)任意,則在原點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式為。分析:根據(jù)冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì),及,得,故應(yīng)填。8函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開式為。分析:已知,所以。根據(jù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開形式的惟一性,這就是所求。9已知,是的周期為的三角級(jí)數(shù)的和函數(shù),則的值分別為,。10設(shè),其中 ,則。11設(shè)常數(shù),正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù) (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕
3、對(duì)收斂。 (D)斂散性與的值有關(guān)。答 C分析:因?yàn)?,且正?xiàng)級(jí)數(shù)收斂,所以收斂。又因?yàn)椋栽?jí)數(shù)絕對(duì)收斂。12設(shè),則級(jí)數(shù) (A)與都收斂。 (B)與都發(fā)散。(C)收斂,發(fā)散。 (D)發(fā)散,收斂。答 C分析:因?yàn)?,所以?jí)數(shù)是滿足萊布尼茲條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù),因此收斂。因?yàn)?在時(shí)與是等價(jià)無窮小量,且調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散,所以發(fā)散。13設(shè),則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是 (A)。 (B) 。 (C)。 (D)。答 D分析:因?yàn)?,所以。又因?yàn)?,且收斂,所以收斂。另外,取,可以說明不能選(A)及(C);取, ,因?yàn)?發(fā)散,所以發(fā)散。14下列命題中正確的是 (A)若,則 。(B) 若,且收斂,則收斂。(C)若,且收斂,則收斂
4、。(D) 若,且與收斂,則收斂。答 D分析:因?yàn)?,所以。又因?yàn)榕c收斂,所以收斂,因而收斂。故收斂。因?yàn)橹挥挟?dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),才能比較其和的大小,所以不能選(A);選項(xiàng)(B),(C)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論用到了一般級(jí)數(shù)上,顯然不對(duì)。例如取級(jí)數(shù)與可以說明(B)不對(duì),取級(jí)數(shù)與就可以說明(C)不對(duì)。15下列命題中正確的是 (A)若與都收斂,則收斂。(B) 若收斂,則與都收斂。(C) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,則。(D) 若,且發(fā)散,則發(fā)散。答 A分析:因?yàn)?,所以?dāng)與都收斂時(shí),收斂。取可以排除選項(xiàng)(B);取排除選項(xiàng)(C);取級(jí)數(shù)與可以說明(D)不對(duì)。16若級(jí)數(shù),都發(fā)散,則 (A)發(fā)散。 (B)發(fā)散。(C) 發(fā)散。 (D)發(fā)
5、散。答 C分析:取可以排除選項(xiàng)(A),(B)及(D)。因?yàn)榧?jí)數(shù),都發(fā)散,所以級(jí)數(shù),都發(fā)散,因而發(fā)散。故選(C)。17設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則 (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。(C) 若極限存在,其值小于。(D) 若極限存在,其值小于等于。答 D分析:根據(jù)比值判斂法,若極限存在,則當(dāng)其值大于時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。因此選項(xiàng)(D)正確。取排除選項(xiàng)(C)。因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂并不能保證極限存在,所以選項(xiàng)(A),(B)不對(duì)。18下列命題中正確的是 (A) 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為,則。(B) 若極限不存在,則冪級(jí)數(shù)沒有收斂半徑。(C) 若冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?D) 若冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,則冪級(jí)數(shù)的收
6、斂域?yàn)椤4?D分析:極限只是收斂半徑為的一個(gè)充分條件,因此選項(xiàng)(A)不對(duì)。冪級(jí)數(shù)沒有收斂半徑存在而且惟一,所以選項(xiàng)(B)不對(duì)。取級(jí)數(shù)可以排除選項(xiàng)(C)。選項(xiàng)(D)可以由冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)得到。19若冪級(jí)數(shù)在處條件收斂,則級(jí)數(shù) (A)條件收斂。 (B)絕對(duì)收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。答 B分析:根據(jù)收斂半徑的定義,是收斂區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn),所以原級(jí)數(shù)的收斂半徑為。因此冪級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂,即級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。20設(shè)函數(shù),而,其中 ,則的值為 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析:是對(duì)函數(shù)作偶延拓得到的三角級(jí)數(shù)展開式,且延拓后得到的函數(shù)連續(xù),根據(jù)狄里克萊收斂定理,。21求級(jí)數(shù)的
7、和。解:因?yàn)?,所以?2已知級(jí)數(shù),求級(jí)數(shù)的和。解:因?yàn)?,所以 。又因?yàn)?,故 。23判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解:因?yàn)?,且,所以與在時(shí)是等價(jià)無窮小。又因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以,根據(jù)比階判斂法知級(jí)數(shù)收斂。另解:因?yàn)?,所以。已知收斂,所以由比較判斂法知級(jí)數(shù)收斂。24判斷級(jí)數(shù)的斂散性。解:記 ,則,且,所以根據(jù)比值判斂法,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以此時(shí)比值判斂法失效,但由于,(因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增趨于)所以,因而當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。25討論級(jí)數(shù),的斂散性。解:因?yàn)?,所以根?jù)比值判斂法,當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí),由于,所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為,由級(jí)數(shù)的斂散性,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為
8、,由萊布尼茲判斂法與絕對(duì)值判斂法,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂,當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。26求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域(1) ,(2) ,(3) 。解:(1) 記,因?yàn)?所以收斂半徑為 ,收斂區(qū)間為 。又因?yàn)楫?dāng)時(shí),級(jí)數(shù)條件收;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級(jí)數(shù)僅在處收斂。(3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。27求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解:此時(shí)不能套用收斂半徑的計(jì)算公式,而要對(duì)該級(jí)數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑。因?yàn)? 所以,當(dāng), 即時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng), 即時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。根據(jù)收斂半徑的定義知級(jí)數(shù)的收斂半徑為。又,當(dāng)時(shí), , 級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí), 一般項(xiàng)為, 級(jí)數(shù)也發(fā)
9、散。故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。注:還可以將級(jí)數(shù)變形為,再令,研究?jī)缂?jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域,最后得到的收斂域。28求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解:因?yàn)?,且,所以,?dāng),即時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 又當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分別是和,所以發(fā)散。因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?9設(shè)為一等差數(shù)列,且,求級(jí)數(shù)的收斂域。 解:記的公差為,則,所以。因此收斂半徑為,又當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)成為,所以發(fā)散,于是級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?0將函數(shù)展開為處的冪級(jí)數(shù)。解:因?yàn)?。所?。31將函數(shù)在點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)。解:因?yàn)?,所?。32將函數(shù)在點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù), 并求。解:將視為, 因此只需將展成即可。因?yàn)? 且,所以,于是, 。由于的冪級(jí)
10、數(shù)的系數(shù), 所以。33.(1)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。令,則的定義域?yàn)椋?。任給,由逐項(xiàng)求導(dǎo)公式得,。因此,。所以,。由得,。(1) 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和??紤]冪級(jí)數(shù),則其收斂域?yàn)?。若記其和函?shù)為,則。由于又因?yàn)椋?。故?4求級(jí)數(shù)的和。解:由于 。對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得 ,所以 ,此式兩邊再求導(dǎo),得,在上式中令,有 。35求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間,內(nèi)的和函數(shù), 并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解:利用冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分, 得將上式兩端對(duì)上限求導(dǎo), 得, 。令, 得。求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。令,則的定義域?yàn)椋?。任給,由逐項(xiàng)積分公式得,。因此,所以,。36設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。證: 因?yàn)?,所以?shù)列有界,即存在,使得對(duì)任意的,有,于是,又級(jí)數(shù)收斂,由比較判斂法知收斂,故級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。37已知函數(shù)滿足等式,且,試討論級(jí)數(shù)的收斂性。解:因?yàn)?,所以 。由,得。根據(jù)泰勒公式,得所以在時(shí)與等價(jià),且級(jí)數(shù)收斂,因此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。注:本題也可先解定解問題,得到后再用泰勒公式討論。38設(shè)時(shí)周期為的周期函數(shù),且,寫出的傅里葉級(jí)數(shù)與其和函數(shù),并求級(jí)數(shù)的和。解:根據(jù)傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式,得,所以的傅里葉級(jí)數(shù)為。其和函數(shù)的周期為,且令,得,且 ,所以。39已知且,若級(jí)數(shù)發(fā)散,證明級(jí)數(shù)收斂。證:因?yàn)?,所以極限存在,其值記為。由于級(jí)數(shù)發(fā)散,根據(jù)萊布
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