第八部分 無窮級數 練習

1、第七部分 無窮級數容易題1-9 中等題10-34難題35-401數項級數的和為 。2數項級數的和為 。注：求數項級數的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數項級數看成是一個函數項級數在某點取值時的情況，求函數項級數的和函數在此點的值。3冪級數在處條件收斂，則其收斂域為。分析：根據收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的端點，所以收斂半徑為。由因為在時，級數條件收斂，因此應填。4冪級數的收斂半徑為。分析：因為冪級數缺奇次方項，不能直接用收斂半徑的計算公式。因為，所以，根據比值判斂法，當時，原級數絕對收斂，當時，原級數發(fā)散。由收斂半徑的定義，應填。5冪級數的收斂域為。分析：根據收斂半

2、徑的計算公式，冪級數收斂半徑為，收斂域為；冪級數收斂域為。因此原級數在收斂，在一定發(fā)散。有根據阿貝爾定理，原級數在也一定發(fā)散。故應填。6設，若級數收斂，則的取值范圍是。分析：因為在時，與是等價無窮小量，所以由可知，當時，與是等價無窮小量。由因為級數收斂，故收斂，因此。7已知，且對任意，則在原點的冪級數展開式為。分析：根據冪級數的逐項積分性質，及，得，故應填。8函數在處的冪級數展開式為。分析：已知，所以。根據函數的冪級數展開形式的惟一性，這就是所求。9已知，是的周期為的三角級數的和函數，則的值分別為，。10設，其中 ，則。11設常數，正項級數收斂，則級數 (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕

3、對收斂。 (D)斂散性與的值有關。答 C分析：因為，且正項級數收斂，所以收斂。又因為，所以原級數絕對收斂。12設，則級數 (A)與都收斂。 (B)與都發(fā)散。(C)收斂，發(fā)散。 (D)發(fā)散，收斂。答 C分析：因為，所以級數是滿足萊布尼茲條件的交錯級數，因此收斂。因為 在時與是等價無窮小量，且調和級數發(fā)散，所以發(fā)散。13設，則下列級數中肯定收斂的是 (A)。 (B) 。 (C)。 (D)。答 D分析：因為，所以。又因為，且收斂，所以收斂。另外，取，可以說明不能選(A)及(C)；取， ，因為 發(fā)散，所以發(fā)散。14下列命題中正確的是 (A)若，則 。(B) 若，且收斂，則收斂。(C)若，且收斂，則收斂

4、。(D) 若，且與收斂，則收斂。答 D分析：因為，所以。又因為與收斂，所以收斂，因而收斂。故收斂。因為只有當級數收斂時，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(B),(C)將正項級數的結論用到了一般級數上，顯然不對。例如取級數與可以說明(B)不對，取級數與就可以說明(C)不對。15下列命題中正確的是 (A)若與都收斂，則收斂。(B) 若收斂，則與都收斂。(C) 若正項級數發(fā)散，則。(D) 若，且發(fā)散，則發(fā)散。答 A分析：因為，所以當與都收斂時，收斂。取可以排除選項(B)；取排除選項(C)；取級數與可以說明(D)不對。16若級數，都發(fā)散，則 (A)發(fā)散。 (B)發(fā)散。(C) 發(fā)散。 (D)發(fā)

5、散。答 C分析：取可以排除選項(A),(B)及(D)。因為級數，都發(fā)散，所以級數，都發(fā)散，因而發(fā)散。故選(C)。17設正項級數收斂，則 (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。(C) 若極限存在，其值小于。(D) 若極限存在，其值小于等于。答 D分析：根據比值判斂法，若極限存在，則當其值大于時，級數發(fā)散。因此選項(D)正確。取排除選項(C)。因為正項級數收斂并不能保證極限存在，所以選項(A)，(B)不對。18下列命題中正確的是 (A) 若冪級數的收斂半徑為，則。(B) 若極限不存在，則冪級數沒有收斂半徑。(C) 若冪級數的收斂域為，則冪級數的收斂域為。(D) 若冪級數的收斂域為，則冪級數的收

6、斂域為。答 D分析：極限只是收斂半徑為的一個充分條件，因此選項(A)不對。冪級數沒有收斂半徑存在而且惟一，所以選項(B)不對。取級數可以排除選項(C)。選項(D)可以由冪級數的逐項積分性質得到。19若冪級數在處條件收斂，則級數 (A)條件收斂。 (B)絕對收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。答 B分析：根據收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的一個端點，所以原級數的收斂半徑為。因此冪級數在處絕對收斂，即級數絕對收斂。20設函數，而，其中 ，則的值為 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析：是對函數作偶延拓得到的三角級數展開式，且延拓后得到的函數連續(xù)，根據狄里克萊收斂定理，。21求級數的

7、和。解：因為，所以。22已知級數，求級數的和。解：因為 ，所以 。又因為 ，故 。23判斷級數的斂散性。解：因為，且，所以與在時是等價無窮小。又因為級數收斂，所以，根據比階判斂法知級數收斂。另解：因為，所以。已知收斂，所以由比較判斂法知級數收斂。24判斷級數的斂散性。解：記 ，則，且，所以根據比值判斂法，當時級數收斂，當時級數發(fā)散。當時，因為，所以此時比值判斂法失效，但由于，(因為數列單調遞增趨于)所以，因而當時，級數發(fā)散。25討論級數，的斂散性。解：因為，所以根據比值判斂法，當時，級數絕對收斂。當時，由于，所以級數發(fā)散。 當時，級數為，由級數的斂散性，當時級數發(fā)散，當時級數收斂。當時，級數為

8、，由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法，當時級數條件收斂，當時級數絕對收斂。26求下列冪級數的收斂域(1) ，(2) ，(3) 。解：(1) 記，因為,所以收斂半徑為 ，收斂區(qū)間為 。又因為當時，級數條件收；當時，級數發(fā)散。故級數的收斂域為。(2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級數僅在處收斂。(3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級數的收斂域為,。27求冪級數的收斂域。解：此時不能套用收斂半徑的計算公式，而要對該級數用比值判斂法求其收斂半徑。因為, 所以，當, 即時，級數絕對收斂；當, 即時，級數發(fā)散。根據收斂半徑的定義知級數的收斂半徑為。又，當時, , 級數發(fā)散；當時, 一般項為, 級數也發(fā)

9、散。故級數的收斂域為,。注：還可以將級數變形為，再令，研究冪級數的收斂半徑和收斂域，最后得到的收斂域。28求冪級數的收斂域。解：因為，且，所以，當，即時，級數絕對收斂；當時，級數發(fā)散。故冪級數的收斂區(qū)間為。 又當時，原級數的一般項分別是和，所以發(fā)散。因此級數的收斂域為。29設為一等差數列，且，求級數的收斂域。 解：記的公差為，則，所以。因此收斂半徑為，又當時，級數成為，所以發(fā)散，于是級數的收斂域為。30將函數展開為處的冪級數。解：因為。所以 。31將函數在點展開為冪級數。解：因為，所以 。32將函數在點展成冪級數, 并求。解：將視為, 因此只需將展成即可。因為, 且，所以，于是, 。由于的冪級

10、數的系數, 所以。33.（1）求冪級數的和函數。令，則的定義域為，且。任給，由逐項求導公式得，。因此，。所以，。由得，。（1） 求數項級數的和?？紤]冪級數，則其收斂域為。若記其和函數為，則。由于又因為，所以。故。34求級數的和。解：由于 。對上式兩邊求導，得 ，所以 ，此式兩邊再求導，得，在上式中令，有 。35求冪級數在收斂區(qū)間,內的和函數, 并求數項級數的和。解：利用冪級數在收斂區(qū)間內可以逐項積分和逐項微分, 得將上式兩端對上限求導, 得, 。令, 得。求冪級數的和函數。令，則的定義域為，且。任給，由逐項積分公式得，。因此，所以，。36設級數收斂，且，證明級數絕對收斂。證： 因為，所以數列有界，即存在，使得對任意的，有，于是，又級數收斂，由比較判斂法知收斂，故級數絕對收斂。37已知函數滿足等式，且，試討論級數的收斂性。解：因為 ，所以 。由，得。根據泰勒公式，得所以在時與等價，且級數收斂，因此級數絕對收斂。注：本題也可先解定解問題，得到后再用泰勒公式討論。38設時周期為的周期函數，且，寫出的傅里葉級數與其和函數，并求級數的和。解：根據傅里葉系數的計算公式，得，所以的傅里葉級數為。其和函數的周期為，且令，得，且 ，所以。39已知且，若級數發(fā)散，證明級數收斂。證：因為，所以極限存在，其值記為。由于級數發(fā)散，根據萊布