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1、第七部分 無窮級數容易題1-9 中等題10-34難題35-401數項級數的和為 。2數項級數的和為 。注:求數項級數的和常用的有兩種方法,一種是用和的定義,求部分和極限;另一種是將數項級數看成是一個函數項級數在某點取值時的情況,求函數項級數的和函數在此點的值。3冪級數在處條件收斂,則其收斂域為。分析:根據收斂半徑的定義,是收斂區(qū)間的端點,所以收斂半徑為。由因為在時,級數條件收斂,因此應填。4冪級數的收斂半徑為。分析:因為冪級數缺奇次方項,不能直接用收斂半徑的計算公式。因為,所以,根據比值判斂法,當時,原級數絕對收斂,當時,原級數發(fā)散。由收斂半徑的定義,應填。5冪級數的收斂域為。分析:根據收斂半

2、徑的計算公式,冪級數收斂半徑為,收斂域為;冪級數收斂域為。因此原級數在收斂,在一定發(fā)散。有根據阿貝爾定理,原級數在也一定發(fā)散。故應填。6設,若級數收斂,則的取值范圍是。分析:因為在時,與是等價無窮小量,所以由可知,當時,與是等價無窮小量。由因為級數收斂,故收斂,因此。7已知,且對任意,則在原點的冪級數展開式為。分析:根據冪級數的逐項積分性質,及,得,故應填。8函數在處的冪級數展開式為。分析:已知,所以。根據函數的冪級數展開形式的惟一性,這就是所求。9已知,是的周期為的三角級數的和函數,則的值分別為,。10設,其中 ,則。11設常數,正項級數收斂,則級數 (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕

3、對收斂。 (D)斂散性與的值有關。答 C分析:因為,且正項級數收斂,所以收斂。又因為,所以原級數絕對收斂。12設,則級數 (A)與都收斂。 (B)與都發(fā)散。(C)收斂,發(fā)散。 (D)發(fā)散,收斂。答 C分析:因為,所以級數是滿足萊布尼茲條件的交錯級數,因此收斂。因為 在時與是等價無窮小量,且調和級數發(fā)散,所以發(fā)散。13設,則下列級數中肯定收斂的是 (A)。 (B) 。 (C)。 (D)。答 D分析:因為,所以。又因為,且收斂,所以收斂。另外,取,可以說明不能選(A)及(C);取, ,因為 發(fā)散,所以發(fā)散。14下列命題中正確的是 (A)若,則 。(B) 若,且收斂,則收斂。(C)若,且收斂,則收斂

4、。(D) 若,且與收斂,則收斂。答 D分析:因為,所以。又因為與收斂,所以收斂,因而收斂。故收斂。因為只有當級數收斂時,才能比較其和的大小,所以不能選(A);選項(B),(C)將正項級數的結論用到了一般級數上,顯然不對。例如取級數與可以說明(B)不對,取級數與就可以說明(C)不對。15下列命題中正確的是 (A)若與都收斂,則收斂。(B) 若收斂,則與都收斂。(C) 若正項級數發(fā)散,則。(D) 若,且發(fā)散,則發(fā)散。答 A分析:因為,所以當與都收斂時,收斂。取可以排除選項(B);取排除選項(C);取級數與可以說明(D)不對。16若級數,都發(fā)散,則 (A)發(fā)散。 (B)發(fā)散。(C) 發(fā)散。 (D)發(fā)

5、散。答 C分析:取可以排除選項(A),(B)及(D)。因為級數,都發(fā)散,所以級數,都發(fā)散,因而發(fā)散。故選(C)。17設正項級數收斂,則 (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。(C) 若極限存在,其值小于。(D) 若極限存在,其值小于等于。答 D分析:根據比值判斂法,若極限存在,則當其值大于時,級數發(fā)散。因此選項(D)正確。取排除選項(C)。因為正項級數收斂并不能保證極限存在,所以選項(A),(B)不對。18下列命題中正確的是 (A) 若冪級數的收斂半徑為,則。(B) 若極限不存在,則冪級數沒有收斂半徑。(C) 若冪級數的收斂域為,則冪級數的收斂域為。(D) 若冪級數的收斂域為,則冪級數的收

6、斂域為。答 D分析:極限只是收斂半徑為的一個充分條件,因此選項(A)不對。冪級數沒有收斂半徑存在而且惟一,所以選項(B)不對。取級數可以排除選項(C)。選項(D)可以由冪級數的逐項積分性質得到。19若冪級數在處條件收斂,則級數 (A)條件收斂。 (B)絕對收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。答 B分析:根據收斂半徑的定義,是收斂區(qū)間的一個端點,所以原級數的收斂半徑為。因此冪級數在處絕對收斂,即級數絕對收斂。20設函數,而,其中 ,則的值為 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析:是對函數作偶延拓得到的三角級數展開式,且延拓后得到的函數連續(xù),根據狄里克萊收斂定理,。21求級數的

7、和。解:因為,所以。22已知級數,求級數的和。解:因為 ,所以 。又因為 ,故 。23判斷級數的斂散性。解:因為,且,所以與在時是等價無窮小。又因為級數收斂,所以,根據比階判斂法知級數收斂。另解:因為,所以。已知收斂,所以由比較判斂法知級數收斂。24判斷級數的斂散性。解:記 ,則,且,所以根據比值判斂法,當時級數收斂,當時級數發(fā)散。當時,因為,所以此時比值判斂法失效,但由于,(因為數列單調遞增趨于)所以,因而當時,級數發(fā)散。25討論級數,的斂散性。解:因為,所以根據比值判斂法,當時,級數絕對收斂。當時,由于,所以級數發(fā)散。 當時,級數為,由級數的斂散性,當時級數發(fā)散,當時級數收斂。當時,級數為

8、,由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法,當時級數條件收斂,當時級數絕對收斂。26求下列冪級數的收斂域(1) ,(2) ,(3) 。解:(1) 記,因為,所以收斂半徑為 ,收斂區(qū)間為 。又因為當時,級數條件收;當時,級數發(fā)散。故級數的收斂域為。(2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級數僅在處收斂。(3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級數的收斂域為,。27求冪級數的收斂域。解:此時不能套用收斂半徑的計算公式,而要對該級數用比值判斂法求其收斂半徑。因為, 所以,當, 即時,級數絕對收斂;當, 即時,級數發(fā)散。根據收斂半徑的定義知級數的收斂半徑為。又,當時, , 級數發(fā)散;當時, 一般項為, 級數也發(fā)

9、散。故級數的收斂域為,。注:還可以將級數變形為,再令,研究冪級數的收斂半徑和收斂域,最后得到的收斂域。28求冪級數的收斂域。解:因為,且,所以,當,即時,級數絕對收斂;當時,級數發(fā)散。故冪級數的收斂區(qū)間為。 又當時,原級數的一般項分別是和,所以發(fā)散。因此級數的收斂域為。29設為一等差數列,且,求級數的收斂域。 解:記的公差為,則,所以。因此收斂半徑為,又當時,級數成為,所以發(fā)散,于是級數的收斂域為。30將函數展開為處的冪級數。解:因為。所以 。31將函數在點展開為冪級數。解:因為,所以 。32將函數在點展成冪級數, 并求。解:將視為, 因此只需將展成即可。因為, 且,所以,于是, 。由于的冪級

10、數的系數, 所以。33.(1)求冪級數的和函數。令,則的定義域為,且。任給,由逐項求導公式得,。因此,。所以,。由得,。(1) 求數項級數的和??紤]冪級數,則其收斂域為。若記其和函數為,則。由于又因為,所以。故。34求級數的和。解:由于 。對上式兩邊求導,得 ,所以 ,此式兩邊再求導,得,在上式中令,有 。35求冪級數在收斂區(qū)間,內的和函數, 并求數項級數的和。解:利用冪級數在收斂區(qū)間內可以逐項積分和逐項微分, 得將上式兩端對上限求導, 得, 。令, 得。求冪級數的和函數。令,則的定義域為,且。任給,由逐項積分公式得,。因此,所以,。36設級數收斂,且,證明級數絕對收斂。證: 因為,所以數列有界,即存在,使得對任意的,有,于是,又級數收斂,由比較判斂法知收斂,故級數絕對收斂。37已知函數滿足等式,且,試討論級數的收斂性。解:因為 ,所以 。由,得。根據泰勒公式,得所以在時與等價,且級數收斂,因此級數絕對收斂。注:本題也可先解定解問題,得到后再用泰勒公式討論。38設時周期為的周期函數,且,寫出的傅里葉級數與其和函數,并求級數的和。解:根據傅里葉系數的計算公式,得,所以的傅里葉級數為。其和函數的周期為,且令,得,且 ,所以。39已知且,若級數發(fā)散,證明級數收斂。證:因為,所以極限存在,其值記為。由于級數發(fā)散,根據萊布

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