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1、第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷(非數(shù)學(xué)類,2009)一、填空題(每小題5分,共20分)1計(jì)算_,其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解:令,則,(*)令,則,2設(shè)是連續(xù)函數(shù),且滿足, 則_.解:令,則,,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解:因平面的法向量為,而曲面在處的法向量為,故與平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在處的切平面方程是,即曲面平行平面的切平面方程是。4設(shè)函數(shù)由方程確定,其中具有二階導(dǎo)數(shù),且,則_.解:方程的兩邊對(duì)求導(dǎo),得因,故,即,因此二、(5分)求極限,其中是給定的正整數(shù).解:故因此三、(15分)設(shè)函數(shù)連續(xù),且,為常數(shù),求并討論在處的連續(xù)性.解:由和函數(shù)
2、連續(xù)知,因,故,因此,當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),這表明在處連續(xù).四、(15分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界,試證:(1);(2).證:因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù),故由格林公式知而關(guān)于和是對(duì)稱的,即知因此(2)因故由知即五、(10分)已知,是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解,試求此微分方程.解設(shè),是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解,則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解,因此的特征多項(xiàng)式是,而的特征多項(xiàng)式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為,由和,知,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、(10分)設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí),又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線過(guò)原點(diǎn),故,于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令,得即因此,.七、(15分)已知滿足, 且, 求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.解,即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知,于是 下面求級(jí)數(shù)的和:令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令,得,因此級(jí)數(shù)的和八、(10分)求時(shí), 與等價(jià)的無(wú)窮大量.解令,
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