第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷和解答——非數(shù)學(xué)類

1、第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類，2009）一、填空題（每小題5分，共20分）1計(jì)算_，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解:令，則，（*）令，則，2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足, 則_.解:令，則，,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解:因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則_.解:方程的兩邊對(duì)求導(dǎo)，得因，故，即，因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).解:故因此三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.解:由和函數(shù)

2、連續(xù)知，因，故，因此，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，這表明在處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）.證:因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知而關(guān)于和是對(duì)稱的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.解設(shè)，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此的特征多項(xiàng)式是，而的特征多項(xiàng)式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí),又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線過(guò)原點(diǎn)，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積即令，得即因此,.七、（15分）已知滿足, 且, 求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.解，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，于是 下面求級(jí)數(shù)的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級(jí)數(shù)的和八、（10分）求時(shí), 與等價(jià)的無(wú)窮大量.解令，