第九章(第一部分)二重積分

1、第九章 重積分（第一部分）二重積分一、二重積分的概念 1定義 ： .2幾何意義： 表示曲頂柱體的體積3物理意義： 的質(zhì)量. 二、二重積分的性質(zhì)1線性性質(zhì)：.2可加性：.3的面積：.4單調(diào)性：若在上，則.5估值性質(zhì)：設(shè)，是的面積，則. 6中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，則在上至少存在一點(diǎn)，使得 .7奇偶對(duì)稱(chēng)性：8輪換對(duì)稱(chēng)性：若和互換后區(qū)域不變，即關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則.三、二重積分的計(jì)算方法1利用直角坐標(biāo)計(jì)算（關(guān)鍵：選擇積分次序） .（1）型區(qū)域： ，（見(jiàn)圖（a）. 圖（a） 圖（b）（2）型區(qū)域： ，（見(jiàn)圖（b）.2利用極坐標(biāo)計(jì)算：. 3.二重積分的換元法設(shè)在平面上的閉區(qū)域上連續(xù)，變換將平

2、面上的閉區(qū)域變?yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域，且滿(mǎn)足(1) 在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；(2) 在上雅可比式： ；(3) 變換是一對(duì)一的，則有.五、二重積分的應(yīng)用1幾何應(yīng)用 （1）曲頂柱體的體積 （其中）. （2）曲面面積 .2物理應(yīng)用（1）質(zhì)量 .（2）質(zhì)心 ，.（3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，.（4）引力 .四、例題例1. 計(jì)算二重積分，其中.分析首先在給定的積分區(qū)域內(nèi)，求出被積函數(shù)的解析表達(dá)式，即去掉最大符號(hào)，然后計(jì)算二重積分。解畫(huà)出區(qū)域的圖形如圖所示。 ，其中，則因，于是 .例2. 求，：. 分析 此題若直接計(jì)算，需將積分區(qū)域分為4部分麻煩，可利用對(duì)稱(chēng)性。解.例3. 求，：.解：因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，利用輪換對(duì)稱(chēng)性有

3、.例4. 證明.分析 觀察所要證明的等式的左右兩邊不難發(fā)現(xiàn)，等式左邊是一個(gè)二次積分，可視作是一個(gè)二重積分化成的二次積分，而等式的右端是一個(gè)定積分。對(duì)于二重積分來(lái)說(shuō)，若能夠化為二次積分并積出一次便可化為定積分。因此，證明上式的關(guān)鍵在于將左邊的二次積分交換次序。解 設(shè)為：；把表示成型區(qū)域?yàn)椋?；于是?例5.求積分解 例6.計(jì)算二重積分，其中分析若將二重積分直接化為極坐標(biāo)系下的二次積分，積分會(huì)很麻煩，故考慮將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)。解 ， 例7. 設(shè)，求，其中：.分析 此題看似為無(wú)界區(qū)域上的二重積分，但因被積函數(shù)只在部分區(qū)域內(nèi)非零，因此，只需在積分區(qū)域和被積函數(shù)非零區(qū)域相交部分積分即可。解 ，則 .例8. 求，其中是由軸、軸和直線所圍成的閉區(qū)域