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文檔簡介

1、第九章 重積分（第一部分）二重積分一、二重積分的概念 1定義 ： .2幾何意義： 表示曲頂柱體的體積3物理意義： 的質量. 二、二重積分的性質1線性性質：.2可加性：.3的面積：.4單調性：若在上，則.5估值性質：設，是的面積，則. 6中值定理：設函數在閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，則在上至少存在一點，使得 .7奇偶對稱性：8輪換對稱性：若和互換后區(qū)域不變，即關于直線對稱，則.三、二重積分的計算方法1利用直角坐標計算（關鍵：選擇積分次序） .（1）型區(qū)域： ，（見圖（a）. 圖（a） 圖（b）（2）型區(qū)域： ，（見圖（b）.2利用極坐標計算：. 3.二重積分的換元法設在平面上的閉區(qū)域上連續(xù)，變換將平

2、面上的閉區(qū)域變?yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域，且滿足(1) 在上具有一階連續(xù)偏導數；(2) 在上雅可比式： ；(3) 變換是一對一的，則有.五、二重積分的應用1幾何應用 （1）曲頂柱體的體積 （其中）. （2）曲面面積 .2物理應用（1）質量 .（2）質心 ，.（3）轉動慣量 ，.（4）引力 .四、例題例1. 計算二重積分，其中.分析首先在給定的積分區(qū)域內，求出被積函數的解析表達式，即去掉最大符號，然后計算二重積分。解畫出區(qū)域的圖形如圖所示。 ，其中，則因，于是 .例2. 求，：. 分析 此題若直接計算，需將積分區(qū)域分為4部分麻煩，可利用對稱性。解.例3. 求，：.解：因為區(qū)域關于直線對稱，利用輪換對稱性有

3、.例4. 證明.分析 觀察所要證明的等式的左右兩邊不難發(fā)現，等式左邊是一個二次積分，可視作是一個二重積分化成的二次積分，而等式的右端是一個定積分。對于二重積分來說，若能夠化為二次積分并積出一次便可化為定積分。因此，證明上式的關鍵在于將左邊的二次積分交換次序。解 設為：；把表示成型區(qū)域為：；于是有.例5.求積分解 例6.計算二重積分，其中分析若將二重積分直接化為極坐標系下的二次積分，積分會很麻煩，故考慮將極坐標轉化為直角坐標。解 ， 例7. 設，求，其中：.分析 此題看似為無界區(qū)域上的二重積分，但因被積函數只在部分區(qū)域內非零，因此，只需在積分區(qū)域和被積函數非零區(qū)域相交部分積分即可。解 ，則 .例8. 求，其中是由軸、軸和直線所圍成的閉區(qū)域

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