第二章導數(shù)與微分

1、第二章 導數(shù)與微分教學目的： 1、理解導數(shù)和微分的概念與微分的關系和導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的的關系。 2、熟練掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、 了解高階導數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的n階導數(shù)。4、 會求分段函數(shù)的導數(shù)。5、 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導數(shù)，會求反函數(shù)的導數(shù)。教學重點：1、導數(shù)和微分的概念與微分的關系；2、導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則； 3、基本

2、初等函數(shù)的導數(shù)公式； 4、高階導數(shù)；6、 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)。教學難點：1、復合函數(shù)的求導法則； 2、分段函數(shù)的導數(shù)； 3、反函數(shù)的導數(shù) 4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導數(shù)。§2. 1 導數(shù)概念一、引例 1直線運動的速度設一質(zhì)點在坐標軸上作非勻速運動,時刻t質(zhì)點的坐標為s,s是t的函數(shù): s=f(t),求動點在時刻t0的速度.考慮比值, 這個比值可認為是動點在時間間隔t-t0內(nèi)的平均速度.如果時間間隔選較短,這個比值在實踐中也可用來說明動點在時刻t0的速度.但這樣做是不精確的,更確地應當這樣:令t-t0®0,取比值的極限,如果這個極限存在,設為v,即,這時就把

3、這個極限值v稱為動點在時刻t 0的速度.2切線問題設有曲線C及C上的一點M,在點M外另取C上一點N,作割線MN.當點N沿曲線C趨于點M時,如果割線繞點旋轉而趨于極限位置MT,直線就稱為曲線有點處的切線.設曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形.現(xiàn)在要確定曲線在點M(x0, y0)(y0=f(x0)處的切線,只要定出切線的斜率就行了.為此,在點M外另取C上一點N(x, y),于是割線MN的斜率為,其中j為割線MN的傾角.當點N沿曲線C趨于點M時,x®x0.如果當x® 0時,上式的極限存在,設為k,即存在,則此極限k是割線斜率的極限,也就是切線的斜率.這里k=tan a, 其中a是切

4、線MT的傾角.于是,通過點M(x0, f(x0)且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點M處的切線.二、導數(shù)的定義 1.函數(shù)在一點處的導數(shù)與導函數(shù)從上面所討論的兩個問題看出,非勻速直線運動的速度和切線的斜率都歸結為如下的極限:.令Dx=x-x0,則Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0),x®x0相當于Dx®0,于是成為或.定義設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當自變量x在x0處取得增量Dx(點x0+Dx仍在該鄰域內(nèi))時,相應地函數(shù)y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0);如果Dy與Dx之比當Dx®0時的極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)

5、在點x0處可導,并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù),記為,即,也可記為,或.函數(shù)f(x)在點x0處可導有時也說成f(x)在點x0具有導數(shù)或?qū)?shù)存在.導數(shù)的定義式也可取不同的形式,常見的有,.在實際中,需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問題,在數(shù)學上就是所謂函數(shù)的變化率問題.導數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述.如果極限不存在,就說函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導.如果不可導的原因是由于,也往往說函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)為無窮大.如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導,就稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)可導,這時,對于任一xÎI,都對應著f(x)的一

6、個確定的導數(shù)值.這樣就構成了一個新的函數(shù),這個函數(shù)叫做原來函數(shù)y=f(x)的導函數(shù),記作,或.導函數(shù)的定義式:=. f¢(x0)與f¢(x)之間的關系:函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f¢(x)就是導函數(shù)f ¢(x)在點x=x0處的函數(shù)值,即.導函數(shù)f ¢(x)簡稱導數(shù),而f¢(x0)是f(x)在x0處的導數(shù)或?qū)?shù)f¢(x)在x0處的值.左右導數(shù):所列極限存在,則定義f(x)在的左導數(shù):;f(x)在的右導數(shù):.如果極限存在, 則稱此極限值為函數(shù)在x0的左導數(shù).如果極限存在, 則稱此極限值為函數(shù)在x0的右導數(shù).導數(shù)與左右導數(shù)的關系

7、: Û. 2求導數(shù)舉例例1求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導數(shù).解:.即 (C ) ¢=0.例2.求的導數(shù).解: .例3.求的導數(shù).解:.例2求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在x=a處的導數(shù).解:f¢(a)(xn-1+axn-2+ ××× +an-1)=nan-1.把以上結果中的a換成x得f¢(x)=nxn-1,即 (xn)¢=nxn-1.(C)¢=0,.更一般地,有(xm)¢=mxm-1,其中m為常數(shù).例3求函數(shù)f(x)=sin x的導數(shù).解:f¢(x) .即 (sin x)

8、62;=cos x.用類似的方法,可求得 (cos x )¢=-sin x.例4求函數(shù)f(x)= a x(a>0,a¹1) 的導數(shù).解:f¢(x).特別地有(ex)=ex.例5求函數(shù)f(x)=logax (a>0,a¹1) 的導數(shù).解: .解:.即 .:特殊地., . 3單側導數(shù):極限存在的充分必要條件是及都存在且相等. f(x)在處的左導數(shù):,f(x)在處的右導數(shù):.導數(shù)與左右導數(shù)的關系:函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是左導數(shù)左導數(shù)f¢-(x0) 和右導數(shù)f¢+(x0)都存在且相等.如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a

9、, b)內(nèi)可導,且右導數(shù)f¢+(a) 和左導數(shù)f¢-(b)都存在,就說f(x)有閉區(qū)間a, b上可導.例6求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導數(shù).解:, 因為f¢-(0)¹ f¢+(0),所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導.四、導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f¢(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點M(x0, f(x0)處的切線的斜率,即 f¢(x 0)=tan a,其中a是切線的傾角.如果y=f(x)在點x0處的導數(shù)為無窮大,這時曲線y=f(x)的割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置,即曲線y=

10、f(x)在點M(x0, f(x0)處具有垂直于x軸的切線x=x0.:由直線的點斜式方程,可知曲線y=f(x)在點M(x0, y0)處的切線方程為 y-y0=f¢(x0)(x-x0).過切點M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點M處的法線如果f¢(x0)¹0,法線的斜率為,從而法線方程為.例8.求等邊雙曲線在點處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程.解:,所求切線及法線的斜率分別為,.所求切線方程為,即4x+y-4=0.所求法線方程為,即2x-8y+15=0.例9 求曲線的通過點(0,-4)的切線方程.解設切點的橫坐標為x0,則切線

11、的斜率為.于是所求切線的方程可設為.根據(jù)題目要求,點(0,-4)在切線上,因此,解之得x0=4.于是所求切線的方程為,即3x-y-4=0.四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系設函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,即存在.則.這就是說,函數(shù)y=f(x)在點x0處是連續(xù)的.所以,如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導,則函數(shù)在該點必連續(xù).另一方面,一個函數(shù)在某點連續(xù)卻不一定在該點處可導.x例7函數(shù)在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù),但在點x=0處不可導.這是因為函數(shù)在點x=0處導數(shù)為無窮大.§2. 2函數(shù)的求導法則一、函數(shù)的和、差、積、商的求導法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在

12、點x具有導數(shù),那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點外)都在點x具有導數(shù),并且 u(x) ±v(x)¢=u¢(x) ±v¢(x) ; u(x)×v(x)¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x);.證明 (1)=u¢(x)±v¢(x).法則(1)可簡單地表示為 (u±v)¢=u¢±v¢. (2)=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x),其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在,故v(x)在

13、點x連續(xù).法則(2)可簡單地表示為 (uv)¢=u¢v+uv¢. (3) .法則(3)可簡單地表示為. (u±v)¢=u¢±v¢, (uv)¢=u¢v+uv¢,.定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個可導函數(shù)的情形.例如,設u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導,則有 (u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢. (uvw)¢=(uv)w¢=(uv)¢w+(uv)w¢ =(u¢v+uv&#

14、162;)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢.即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢.在法則(2)中,如果v=C(C為常數(shù)),則有 (Cu)¢=Cu¢.例1y=2x 3-5x 2+3x-7,求y¢解:y¢=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)¢= 2 (x 3)¢- 5( x 2)¢+ 3( x)¢=2×3x 2-5&

15、#215;2x+3=6x 2-10x+3.例2.,求f¢(x)及.解:,.例3y=ex(sin x+cos x),求y¢.解:y¢=(ex)¢(sin x+cos x)+ ex(sin x+cos x)¢= ex(sin x+cos x)+ ex(cos x-sin x)=2excos x.例4y=tan x,求y¢.解: .即 (tan x)¢=sec2x.例5y=sec x,求y¢.解:=sec x tan x.即 (sec x)¢=sec x tan x.用類似方法,還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導數(shù)

16、公式: (cot x)¢=-csc2x, (csc x)¢=-csc x cot x.二、反函數(shù)的求導法則定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導且f¢(y)¹0,那么它的反函數(shù)y=f-1(x)在對應區(qū)間Ix=x|x=f(y),yÎIy內(nèi)也可導,并且.或.簡要證明:由于x=f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(從而連續(xù)),所以x=f(y)的反函數(shù)y=f-1(x)存在,且f-1(x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù).任取xÎIx,給x以增量Dx(Dx¹0,x+DxÎIx),由y=f-1(x)的單調(diào)性可知Dy=f-1(x+Dx)

17、-f-1(x)¹0,于是.因為y=f-1(x)連續(xù),故從而.上述結論可簡單地說成:反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).例6設x=sin y,為直接函數(shù),則y=arcsin x是它的反函數(shù).函數(shù)x=sin y在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導,且 (sin y)¢=cos y>0.因此,由反函數(shù)的求導法則,在對應區(qū)間Ix=(-1, 1)內(nèi)有.類似地有:.例7設x=tan y,為直接函數(shù),則y=arctan x是它的反函數(shù).函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導,且 (tan y)¢=sec2y¹0.因此,由反函數(shù)的求導法則,在對應區(qū)間Ix=(-¥,+

18、65;)內(nèi)有.類似地有:.例8設x=ay(a>0,a¹1)為直接函數(shù),則y=logax是它的反函數(shù).函數(shù)x=ay在區(qū)間Iy=(-¥,+¥)內(nèi)單調(diào)、可導,且 (ay)¢=ayln a¹0.因此,由反函數(shù)的求導法則,在對應區(qū)間Ix=(0,+¥)內(nèi)有.到目前為止,所基本初等函數(shù)的導數(shù)我們都求出來了,那么由基本初等函數(shù)構成的較復雜的初等函數(shù)的導數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x、的導數(shù)怎樣求？三、復合函數(shù)的求導法則定理3如果u=g(x)在點x可導,函數(shù)y=f(u)在點u=g(x)可導,則復合函數(shù)y=fg(x)在點x可導,且其導數(shù)為或.證明

19、:當u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時,y=fj(x)也是常數(shù),此時導數(shù)為零,結論自然成立.當u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時,Du¹0,此時有,= f¢(u)×g¢(x).簡要證明:.例9 ,求.解函數(shù)可看作是由y=eu,u=x3復合而成的,因此.例10 ,求.解函數(shù)是由y=sin u,復合而成的,因此.對復合函數(shù)的導數(shù)比較熟練后,就不必再寫出中間變量,例11lnsin x,求.解:.例12,求.解:.復合函數(shù)的求導法則可以推廣到多個中間變量的情形.例如,設y=f(u),u=j(v),v=y(x),則.例13y=lncos(ex),求.解:.例1

20、4,求.解:.例15設x>0,證明冪函數(shù)的導數(shù)公式 (xm)¢=mxm-1.解因為xm=(e ln x)m=em ln x,所以 (xm)¢=(em ln x)¢= em ln x×(m ln x)¢= em ln x×mx-1=mxm-1.四、基本求導法則與導數(shù)公式 1基本初等函數(shù)的導數(shù):(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=mxm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢

21、=-csc2x,(7)(sec x)¢=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(ax)¢=ax ln a,(10)(ex)¢=ex,(11) ,(12) ,(13) ,(14) .(15) ,(16) . 2函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設u=u(x),v=v(x)都可導,則(1)(u±v)¢=u¢±v¢,(2)(Cu)¢=Cu¢,(3)(uv)¢=u¢×v+u×v¢,(4)

22、.3反函數(shù)的求導法則設x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導且f¢(y)¹0,則它的反函數(shù)y=f-1(x)在Ix=f(Iy)內(nèi)也可導,并且.或.4復合函數(shù)的求導法則設y=f(x),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導,則復合函數(shù)y=fg(x)的導數(shù)為或y¢(x)=f¢(u)×g¢(x).例16.求雙曲正弦sh x的導數(shù).解:因為,所以,即 (sh x)¢=ch x.類似地,有 (ch x)¢=sh x.例17.求雙曲正切th x的導數(shù).解:因為,所以.例18.求反雙曲正弦arsh x的導數(shù).解:因為,所以.由,可得

23、.由,可得.類似地可得,.例19y=sin nx×sinnx (n為常數(shù)),求y¢.解:y¢=(sin nx)¢ sinnx + sin nx× (sinnx)¢=ncos nx×sinnx+sin nx×n× sinn-1x×(sin x )¢=ncos nx×sinnx+n sinn-1x× cos x=n sinn-1x× sin(n+1)x. §2. 3 高階導數(shù)一般地,函數(shù)y=f(x)的導數(shù)y¢=f¢(x)仍然是x的

24、函數(shù).我們把y¢=f¢(x)的導數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù),記作y¢¢、f¢¢(x)或,即 y¢¢=(y¢)¢,f¢¢(x)=f¢(x)¢,.相應地,把y=f(x)的導數(shù)f¢(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導數(shù).類似地,二階導數(shù)的導數(shù),叫做三階導數(shù),三階導數(shù)的導數(shù)叫做四階導數(shù),×××,一般地, (n-1)階導數(shù)的導數(shù)叫做n階導數(shù),分別記作 y¢¢¢,y (4),×

25、5;×,y (n)或,×××,.函數(shù)f(x)具有n階導數(shù),也常說成函數(shù)f(x)為n階可導.如果函數(shù)f(x)在點x處具有n階導數(shù),那么函數(shù)f(x)在點x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導數(shù).二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱高階導數(shù).y¢稱為一階導數(shù),y¢¢,y¢¢¢,y (4),×××,y(n)都稱為高階導數(shù).例1y=ax+b,求y¢¢.解:y¢=a,y¢¢=0.例2s=sin w t,求s¢¢.解:s&

26、#162;=w cos w t,s¢¢=-w 2sin w t.例3證明:函數(shù)滿足關系式y(tǒng) 3y¢¢+1=0.證明:因為,所以y 3y¢¢+1=0.例4求函數(shù)y=ex的n階導數(shù).解;y¢=ex,y¢¢=ex,y¢¢¢=ex,y( 4)=ex,一般地,可得y( n)=ex,即 (ex)(n)=ex.例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導數(shù).解:y=sin x,一般地,可得,即.用類似方法,可得.例6求對函數(shù)ln(1+x)的n階導數(shù)解:y=ln(1+x),y¢=(1+x)-1

27、,y¢¢=-(1+x)-2,y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3,y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4,一般地,可得y(n)=(-1)(-2)×××(-n+1)(1+x)-n,即.例6求冪函數(shù)y=xm(m是任意常數(shù))的n階導數(shù)公式.解:y¢=mxm-1,y¢¢=m(m-1)xm-2,y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3,y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4,一般地,可得y (n)=m(m-1)(m-2) ×&

28、#215;× (m-n+1)xm-n,即 (xm)(n) =m(m-1)(m-2) ××× (m-n+1)xm-n.當m=n時,得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) ××× 3 × 2 × 1=n! .而 (xn)( n+1)=0 .如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點x處具有n階導數(shù),那么顯然函數(shù)u(x)±v(x)也在點x處具有n階導數(shù),且 (u±v)(n)=u(n)+v(n). (uv)¢=u¢v+uv¢ (uv)¢¢

29、;=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢, (uv)¢¢¢=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢,用數(shù)學歸納法可以證明,這一公式稱為萊布尼茨公式.例8y=x2e2x,求y(20).解:設u=e2x,v=x2,則 (u)(k)=2ke2x(k=1, 2, ××× , 20), v¢=2x,v¢¢=2, (v)(k) =0

30、(k=3, 4, ××× , 20),代入萊布尼茨公式,得 y (20)=(uv)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18)×v¢¢=220e2x ×x2+20 × 219e2x × 2x218e2x× 2=220e2x (x2+20x+95).§2. 4隱函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)相關變化率一、隱函數(shù)的導數(shù)顯函數(shù):形如y=f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù).例如y=sin x,y=ln x+ex.隱函數(shù):由方程F(x,y

31、)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).例如,方程x+y3 -1=0確定的隱函數(shù)為y.如果在方程F(x,y)=0中,當x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時,相應地總有滿足這方程的唯一的y值存在,那么就說方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱函數(shù).把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù),叫做隱函數(shù)的顯化.隱函數(shù)的顯化有時是有困難的,甚至是不可能的.但在實際問題中,有時需要計算隱函數(shù)的導數(shù),因此,我們希望有一種方法,不管隱函數(shù)能否顯化,都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導數(shù)來.例1求由方程ey+xy-e=0 所確定的隱函數(shù)y的導數(shù).解:把方程兩邊的每一項對x求導數(shù)得(ey)¢+(xy)¢-(e)

32、62;=(0)¢,即ey×y¢+y+xy¢=0,從而(x+ey¹0).例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導數(shù)y¢|x=0.解:把方程兩邊分別對x求導數(shù)得5y×y¢+2y¢-1-21x 6=0,由此得.因為當x=0時,從原方程得y=0,所以.例3.求橢圓在處的切線方程.解:把橢圓方程的兩邊分別對x求導,得.從而.當x=2時,代入上式得所求切線的斜率.所求的切線方程為,即.解:把橢圓方程的兩邊分別對x求導,得.將x=2,代入上式得,于是 k=y¢

33、|x=2.所求的切線方程為,即.例4求由方程所確定的隱函數(shù)y的二階導數(shù).解:方程兩邊對x求導,得,于是.上式兩邊再對x求導,得.對數(shù)求導法:這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對數(shù),然后再求出y的導數(shù).設y=f(x),兩邊取對數(shù),得ln y= ln f(x),兩邊對x求導,得,y¢=f(x)×ln f(x)¢.對數(shù)求導法適用于求冪指函數(shù)y=u(x)v(x)的導數(shù)及多因子之積和商的導數(shù).例5求y=x sin x(x>0)的導數(shù).解法一:兩邊取對數(shù),得ln y=sin x× ln x,上式兩邊對x求導,得,于是. 解法二:這種冪指函數(shù)的導數(shù)也可按下面的方

34、法求:y=x sin x=e sin x·ln x,.例6.求函數(shù)的導數(shù).解:先在兩邊取對數(shù)(假定x>4),得ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4),上式兩邊對x求導,得,于是.當x<1時,;當2<x<3時,;用同樣方法可得與上面相同的結果.注:嚴格來說,本題應分x>4,x<1, 2<x<3三種情況討論,但結果都是一樣的.二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)設y與x的函數(shù)關系是由參數(shù)方程確定的.則稱此函數(shù)關系所表達的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).在實際問題中,需要計算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).但從參數(shù)方程

35、中消去參數(shù)t有時會有困難.因此,我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導數(shù).設x=j(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=j-1(x),且此反函數(shù)能與函數(shù)y=y(t)構成復合函數(shù)y=yj-1(x) ,若x=j(t)和y=y(t)都可導,則,即或.若x=j(t)和y=y(t)都可導,則.例7.求橢圓在相應于點處的切線方程.解:. 所求切線的斜率為.切點的坐標為,.切線方程為,即bx+ayab=0.例8拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為,求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.y=v2t-gt 2解:先求速度的大小.速度的水平分量與鉛直分量分別為x¢(t)=v1,y¢(t)=v2

36、-gt,所以拋射體在時刻t的運動速度的大小為.再求速度的方向,設a是切線的傾角,則軌道的切線方向為. 已知x=j(t), y=y(t),如何求二階導數(shù)y¢¢? 由x=j(t),.例9計算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x)的二階導數(shù).解:(t¹2np,n為整數(shù)).(t¹2np,n為整數(shù)).三、相關變化率設x=x(t)及y=y(t)都是可導函數(shù),而變量x與y間存在某種關系,從而變化率與間也存在一定關系.這兩個相互依賴的變化率稱為相關變化率.相關變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關系,以便從其中一個變化率求出另一個變化率.例10一氣球從離開觀察員500

37、f處離地面鉛直上升,其速度為140m/min(分).當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少？解設氣球上升t(秒)后,其高度為h,觀察員視線的仰角為a,則.其中a及h都是時間t的函數(shù).上式兩邊對t求導,得.已知(米/秒).又當h=500(米)時, tan a=1, sec2a=2.代入上式得,所以(弧度/秒).即觀察員視線的仰角增加率是每秒0. 14弧度. §2. 5 函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計算及增量的構成.一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0變到x0+Dx,問此薄片的面積改變了多少？設此正方形的邊長為x,面積為A,則A是x的函數(shù):A=x2.金

38、屬薄片的面積改變量為DA=(x0+Dx)2-(x0)2=2x0Dx+(Dx)2. 幾何意義: 2x0Dx表示兩個長為x0寬為Dx的長方形面積; (Dx)2表示邊長為Dx的正方形的面積.數(shù)學意義:當Dx®0時, (Dx)2是比Dx高階的無窮小,即(Dx)2=o(Dx);2x0Dx是Dx的線性函數(shù),是DA的主要部分,可以近似地代替DA.定義設函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Dx在這區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)可表示為Dy=ADx+o(Dx),其中A是不依賴于Dx的常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0是可微的,而ADx叫做函數(shù)y=f(x)在點x0相

39、應于自變量增量Dx的微分,記作 dy,即dy=ADx.函數(shù)可微的條件:函數(shù)f(x)在點x0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點x0可導,且當函數(shù)f(x)在點x0可微時,其微分一定是dy=f¢(x0)Dx.證明:設函數(shù)f(x)在點x0可微,則按定義有Dy=ADx+o(Dx),上式兩邊除以Dx,得.于是,當Dx®0時,由上式就得到.因此,如果函數(shù)f(x)在點x0可微,則f(x)在點x0也一定可導,且A=f¢(x0).反之,如果f(x)在點x0可導,即存在,根據(jù)極限與無窮小的關系,上式可寫成,其中a®0(當Dx®0),且A=f(x0)是常數(shù),aDx=

40、o(Dx).由此又有Dy=f¢(x0)Dx+aDx.因且f¢(x0)不依賴于Dx,故上式相當于Dy=ADx+o(Dx),所以f(x)在點x0也是可導的.簡要證明:一方面.別一方面.以微分dy近似代替函數(shù)增量Dy的合理性:當f¢(x0)¹0時,有.Dy=dy+o(dy).結論:在f¢(x0)¹0的條件下,以微分dy=f¢(x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)時,其誤差為o(dy).因此,在|Dx|很小時,有近似等式Dydy.函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分,稱為函數(shù)的微分,記作dy或df(x),即dy=f&

41、#162;(x)Dx,例如d cos x=(cos x)¢Dx=-sin xDx;dex=(ex)¢Dx=exDx.例1 求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分.解函數(shù)y=x2在x=1處的微分為dy=(x2)¢|x=1Dx=2Dx;函數(shù)y=x2在x=3處的微分為dy=(x2)¢|x=3Dx=6Dx. 例2求函數(shù)y=x3當x=2,Dx=0. 02時的微分.解:先求函數(shù)在任意點x的微分dy=(x3)¢Dx=3x2Dx.再求函數(shù)當x=2,Dx=0. 02時的微分dy|x=2, Dx=0.02=3x2| x=2, Dx=0.02=3´22&#

42、180;0.02=0.24.自變量的微分:因為當y=x時,dy=dx=(x)¢Dx=Dx,所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分,記作dx,即dx=Dx.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f¢(x)dx.從而有.這就是說,函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導數(shù).因此,導數(shù)也叫做“微商”.二、微分的幾何意義當Dy是曲線y=f(x)上的點的縱坐標的增量時,dy就是曲線的切線上點縱坐標的相應增量.當|Dx|很小時, |Dy-dy|比|Dx|小得多.因此在點M的鄰近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則從函數(shù)的微分的表

43、達式dy=f¢(x)dx可以看出,要計算函數(shù)的微分,只要計算函數(shù)的導數(shù),再乘以自變量的微分.因此,可得如果下的微分公式和微分運算法則. 1.基本初等函數(shù)的微分公式導數(shù)公式:微分公式:(xm)¢=m xm-1d (xm)=m xm-1dx(sin x)¢=cos xd (sin x)=cos xdx(cos x)¢=-sin xd (cos x)=-sin xdx(tan x)¢=sec 2xd (tan x)=sec 2xdx(cot x)¢=-csc 2xd (cot x)=-csc 2xdx(sec x)¢=sec x

44、tan xd (sec x)=sec x tan xdx(csc x)¢=-csc x cot xd (csc x)=-csc x cot xdx(ax )¢=axln ad (ax )=axln adx(ex)=exd (ex)=exdx2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導法則:微分法則:(u±v)¢=u¢±v¢d(u±v)=du±dv(Cu)¢=Cu¢d(Cu)=Cdu(u×v)¢=u¢v+uv¢d(u×v)=vdu+udv證明乘積

45、的微分法則:根據(jù)函數(shù)微分的表達式,有d(uv)=(uv)¢dx.再根據(jù)乘積的求導法則,有(uv)¢=u¢v+uv¢.于是d(uv)=(u¢v+uv¢)dx=u¢vdx+uv¢dx.由于u¢dx=du,v¢dx=dv,所以d(uv)=vdu+udv.3.復合函數(shù)的微分法則設y=f(u)及u=j(x)都可導,則復合函數(shù)y=fj(x)的微分為dy=y¢xdx=f¢(u)j¢(x)dx.于由j¢(x)dx=du,所以,復合函數(shù)y=fj(x)的微分公式也可以寫成dy

46、=f¢(u)du或dy=y¢udu.由此可見,無論u是自變量還是另一個變量的可微函數(shù),微分形式dy=f¢(u)du保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式不變性.這性質(zhì)表示,當變換自變量時,微分形式dy=f¢(u)du并不改變.例3y=sin(2x+1),求dy.解:把2x+1看成中間變量u,則 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1)=cos(2x+1)×2dx=2cos(2x+1)dx.在求復合函數(shù)的導數(shù)時,可以不寫出中間變量.例4.,求dy.解:.例5y=e1-3xcos x,求dy.解:應用積的微分法則,得 dy=

47、d(e1-3xcos x)=cos xd(e1-3x)+e1-3xd(cos x)=(cos x)e1-3x(-3dx)+e1-3x(-sin xdx)=-e1-3x(3cos x+sin x)dx.例6在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立. (1) d( )=xdx; (2) d( )=cos wtdt.解: (1)因為d(x2)=2xdx,所以,即.一般地,有(C為任意常數(shù)). (2)因為d(sin wt)=w cos w tdt,所以.因此(C為任意常數(shù)).四、微分在近似計算中的應用 1函數(shù)的近似計算在工程問題中,經(jīng)常會遇到一些復雜的計算公式.如果直接用這些公式進行計算,那是很費力的.利用微分往往可以把一些復雜的計算公式改用簡單的近似公式來代替.如果函數(shù)y=f(x)在點x 0處的導數(shù)f¢(x