第十章壓桿穩(wěn)定

1、第 十 章 壓桿穩(wěn)定§101 壓桿穩(wěn)定的概念一、 壓桿穩(wěn)定性的概念1、下面先以小球?yàn)槔榻B平衡的的三種狀態(tài)：如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置，當(dāng)干擾消除以后，它能夠回到原有的平衡位置，這種平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖101a 所示；如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置，當(dāng)干擾消除以后，它不能夠回到原有的平衡位置，但能夠在附近新的位置維持平衡，原有的平衡狀態(tài)稱為隨遇平衡狀態(tài)，如圖101b 所示；如果小球受到微小干擾而稍微偏離它原有的平衡位置，當(dāng)干擾消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且繼續(xù)離去，那么原有的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖101c 所示。圖

2、 101 (a)(b)(c)2、壓桿穩(wěn)定性的概念細(xì)長(zhǎng)直桿兩端受軸向壓力作用，其平衡也有穩(wěn)定性的問(wèn)題。設(shè)有一等截面直桿，受有軸向壓力作用，桿件處于直線形狀下的平衡。為判斷平衡的穩(wěn)定性，可以加一橫向干擾力，使桿件發(fā)生微小的彎曲變形（圖102a），然后撤消此橫向干擾力。當(dāng)軸向壓力較小時(shí)，撤消橫向干擾力后桿件能夠恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)（圖102b），則原有的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)軸向壓力增大到一定值時(shí)，撤消橫向干擾力后桿件不能再恢復(fù)到原來(lái)的直線平衡狀態(tài)（圖102c），則原有的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。壓桿由穩(wěn)定平衡過(guò)度到不穩(wěn)定平衡時(shí)所受軸向壓力的臨界值稱為臨界壓力，或簡(jiǎn)稱臨界力，用Fcr表示。當(dāng)

3、F=Fcr時(shí)，壓桿處于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的臨界狀態(tài)，稱為臨界平衡狀態(tài)，這種狀態(tài)的特點(diǎn)是：不受橫向干擾時(shí)，壓桿可在直線位置保持平衡；若受微小橫向干擾并將干擾撤消后，壓桿又可在微彎位置維持平衡，因此臨界平衡狀態(tài)具有兩重性。壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，稱為喪失穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱為失穩(wěn)。顯然結(jié)構(gòu)中的受壓桿件絕不允許失穩(wěn)。F1FF(a)F<FcrF<Fcr(b)F>FcrF>Fcr(c)圖102除壓桿外，還有很多其它形式的工程構(gòu)件同樣存在穩(wěn)定性問(wèn)題，例如薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)與彎曲、薄壁容器承受外壓以及薄拱等問(wèn)題都存在穩(wěn)定性問(wèn)題，在圖103中列舉了幾種薄壁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象。本章只討論壓桿的穩(wěn)定性

4、問(wèn)題。(c)q(b)q(a)F圖103§102 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式下面以兩端球形鉸支、長(zhǎng)度為l的等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿為例，推導(dǎo)其臨界力的計(jì)算公式。選取坐標(biāo)系如圖104a所示，當(dāng)軸向壓力達(dá)到臨界力Fcr時(shí)，壓桿既可保持直線形態(tài)的平衡，又可保持微彎形態(tài)的平衡。假設(shè)壓桿處于微彎狀態(tài)的平衡，在臨界力Fcr作用下壓桿件的軸線如圖所示。此時(shí)壓桿距原點(diǎn)為x的任一截面m-m的撓度為y=f(x)，取隔離體如圖104b 所示，截面m-m上的軸力為Fcr，彎矩為M(x)= Fcry （a）彎矩的正負(fù)號(hào)仍按§9-2的規(guī)定，F(xiàn)cr取正值，撓度以y軸正方向?yàn)檎澗胤匠?a)代入撓曲線的近似

5、微分方程 (b)xmmM(x)= FcryyFcryFcrxyFcryFcrmm圖104 (a) (b) 令(c)則式(b)可寫(xiě)成(d)這是一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，其通解為 y=Asinkx+Bcoskx (e)式中A和B是積分常數(shù)，可由壓桿兩端的邊界條件確定。此桿的邊界條件為在x=0處，y=0在x=l處，y=0由邊界條件的第一式得B=0于是式(e)成為 y= Asinkx (f)由邊界條件的第二式得 Asinkl=0由于壓桿處于微彎狀態(tài)的平衡，因此A0，所以 sinkl=0由此得 kl=n(n=0,1,2,3，···) 所以 將上式代入式(c)，得由于臨界力

6、是使壓桿失穩(wěn)的最小壓力，因此n應(yīng)取不為零的最小值，即取n=1，所以 (101)上式即為兩端球形鉸支（簡(jiǎn)稱兩端鉸支）細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力Fcr的計(jì)算公式，由歐拉（L.Euler）于1744年首先導(dǎo)出，所以通常稱為歐拉公式。應(yīng)該注意，壓桿的彎曲在其最小的剛度平面內(nèi)發(fā)生，因此歐拉公式中的I應(yīng)該是截面的最小形心主慣性矩。在臨界荷載Fcr作用下，因此式(f)可寫(xiě)成由此可以看出，在臨界荷載Fcr作用下，桿的撓曲線是一條半個(gè)波長(zhǎng)的正弦曲線。在x=l/2處，撓度達(dá)最大值，即 因此積分常數(shù)A即為桿中點(diǎn)處的撓度，以表示，則桿的撓曲線方程為(g)此處撓曲線中點(diǎn)處的撓度是個(gè)無(wú)法確定的值，即無(wú)論為任何微小值，上述平衡條件都能

7、成立，似乎壓桿受臨界力作用時(shí)可以處于微彎的隨遇平衡狀態(tài)。實(shí)際上這種隨遇平衡狀態(tài)是不成立的，之所以值無(wú)法確定，是因?yàn)樵谕茖?dǎo)過(guò)程中使用了撓曲線的近似微分方程。如果采用撓曲線的精確微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，所得到的F曲線如圖105 a所示，當(dāng)FFcr時(shí)，壓桿在微彎平衡狀態(tài)下，壓力F與撓度間為一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所謂的不確定性并不存在；而由撓曲線近似微分方程得到的F曲線如圖105 b所示，當(dāng)F=Fcr時(shí)，壓桿在微彎狀態(tài)下呈隨遇平衡狀態(tài)。FFcrOAB(a)FFcrOAB(b)圖105 §103 不同支承條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式對(duì)于桿端支承為其它形式的細(xì)長(zhǎng)壓桿，也可以用類似的方法推導(dǎo)其臨界力的計(jì)算公

8、式。這里不一一推導(dǎo)，只介紹其結(jié)果。 對(duì)于各種支承情況的壓桿，其臨界力的歐拉公式可寫(xiě)成統(tǒng)一的形式： (102)式中稱為長(zhǎng)度系數(shù)，與桿端的約束情況有關(guān)，l稱為壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度，其物理意義可從細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀的比擬來(lái)說(shuō)明：由于壓桿失穩(wěn)時(shí)撓曲線上拐點(diǎn)處的彎矩為零，故可設(shè)想拐點(diǎn)處有一鉸，而將壓桿撓曲線上兩拐點(diǎn)之間的一段看作為兩端鉸支壓桿，并利用兩端鉸支壓桿的歐拉公式（101）得到原支承條件下壓桿的臨界力Fcr。這兩拐點(diǎn)之間的長(zhǎng)度即為原壓桿的計(jì)算長(zhǎng)度。應(yīng)該注意，利用歐拉公式計(jì)算細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力時(shí)，如果桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（如球形鉸等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩；如果桿端在不同方向的約束情況不

9、同（如柱形鉸等），則I應(yīng)取撓曲時(shí)橫截面對(duì)其中性軸的慣性矩。§104 歐拉公式的應(yīng)用范圍·臨界應(yīng)力總圖一、 歐拉公式的適用范圍將壓桿的臨界力Fcr除以橫截面面積A，即得壓桿的臨界應(yīng)力 (103)式中為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑。令 (10 4)這是一個(gè)無(wú)量綱的參數(shù)，稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比或柔度。于是式（103）可寫(xiě)成 （105） 圖106Oppcr上式是臨界應(yīng)力的計(jì)算公式，實(shí)際上是歐拉公式的另一種形式。根據(jù)該式壓桿的臨界應(yīng)力cr與柔度之間的關(guān)系可用曲線表示，如圖106所示，稱為歐拉臨界應(yīng)力曲線。但是在推導(dǎo)歐拉公式過(guò)程中，曾用到了撓曲線的近似微分方程，而撓曲線的近似微分方程又是建立

10、在胡克定律基礎(chǔ)上的，因此只有材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，即只有在crp時(shí)，歐拉公式才能適用。于是歐拉公式的適用范圍為或?qū)懗?106)式中p為能夠應(yīng)用歐拉公式的壓桿柔度界限值。通常稱p的壓桿為大柔度桿，或細(xì)長(zhǎng)壓桿；而對(duì)于<p的壓桿，就不能應(yīng)用歐拉公式。壓桿的p值取決于材料的力學(xué)性能。例如對(duì)于Q235鋼，E=206GPa，p=200MPa，則由式(156)可得因而用Q235鋼制成的壓桿，只有當(dāng)柔度100時(shí)才能應(yīng)用歐拉公式計(jì)算臨界力或臨界應(yīng)力。一些常用材料的p值見(jiàn)表102。例題101 圖示各桿均為圓截面細(xì)長(zhǎng)壓桿(>p)，已知各桿所用的材料和截面均相同，各桿的長(zhǎng)度如圖所示，問(wèn)哪根桿能夠承受的

11、壓力最大，哪根最?。縁(a)F(b)F(c)F(d)例題101圖解：比較各桿的承載能力只需比較各桿的臨界力，因?yàn)楦鳁U均為細(xì)長(zhǎng)桿，因此都都可以用歐拉公式計(jì)算臨界力由于各桿的材料和截面都相同，所以只需比較各桿的計(jì)算長(zhǎng)度l即可桿a：l=2×a=2a桿b：l=1×1.3a=1.3a桿c：l=0.7×1.6a=1.12a桿d：l=0.5×2a=a臨界力與l的平方成反比，所以桿d能夠承受的壓力最大，桿a能夠承受的壓力最小。例題102圖示壓桿用30×30×4等邊角鋼制成，已知桿長(zhǎng)l=0.5m，材料為Q235鋼，試求該壓桿的臨界力。F例題102圖 y

12、0x0xxx0y0解：首先計(jì)算壓桿的柔度，要注意截面的最小慣性半徑應(yīng)取對(duì)y0軸的慣性半徑，即 iy0=0.58cm，由此可以算出其柔度可見(jiàn)該壓桿屬于大柔度桿，可以使用歐拉公式計(jì)算其臨界力，仍要注意截面的最小慣性矩應(yīng)取對(duì)y0軸的慣性矩，即Iy0=0.77cm4，由此可以算出該壓桿的臨界力例題 10-3 圖示一矩形截面的細(xì)長(zhǎng)壓桿，其兩端用柱形鉸與其它構(gòu)件相連接。壓桿的材料為Q235鋼，E=210GPa1. 若l=2.3m，b=40mm，h=60mm，試求其臨界力；2. 試確定截面尺寸b和h的合理關(guān)系。blhFFyx例題103圖FFzx解：1. 若壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，則桿端約束條件為兩端鉸支，長(zhǎng)度

13、系數(shù)1=1，慣性半徑若壓桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，則桿端約束條件為兩端固定，長(zhǎng)度系數(shù)2=0.5，慣性半徑由于1>2，因此該桿失穩(wěn)時(shí)將在xy平面內(nèi)彎曲。該桿屬于細(xì)長(zhǎng)桿，可用歐拉公式計(jì)算其臨界力2. 若壓桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，其臨界力為若壓桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)，其臨界力為截面的合理尺寸應(yīng)使壓桿在xy和xz兩個(gè)平面內(nèi)具有相同的穩(wěn)定性，即由此可得h=2b二、中、小柔度桿的臨界應(yīng)力如果壓桿的柔度<p,則臨界應(yīng)力cr就大于材料的比例極限p，這時(shí)歐拉公式已不適用。對(duì)于這類壓桿通常采用以試驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)的經(jīng)驗(yàn)公式。常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式兩種。1. 直線公式(107)式中的a和b是與材料力學(xué)性能有

14、關(guān)的常數(shù)，一些常用材料a和b的值見(jiàn)書(shū)中的表102。顯然臨界應(yīng)力不能大于極限應(yīng)力（塑性材料為屈服極限，脆性材料為強(qiáng)度極限），因此直線型經(jīng)驗(yàn)公式也有其適用范圍。應(yīng)用式(157)時(shí)柔度應(yīng)有一個(gè)最低界限，對(duì)于塑性材料 s<p的壓桿可使用直線型經(jīng)驗(yàn)公式(157)計(jì)算其臨界應(yīng)力，這樣的壓桿稱為中柔度桿或中長(zhǎng)壓桿，一些常用材料的s值可在表152中查到。對(duì)于脆性材料可用b代替s而得到b。<s的壓桿稱為小柔度桿或短粗桿，對(duì)于小柔度桿不會(huì)因失穩(wěn)而破壞，只會(huì)因壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力而破壞，屬于強(qiáng)度破壞，因此小柔度桿的臨界應(yīng)力即為極限應(yīng)力。2. 拋物線公式 （108）式中的a是與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)。在我國(guó)

15、鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中，對(duì)以為極限應(yīng)力的材料制成的中長(zhǎng)桿提出了如下的拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式 (109)式（159）的適用范圍是<c,對(duì)于Q235鋼和16錳鋼，式中的系數(shù)為0.43，c為，c值取決于材料的力學(xué)性能。例如對(duì)于Q235鋼，c=123。三、壓桿的臨界應(yīng)力總圖由上述討論可知，壓桿的臨界應(yīng)力cr的計(jì)算與柔度有關(guān)，在不同的范圍內(nèi)計(jì)算方法也不相同。壓桿的臨界應(yīng)力cr與柔度之間的關(guān)系曲線稱為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。圖107是直線型經(jīng)驗(yàn)公式的臨界應(yīng)力總圖。p的壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿或大柔度桿，其臨界應(yīng)力crp，可用歐拉公式計(jì)算；s<p的壓桿為中長(zhǎng)桿或中柔度桿，其臨界應(yīng)力cr>p，可用經(jīng)驗(yàn)公式(107)計(jì)算

16、；<s的壓桿為短粗桿或小柔度桿，其臨界應(yīng)力cr=u，應(yīng)按強(qiáng)度問(wèn)題處理。Oppcr圖107 直線型經(jīng)驗(yàn)公式的壓桿臨界應(yīng)力總圖su圖108是拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式的臨界應(yīng)力總圖。在工程實(shí)際中，并不一定用p來(lái)分界，而是用c=0.57s來(lái)分界，即當(dāng)c時(shí),壓桿的臨界應(yīng)力crc，可用歐拉公式計(jì)算；當(dāng)<c時(shí),壓桿的臨界應(yīng)力按經(jīng)驗(yàn)公式(158)或(159)計(jì)算。 圖108 拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式的壓桿臨界應(yīng)力總圖Occcrs§105 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算一、壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力 折減系數(shù)與壓桿的強(qiáng)度計(jì)算相似，在對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算時(shí)，不能使壓桿的實(shí)際工作應(yīng)力達(dá)到臨界應(yīng)力cr，需要確定一個(gè)適當(dāng)?shù)陀谂R界應(yīng)力的穩(wěn)定

17、許用應(yīng)力cr式中nst為穩(wěn)定安全系數(shù)，其值隨壓桿的柔度而變化，一般來(lái)說(shuō)nst隨著柔度的增大而增大。工程實(shí)際中的壓桿都不同程度地存在著某些缺陷，嚴(yán)重地影響了壓桿的穩(wěn)定性，因此穩(wěn)定安全系數(shù)一般規(guī)定得比強(qiáng)度安全系數(shù)要大些。例如對(duì)于一般鋼構(gòu)件，其強(qiáng)度安全系數(shù)規(guī)定為1.41.7,而穩(wěn)定安全系數(shù)規(guī)定為1.52.2，甚至更大。為了計(jì)算方便，將穩(wěn)定許用應(yīng)力cr與強(qiáng)度許用應(yīng)力之比用來(lái)表示，即或式中稱為折減系數(shù)或穩(wěn)定系數(shù)，因cr和nst均隨壓桿的柔度而變化，因此是的函數(shù)，即，其值在01之間。二、壓桿的穩(wěn)定條件壓桿的穩(wěn)定條件是使壓桿的實(shí)際工作壓應(yīng)力不能超過(guò)穩(wěn)定許用應(yīng)力cr，即引用折減系數(shù)，壓桿的穩(wěn)定條件可寫(xiě)為 （1

18、0-10a）或 (10-10b)與強(qiáng)度計(jì)算類似，穩(wěn)定性計(jì)算主要解決三方面的問(wèn)題：1. 穩(wěn)定性校核2. 選擇截面3. 確定許用荷載需要說(shuō)明，截面的局部削弱對(duì)整個(gè)桿件的穩(wěn)定性影響不大，因此在穩(wěn)定計(jì)算中橫截面面積一般按毛面積進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算，但需要對(duì)該處進(jìn)行強(qiáng)度校核。再者，因?yàn)閴簵U的折減系數(shù)（或柔度）受截面形狀和尺寸的影響，因此在壓桿的截面設(shè)計(jì)過(guò)程中，不能通過(guò)穩(wěn)定條件求得兩個(gè)未知量，通常采用試算法，如后面的例題所示。例題 104 圖示結(jié)構(gòu)由兩根材料和直徑均相同的圓桿組成，桿的材料為Q235鋼，已知h=0.4m，直徑d=20mm，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力=170MPa，荷載F=15kN，試校核兩桿的穩(wěn)定性。FABC45°30°(a)12yAxFFN1FN2(b)例題104圖解：為校核兩桿的穩(wěn)定性，首先需要計(jì)算每個(gè)桿所承受的壓力，為此考慮結(jié)點(diǎn)A的平衡，其平衡方程為由此解得兩桿所受的壓力分別為FN1=0.896F=13.44kNFN2=0.732F=10.98kN兩桿的長(zhǎng)度分別為l1=h/sin45°=0.566ml2=h/sin30°=0.8m兩桿的柔度分別為查表153，并插值可得兩桿的折減系數(shù)分別為對(duì)兩桿分別進(jìn)行穩(wěn)定性校核：兩桿均滿足