直線與圓錐曲線的位置關系

1、直線與圓錐曲線的位置關系一、知識整理：1.考點分析：此部分的解答題以直線與圓錐曲線相交占多數(shù)，并以橢圓、拋物線為載體較多。多數(shù)涉及求圓錐曲線的方程、求參數(shù)的取值范圍等等。2解答直線與圓錐曲線相交問題的一般步驟：設線、設點，聯(lián)立、消元，韋達、代入、化簡。第一步：討論直線斜率的存在性，斜率存在時設直線的方程為y=kx+b（或斜率不為零時，設x=my+a）；第二步：設直線與圓錐曲線的兩個交點為A(x1,y1)B(x2,y2);第三步：聯(lián)立方程組，消去y 得關于x的一元二次方程；第四步：由判別式和韋達定理列出直線與曲線相交滿足的條件，第五步：把所要解決的問題轉化為x1+x2、x1x2，然后代入、化簡。

2、3弦中點問題的特殊解法-點差法：即若已知弦AB的中點為M(xo,yo)，先設兩個交點為A(x1,y1)，B(x2,y2);分別代入圓錐曲線的方程，得，兩式相減、分解因式，再將代入其中，即可求出直線的斜率。4.弦長公式:(k為弦AB所在直線的斜率)二、例題分析：例1(2008湖北文)已知雙曲線的兩個焦點為,點在曲線C上.()求雙曲線C的方程；()記O為坐標原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若OEF的面積為求直線l的方程例2.(2005湖北文、理)設A、B是橢圓上的兩點，點N（1,3）是線段AB的中點, 線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （）確定的取值范

3、圍，并求直線AB的方程；()試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.（只做第一問）例3.(2007重慶文)如圖,傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點.（）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；()若為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P,證明|FP|-|FP|cos2為定值,并求此定值.三、基礎訓練：1（2005廣東）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AOBO（如圖4所示）.AOB的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.2. (2008廣東文、理)設b>0，橢圓

4、方程為，拋物線方程為.如圖4所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點.(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;(2)設A,B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）.四鞏固練習：1.( 2007廣東文、理)在平面直角坐標系xOy巾，已知圓心在第二象限、半徑為的圓C與直線相切于坐標原點0橢圓與圓c的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10(1)求圓C的方程； (2)試探究圓C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的

5、距離等于線段OF的長若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.2.（2007四川理）設、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值;（）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.直線與圓錐曲線的位置關系（參考答案）二、例題分析：例1()解法1：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為（0a24），將點（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a22，故所求雙曲線方程為解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.2a=|PF1|PF2|=a2=2，b2=c2a2=2.雙曲線C的方程為()解：依題意，可設

6、直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得(1k2)x24kx6=0.直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,k()(1,).設E(x1,y1),F(x2,y2)，則由式得x1+x2=于是|EF|=而原點O到直線l的距離d,SOEF=若SOEF，即解得k=±,滿足.故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和例2（）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得設是方程的兩個不同的根，且由N（1，3）是線段AB的中點，得解得k=1，代入得，的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為解法2：設則有依題意，N（1，3）是AB的中點，又由N（1，3）在橢圓內(nèi)，的取值范圍是

7、（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0.（）解：CD垂直平分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得又設CD的中點為是方程的兩根，于是由弦長公式可得將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得同理可得當時，假設存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為于是，由、式和勾股定理可得故當>12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，為半徑的圓上.例3（）解：設拋物線的標準方程為，則，從而因此焦點的坐標為（2，0），準線l的方程為。（）解法一：如圖,作ACl，BDl，垂足為C、D，則由拋物

8、線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標分別為xxxz，則|FA|AC|解得，類似地有，解得。記直線m與AB的交點為E，則所以。故。解法二：設，直線AB的斜率為，則直線方程為。將此式代入,得，故。記直線m與AB的交點為，則，故直線m的方程為.令y=0,得P的橫坐標故。從而為定值。三、基礎訓練：1.解：直線的斜率顯然存在，設直線的方程為，依題意得，即，由得，設直線的方程為由弦長公式得把代入上式，得 ，設點到直線的距離為，則， 當，有最小值，的面積存在最小值，最小值是2.解: (1)解方程組得, 所以點G的坐標為G(4,b+2)， 由，得，求導數(shù)得， 于是，拋物線在點G的

9、切線l的斜率為， 又橢圓中，即c=b,所以橢圓的右焦點為（b,0） 由切線l過點，可知，解得b=1. 所以滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為和(2) 在拋物線上存在點P，使得ABP為直角三角形。且這樣的點有4個。證明：分別過點A、B做y軸的平行線，交拋物線于M，N點，則MAB=90O，NBA=90O， 顯然M，N在拋物線上，且使得ABM，ABN為直角三角形。若以為直角，設點坐標為，、兩點的坐標分別為和， 。關于的二次方程有一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個， 綜上所述, 滿足條件的點共有4個。四鞏固練習：1.【解析】(1)設圓的方程為，依題意, 解得,故所求圓的方程為 (注:此問若結合圖形加以分析會大大降低運算量!) (2)由橢圓的第一定義可得,故