第七章 微分方程

1、第七章微分方程教學(xué)目的：1了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4 會(huì)用降階法解下列微分方程：，和5 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。6掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)

2、：1、 可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法2、 可降階的高階微分方程，和3、 二階常系數(shù)齊次線性微分方程；4、 自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；教學(xué)難點(diǎn)：1、 齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。4、歐拉方程§12. 1 微分方程的基本概念函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映,利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究.因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系,在實(shí)踐中具有重要意義.在許多問題

3、中,往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系,但是根據(jù)問題所提供的情況,有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式.這樣的關(guān)系就是所謂微分方程.微分方程建立以后,對(duì)它進(jìn)行研究,找出未知函數(shù)來(lái),這就是解微分方程.例1 一曲線通過點(diǎn)(1, 2),且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2x,求這曲線的方程.解設(shè)所求曲線的方程為y=y(x).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可知未知函數(shù)y=y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程). (1) 此外,未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足下列條件:x=1時(shí),y=2,簡(jiǎn)記為y|x=1=2. (2)把(1)式兩端積分,得(稱為微分方程的通解),即y=x2+C, (3) 其中C是任意常數(shù)

4、.把條件“x=1時(shí),y=2”代入(3)式,得 2=12+C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式,得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x=1=2的解):y=x2+1.例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛;當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度-0.4m/s2.問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住,以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?解設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米.根據(jù)題意,反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s=s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式. (4)此外,未知函數(shù)s=s(t)還應(yīng)滿足下列條件:t=0時(shí),s=0,.簡(jiǎn)記為s|t=0=0,s¢|t=0=20. (5)把(4)式兩端積

5、分一次,得; (6)再積分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2, (7)這里C1,C2都是任意常數(shù).把條件v|t=0=20代入(6)得 20=C1;把條件s|t=0=0代入(7)得0=C2.把C1,C2的值代入(6)及(7)式得v=-0.4t+20, (8)s=-0.2t2+20t. (9)在(8)式中令v=0,得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間(s).再把t=50代入(9),得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).解設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米,s¢¢=-0.4,并且s|t=0=0,s¢|t=

6、0=20.把等式s¢¢=-0.4兩端積分一次,得s¢=-0.4t+C1,即v=-0.4t+C1(C1是任意常數(shù)),再積分一次,得s=-0.2t2 +C1t+C2 (C1,C2都C1是任意常數(shù)).由v|t=0=20得20=C1,于是v=-0.4t+20;由s|t=0=0得0=C2,于是s=-0.2t2+20t.令v=0,得t=50(s).于是列車在制動(dòng)階段行駛的路程s=-0.2´502+20´50=500(m).幾個(gè)概念:微分方程:表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程,叫微分方程.常微分方程:未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程,叫常微分

7、方程.偏微分方程:未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程,叫偏微分方程.微分方程的階:微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),叫微分方程的階.x3 y¢¢¢+x2 y¢¢-4xy¢=3x2 ,y(4) -4y¢¢¢+10y¢¢-12y¢+5y=sin2x,y(n) +1=0,一般n階微分方程:F(x,y,y¢,×××,y(n) )=0.y(n)=f(x,y,y¢,×××,y(n-1) ) .微分方程的

8、解:滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解.確切地說,設(shè)函數(shù)y=j(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù),如果在區(qū)間I上,Fx,j(x),j¢(x),×××,j(n) (x)=0,那么函數(shù)y=j(x)就叫做微分方程F(x,y,y¢,×××,y(n) )=0在區(qū)間I上的解.通解:如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,這樣的解叫做微分方程的通解.初始條件:用于確定通解中任意常數(shù)的條件,稱為初始條件.如x=x0 時(shí),y=y0 ,y¢= y¢

9、;0 .一般寫成,.特解:確定了通解中的任意常數(shù)以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常數(shù)的解.初值問題:求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題.如求微分方程y¢=f(x,y)滿足初始條件的解的問題,記為.積分曲線:微分方程的解的圖形是一條曲線,叫做微分方程的積分曲線.例3 驗(yàn)證:函數(shù)x=C1cos kt+C2 sin kt是微分方程的解.解求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù):,.將及x的表達(dá)式代入所給方程,得-k2(C1cos kt+C2sin kt)+ k2(C1cos kt+C2sin kt)º0.這表明函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt滿足方程,因此所給函數(shù)是所給方程的解.

10、例4 已知函數(shù)x=C1coskt+C2sinkt(k¹0)是微分方程的通解,求滿足初始條件x| t=0 =A,x¢| t=0 =0的特解.解由條件x| t=0 =A及x=C1 cos kt+C2 sin kt,得C1=A.再由條件x¢| t=0 =0,及x¢(t) =-kC1sin kt+kC2cos kt,得C2=0.把C1、C2的值代入x=C1cos kt+C2sin kt中,得x=Acos kt. §12. 2 可分離變量的微分方程觀察與分析: 1.求微分方程y¢=2x的通解.為此把方程兩邊積分,得y=x2+C.一般地,方程y&

11、#162;=f(x)的通解為(此處積分后不再加任意常數(shù)). 2.求微分方程y¢=2xy2的通解.因?yàn)閥是未知的,所以積分無(wú)法進(jìn)行,方程兩邊直接積分不能求出通解.為求通解可將方程變?yōu)?兩邊積分,得,或,可以驗(yàn)證函數(shù)是原方程的通解.一般地,如果一階微分方程y¢=j(x, y)能寫成 g(y)dy=f(x)dx形式,則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程G(y)=F(x)+C,由方程G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解對(duì)稱形式的一階微分方程:一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在這種方程中,變量x與y是對(duì)稱的.若把x看作自

12、變量、y看作未知函數(shù),則當(dāng)Q(x,y)¹0時(shí),有.若把y看作自變量、x看作未知函數(shù),則當(dāng)P(x,y)¹0時(shí),有.可分離變量的微分方程:如果一個(gè)一階微分方程能寫成g(y)dy=f(x)dx (或?qū)懗蓎¢=j(x)y(y)的形式,就是說,能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy,另一端只含x的函數(shù)和dx,那么原方程就稱為可分離變量的微分方程.討論:下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1) y¢=2xy,是.Þy-1dy=2xdx.(2)3x2+5x-y¢=0,是.Þdy=(3x2+5x)dx.(3)(x2+y2)dx-xydy

13、=0,不是.(4)y¢=1+x+y2+xy2,是.Þy¢=(1+x)(1+y2).(5)y¢=10x+y,是.Þ10-ydy=10xdx.(6).不是.可分離變量的微分方程的解法:第一步分離變量,將方程寫成g(y)dy=f(x)dx的形式;第二步兩端積分:,設(shè)積分后得G(y)=F(x)+C;第三步求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y)G(y)=F(x)+C ,y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解,其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解.例1 求微分方程的通解.解此方程為可分離變量方程,分離變量后得,兩邊積

14、分得,即 ln|y|=x2+C1,從而.因?yàn)槿允侨我獬?shù),把它記作C,便得所給方程的通解.解此方程為可分離變量方程,分離變量后得,兩邊積分得,即 ln|y|=x2+lnC,從而.例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比.已知t=0時(shí)鈾的含量為M0,求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律.解鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù).由于鈾的衰變速度與其含量成正比,故得微分方程,其中l(wèi)(l>0)是常數(shù),l前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少.即.由題意,初始條件為M|t=0=M0.將方程分離變量得.兩邊積分,得,即 lnM=-lt+lnC,也即M=Ce-lt.由初始條件,得M0

15、=Ce0=C,所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M=M0e-lt.例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后,所受空氣阻力與速度成正比,并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零.求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)降落傘下落速度為v(t).降落傘所受外力為F=mg-kv( k為比例系數(shù)).根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F=ma,得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為,初始條件為v|t=0=0.方程分離變量,得,兩邊積分,得,即(),將初始條件v|t=0=0代入通解得,于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為.例4 求微分方程的通解.解方程可化為,分離變量得,兩邊積分得,即.于是原方程的通解為.例4 有高為1m的半球形容器,水從它的底部小

16、孔流出,小孔橫截面面積為1cm2.開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律.解由水力學(xué)知道,水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算:,其中0. 62為流量系數(shù),S為孔口橫截面面積,g為重力加速度.現(xiàn)在孔口橫截面面積S=1cm2,故,或.另一方面,設(shè)在微小時(shí)間間隔t,t+dt內(nèi),水面高度由h降至h+dh(dh<0),則又可得到dV=-pr2dh,其中r是時(shí)刻t的水面半徑,右端置負(fù)號(hào)是由于dh<0而dV>0的緣故.又因,所以dV=-p(200h-h2)dh.通過比較得到,這就是未知函數(shù)h=h(t)應(yīng)滿足的微分方程.此外,開始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的,所

17、以未知函數(shù)h=h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件:h|t=0=100.將方程分離變量后得.兩端積分,得,即,其中C是任意常數(shù).由初始條件得,.因此.上式表達(dá)了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系. §12. 3 齊次方程齊次方程:如果一階微分方程中的函數(shù)f(x, y)可寫成的函數(shù),即,則稱這方程為齊次方程.下列方程哪些是齊次方程？(1)是齊次方程. (2)不是齊次方程. (3)(x2+y2)dx-xydy=0是齊次方程. (4)(2x+y-4)dx+(x+y-1)dy=0不是齊次方程. (5)是齊次方程.齊次方程的解法:在齊次方程中,令,即y=ux,有,分離變量,得.

18、兩端積分,得.求出積分后,再用代替u,便得所給齊次方程的通解.例1 解方程.解原方程可寫成,因此原方程是齊次方程.令,則 y=ux,于是原方程變?yōu)?即.分離變量,得.兩邊積分,得u-ln|u|+C=ln|x|,或?qū)懗蒷n|xu|=u+C.以代上式中的u,便得所給方程的通解.例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡,假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行.求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L:y=y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成,光源在原點(diǎn).在L上任取一點(diǎn)M(x, y),作L的切線交x軸于A.點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線.由光學(xué)及幾何原理可以證明O

19、A=OM,因?yàn)?而.于是得微分方程,整理得.這是齊次方程.問題歸結(jié)為解齊次方程.令,即x=yv,得,即,分離變量,得,兩邊積分,得, , ,以yv=x代入上式,得.這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線,它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為.這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程.例3 設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A,河寬OA=h,兩岸為平行直線,水流速度為a,有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O,設(shè)鴨子的游速為b(b>a),且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O.求鴨子游過的跡線的方程.例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線,水流速度為a,有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O,設(shè)鴨子的游速為b(b>a),且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O,已知OA=h

20、,求鴨子游過的跡線的方程.解取O為坐標(biāo)原點(diǎn),河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸,y軸指向?qū)Π?設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y),則鴨子運(yùn)動(dòng)速度,故有.另一方面,.因此,即.問題歸結(jié)為解齊次方程.令,即x=yu,得,分離變量,得,兩邊積分,得,將代入上式并整理,得.以x|y=h=0代入上式,得,故鴨子游過的軌跡方程為, 0£y£h.將代入后的整理過程:.§12.4 線性微分方程一、線性方程線性方程:方程叫做一階線性微分方程.如果Q(x)º0 ,則方程稱為齊次線性方程,否則方程稱為非齊次線性方程.方程叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的齊次線性方程.下列方程各是什么類型方程？ (

21、1)Þ是齊次線性方程. (2) 3x2+5x-5y¢=0Þy¢=3x2+5x,是非齊次線性方程. (3) y¢+y cos x=e-sin x,是非齊次線性方程. (4),不是線性方程. (5)Þ或,不是線性方程.齊次線性方程的解法:齊次線性方程是變量可分離方程.分離變量后得,兩邊積分,得,或,這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）.例1 求方程的通解.解這是齊次線性方程,分離變量得,兩邊積分得 ln|y|=ln|x-2|+lnC,方程的通解為y=C(x-2).非齊次線性方程的解法:將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)

22、u(x),把設(shè)想成非齊次線性方程的通解.代入非齊次線性方程求得,化簡(jiǎn)得,于是非齊次線性方程的通解為,或.非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和.例2 求方程的通解.解這是一個(gè)非齊次線性方程.先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程的通解.分離變量得,兩邊積分得 ln y=2ln (x+1)+ln C,齊次線性方程的通解為y=C(x+1)2.用常數(shù)變易法.把C換成u,即令y=u×(x+1)2,代入所給非齊次線性方程,得,兩邊積分,得.再把上式代入y=u(x+1)2中,即得所求方程的通解為.解:這里,.因?yàn)?所以通解為.例3 有一個(gè)電路如圖所示,其中電源電動(dòng)勢(shì)為E=E

23、msinwt(Em、w都是常數(shù)),電阻R和電感L都是常量.求電流i(t).解由電學(xué)知道,當(dāng)電流變化時(shí),L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).由回路電壓定律得出,即.把E=Emsinwt代入上式,得.初始條件為i|t=0=0.方程為非齊次線性方程,其中,.由通解公式,得.其中C為任意常數(shù).將初始條件i|t=0=0代入通解,得,因此,所求函數(shù)i(t)為.二、伯努利方程伯努利方程:方程(n¹0, 1)叫做伯努利方程.下列方程是什么類型方程？ (1),是伯努利方程. (2),Þ,是伯努利方程. (3),Þ,是伯努利方程. (4),是線性方程,不是伯努利方程.伯努利方程的解法:以yn除方程的兩

24、邊,得令z=y1-n,得線性方程.例4 求方程的通解.解以y2除方程的兩端,得,即,令z=y-1,則上述方程成為.這是一個(gè)線性方程,它的通解為.以y-1代z,得所求方程的通解為.經(jīng)過變量代換,某些方程可以化為變量可分離的方程,或化為已知其求解方法的方程.例5 解方程.解若把所給方程變形為,即為一階線性方程,則按一階線性方程的解法可求得通解.但這里用變量代換來(lái)解所給方程.令x+y=u,則原方程化為,即.分離變量,得,兩端積分得u-ln|u+1|=x-ln|C|.以u(píng)=x+y代入上式,得y-ln|x+y+1|=-ln|C|,或x=Cey-y-1.§12. 5 全微分方程全微分方程:一個(gè)一

25、階微分方程寫成 P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 形式后,如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù)u=u(x, y)的全微分:du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy,那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程.這里,而方程可寫為du(x, y)=0.全微分方程的判定:若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且,則方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程,全微分方程的通解:若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程,且du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy則u(x, y)=C,

26、即.是方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的通解例1 求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2 )dy=0.解這里,所以這是全微分方程.取(x0, y0)=(0, 0),有.于是,方程的通解為.積分因子:若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0不是全微分方程,但存在一函數(shù)m=m(x, y)(m(x, y)¹0),使方程m(x, y)P(x, y)dx+m(x, y)Q(x, y)dy=0是全微分方程,則函數(shù)m(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的積分因子.例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解: (1)ydx-xdy

27、=0; (2)(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0.解 (1)方程ydx-xdy=0不是全微分方程.因?yàn)?所以是方程ydx-xdy=0的積分因子,于是是全微分方程,所給方程的通解為. (2)方程(1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0不是全微分方程.將方程的各項(xiàng)重新合并,得 (ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0,再把它改寫成,這時(shí)容易看出為積分因子,乘以該積分因子后,方程就變?yōu)?積分得通解,即.我們也可用積分因子的方法來(lái)解一階線性方程y¢+P(x)y=Q(x).可以驗(yàn)證是一階線性方程y¢+P(x)y=Q(x)的一個(gè)積分因子.在一階線性方程的兩邊乘以得,即,

28、亦即.兩邊積分,便得通解,或.例3用積分因子求的通解.解方程的積分因子為.方程兩邊乘以得,即,于是.因此原方程的通解為.§12. 6 可降階的高階微分方程一、y(n)=f (x)型的微分方程解法:積分n次,×××.例1 求微分方程y¢¢¢=e2x-cos x的通解.解對(duì)所給方程接連積分三次,得,這就是所給方程的通解.或,這就是所給方程的通解.例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng).設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù):F=F(t).在開始時(shí)刻t=0時(shí)F(0)=F0,隨著時(shí)間t的增大,此力F均勻地減小,直到t=T時(shí),F(T)=0

29、.如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn),且初速度為零,求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解設(shè)x=x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置,根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為.由題設(shè),力F(t)隨t增大而均勻地減小,且t=0時(shí),F(0)=F0,所以F(t)=F0-kt;又當(dāng)t=T時(shí),F(T)=0,從而.于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為,其初始條件為,.把微分方程兩邊積分,得.再積分一次,得.由初始條件x|t=0=0,得C1=C2=0.于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為, 0£t£T.解設(shè)x=x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置,根據(jù)牛頓第二定律,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為mx¢¢=F(t).由題設(shè),F(t)是線

30、性函數(shù),且過點(diǎn)(0,F0)和(T, 0),故,即.于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為.其初始條件為x|t=0=0,x¢|t=0=0.把微分方程兩邊積分,得,再積分一次,得,由初始條件x|t=0=0,x¢|t=0=0,得C1=C2=0.于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為, 0£t£T.二、y¢¢=f(x,y¢)型的微分方程 解法: 設(shè)y¢=p則方程化為p¢=f(x,p).設(shè)p¢=f(x,p)的通解為p=j(x,C1),則.原方程的通解為.例3 求微分方程 (1+x2)y¢¢=2xy¢

31、滿足初始條件 y|x=0=1,y¢|x=0=3的特解.解所給方程是y¢¢=f(x,y¢)型的.設(shè)y¢=p,代入方程并分離變量后,有.兩邊積分,得 ln|p|=ln(1+x2)+C,即p=y¢=C1(1+x2) (C1=±eC).由條件y¢|x=0=3,得C1=3,所以y¢=3(1+x2).兩邊再積分,得y=x3+3x+C2.又由條件y|x=0=1, 得C2=1,于是所求的特解為 y=x3+3x+1.例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索,兩端固定,繩索僅受重力的作用而下垂.試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?三、y

32、¢¢=f(y,y¢)型的微分方程解法:設(shè)y¢=p,有.原方程化為.設(shè)方程的通解為y¢=p=j(y,C1),則原方程的通解為.例5 求微分yy¢¢-y¢2=0的通解.解設(shè)y¢=p,則,代入方程,得.在y¹0、p¹0時(shí),約去p并分離變量,得.兩邊積分得 ln|p|=ln|y|+lnc,即p=Cy或y¢=Cy(C=±c).再分離變量并兩邊積分,便得原方程的通解為 ln|y|=Cx+lnc1,或y=C1eCx(C1=±c1).例5 求微分yy¢¢

33、;-y¢2=0的通解.解設(shè)y¢=p,則原方程化為,當(dāng)y¹0、p¹0時(shí),有,于是,即y¢-C1y=0,從而原方程的通解為.例6 一個(gè)離地面很高的物體,受地球引力的作用由靜止開始落向地面.求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（不計(jì)空氣阻力）.§12. 7 高階線性微分方程一、二階線性微分方程舉例例1 設(shè)有一個(gè)彈簧,上端固定,下端掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體.取x軸鉛直向下,并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn).給物體一個(gè)初始速度v0¹0后,物體在平衡位置附近作上下振動(dòng).在振動(dòng)過程中,物體的位置x是t的函數(shù):x=x(t).設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c,則恢復(fù)

34、力f=-cx.又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比,比例系數(shù)為m,則,由牛頓第二定律得.移項(xiàng),并記,則上式化為,這就是在有阻尼的情況下,物體自由振動(dòng)的微分方程.如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力F=Hsin pt的作用,則有,其中.這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程.例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路,其中R、L、及C為常數(shù),電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù):E=Emsinwt,這里Em及w也是常數(shù).設(shè)電路中的電流為i(t),電容器極板上的電量為q(t),兩極板間的電壓為uc,自感電動(dòng)勢(shì)為EL.由電學(xué)知道,根據(jù)回路電壓定律,得,即,或?qū)懗?其中,.這就是串聯(lián)電路的振蕩方程.如果電容

35、器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0),則上述成為.二階線性微分方程:二階線性微分方程的一般形式為 y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x),若方程右端f(x)º0時(shí),方程稱為齊次的,否則稱為非齊次的.二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)先討論二階齊次線性方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0,即.定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0.的兩個(gè)解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常數(shù).齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理

36、.證明 C1y1+C2y2¢=C1y1¢+C2y2¢, C1y1+C2y2¢¢=C1y1¢¢+C2y2¢¢.因?yàn)閥1與y2是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0,所以有y1¢¢+P(x)y1¢+Q(x)y1=0及y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0,從而 C1y1+C2y2¢¢+P(x) C1y1+C2y2¢+Q(x) C1y1+C2y2=C1y1¢¢+P(

37、x)y1¢+Q(x)y1+C2y2¢¢+P(x)y2¢+Q(x)y2=0+0=0.這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0的解函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān):設(shè)y1(x),y2(x),×××,yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù).如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1,k2,×××,kn,使得當(dāng)xÎI時(shí)有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+×××+knyn(x)º0成立,那么稱這n

38、個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān);否則稱為線性無(wú)關(guān).判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法:對(duì)于兩個(gè)函數(shù),它們線性相關(guān)與否,只要看它們的比是否為常數(shù),如果比為常數(shù),那么它們就線性相關(guān),否則就線性無(wú)關(guān).例如, 1, cos2x, sin2x在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的.函數(shù)1,x,x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的.定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,那么y=C1y1(x)+C2y2(x) (C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解.例3 驗(yàn)證y1=cos x與y2=sin x是方程y¢¢+y=0的

39、線性無(wú)關(guān)解,并寫出其通解.解因?yàn)閥1¢¢+y1=-cos x+cos x=0,y2¢¢+y2=-sin x+sin x=0,所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解.因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2,要使k1cos x+k2sin xº0,只有k1=k2=0,所以cos x與sin x在(-¥, +¥)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的.因此y1=cos x與y2=sin x是方程y¢¢+y=0的線性無(wú)關(guān)解.方程的通解為y=C1cos x+C2sin x.例4 驗(yàn)證y1=x與y2=ex是方程(x-1)y¢&

40、#162;-xy¢+y=0的線性無(wú)關(guān)解,并寫出其通解.解因?yàn)?(x-1)y1¢¢-xy1¢+y1=0-x+x=0, (x-1)y2¢¢-xy2¢+y2=(x-1)ex-xex+ex=0,所以y1=x與y2=ex都是方程的解,因?yàn)楸戎礶x/x不恒為常數(shù),所以y1=x與y2=ex在(-¥, +¥)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的.因此y1=x與y2=ex是方程(x-1)y¢¢-xy¢+y=0的線性無(wú)關(guān)解.方程的通解為y=C1x+C2ex.推論如果y1(x),y2(x),××&#

41、215;,yn(x)是方程y(n)+a1(x)y(n-1)+×××+an-1(x)y¢+ an(x)y=0 的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,那么,此方程的通解為y=C1y1(x)+C2y2(x)+×××+ Cnyn(x),其中C1,C2,×××,Cn為任意常數(shù).二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu):我們把方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=0叫做與非齊次方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程.定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y

42、¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的一個(gè)特解,Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,那么y=Y(x)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解.證明提示: Y(x)+y*(x)¢¢+P(x) Y(x)+y*(x)¢+Q(x) Y(x)+y*(x)=Y ¢¢+P(x)Y ¢+Q(x)Y + y* ¢¢+P(x)y* ¢+Q(x)y*=0+ f(x)= f(x).例如,Y=C1cos x+C2sin x是齊次方程y¢¢+y=0的通解,y*=x2-2是y

43、2;¢+y=x2 的一個(gè)特解,因此y=C1cos x+C2sin x+x2-2是方程y¢¢+y=x2的通解.定理4 設(shè)非齊次線性微分方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和,如y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)+f2(x),而y1*(x)與y2*(x)分別是方程y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f1(x)與y¢¢+P(x)y¢+Q(x)y=f2(x)的特解,那么y1*(x)+y2*(x)就是原方

44、程的特解.證明提示: y1+y2*¢¢+P(x) y1*+y2*¢+Q(x) y1*+y2*= y1*¢¢+P(x) y1*¢+Q(x) y1*+ y2*¢¢+P(x) y2*¢+Q(x) y2*=f1(x)+f2(x).§12. 9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程y¢¢+py¢+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p、q均為常數(shù).如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.

45、我們看看,能否適當(dāng)選取r,使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程,為此將y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得 (r2+pr+q)erx=0.由此可見,只要r滿足代數(shù)方程r2+pr+q=0,函數(shù)y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程.特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式求出.特征方程的根與通解的關(guān)系: (1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí),函數(shù)、是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.這是因?yàn)?函數(shù)、是方程的解,又不是常數(shù).因此方程的通解為. (2)特征方程有兩個(gè)相

46、等的實(shí)根r1=r2時(shí),函數(shù)、是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.這是因?yàn)?是方程的解,又,所以也是方程的解,且不是常數(shù).因此方程的通解為. (3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2=a±ib時(shí),函數(shù)y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解.函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解.函數(shù)y1=e(a+ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解,而由歐拉公式,得 y1=e(a+ib)x=eax(cosbx+isinbx),y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx), y1+y2

47、=2eaxcosbx, y1-y2=2ieaxsinbx,.故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.可以驗(yàn)證,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無(wú)關(guān)解.因此方程的通解為y=eax(C1cosbx+C2sinbx ).求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=0的通解的步驟為:第一步寫出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2.第三步根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況,寫出微分方程的通解.例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解.解所給微分方程的特征方程為r

48、2-2r-3=0,即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1,r2=3是兩個(gè)不相等的實(shí)根,因此所求通解為y=C1e-x+C2e3x.例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y¢|x=0=-2的特解.解所給方程的特征方程為r2+2r+1=0,即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是兩個(gè)相等的實(shí)根,因此所給微分方程的通解為y=(C1+C2x)e-x.將條件y|x=0=4代入通解,得C1=4,從而y=(4+C2x)e-x.將上式對(duì)x求導(dǎo),得y¢=(C2-4-C2x)e-x.再把條件y¢|x=0=-2代入上式,得C2=

49、2.于是所求特解為x=(4+2x)e-x.例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解.解所給方程的特征方程為r2-2r+5=0.特征方程的根為r1=1+2i,r2=1-2i,是一對(duì)共軛復(fù)根,因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x). n階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +×××+pn-1y¢+pny=0,稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p1,p2 ,×××,pn-1,pn都是常數(shù).二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方

50、程的通解形式,可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去.引入微分算子D,及微分算子的n次多項(xiàng)式:L(D)=Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +×××+pn-1D+pn,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn+p1Dn-1+p2 Dn-2 +×××+pn-1D+pn)y=0或L(D)y=0.注: D叫做微分算子D0y=y,Dy=y¢, D2y=y¢¢, D3y=y¢¢¢,×××,Dny=y(n).分析:令y=erx,則L(D)y=L(D)erx

51、=(rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn)erx=L(r)erx.因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根,則y=erx是微分方程L(D)y=0的解. n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程:L(r)=rn+p1rn-1+p2 rn-2 +×××+pn-1r+pn=0稱為微分方程L(D)y=0的特征方程.特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng):單實(shí)根r對(duì)應(yīng)于一項(xiàng):Cerx;一對(duì)單復(fù)根r1,2=a±ib對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng):eax(C1cosbx+C2sinbx); k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng):erx(C1+C2x+××

52、;×+Ckxk-1);一對(duì)k重復(fù)根r1,2=a±ib對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng):eax(C1+C2x+×××+Ckxk-1)cosbx+( D1+D2x+×××+Dkxk-1)sinbx.例4 求方程y(4)-2y¢¢¢+5y¢¢=0 的通解.解這里的特征方程為r4-2r3+5r2=0,即r2(r2-2r+5)=0,它的根是r1=r2=0和r3,4=1±2i.因此所給微分方程的通解為y=C1+C2x+ex(C3cos2x+C4sin2x).例5 求方程y(4)+b4y=

53、0的通解,其中b>0.解這里的特征方程為r4+b 4=0.它的根為,.因此所給微分方程的通解為.§12. 10 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,其中p、q是常數(shù).二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解y=Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y=y*(x)之和: y=Y(x)+ y*(x).當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí),方程的特解的求法:一、f(x)=Pm(x)elx型當(dāng)f(x)=Pm(x)elx時(shí),可以猜想,方程的特解也應(yīng)具有這種形式.因此

54、,設(shè)特解形式為y*=Q(x)elx,將其代入方程,得等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x). (1)如果l不是特征方程r2+pr+q=0 的根,則l2+pl+q¹0.要使上式成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式: Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,×××,bm,并得所求特解 y*=Qm(x)elx. (2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的單根,則l2+pl+q=0,但2l+p&#

55、185;0,要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+1 次多項(xiàng)式: Q(x)=xQm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,×××,bm,并得所求特解 y*=xQm(x)elx. (3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,則l2+pl+q=0, 2l+p=0,要使等式 Q¢¢(x)+(2l+p)Q¢(x)+(l2+pl+

56、q)Q(x)=Pm(x).成立,Q(x)應(yīng)設(shè)為m+2次多項(xiàng)式: Q(x)=x2Qm(x), Qm(x)=b0xm+b1xm-1+×××+bm-1x+bm,通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù),可確定b0,b1,×××,bm,并得所求特解y*=x2Qm(x)elx.綜上所述,我們有如下結(jié)論:如果f(x)=Pm(x)elx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y¢¢+py¢+qy=f(x)有形如 y*=xkQm(x)elx的特解,其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程

57、的的重根依次取為0、1或2.例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一個(gè)特解.解這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且函數(shù)f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=3x+1,l=0).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y¢¢-2y¢-3y=0,它的特征方程為 r2-2r-3=0.由于這里l=0不是特征方程的根,所以應(yīng)設(shè)特解為 y*=b0x+b1.把它代入所給方程,得-3b0x-2b0-3b1=3x+1,比較兩端x同次冪的系數(shù),得,-3b0=3,-2b0-3b1=1.由此求得b0=-1,.于是求得所給方程的一個(gè)特解為.例2 求微分方

58、程y¢¢-5y¢+6y=xe2x的通解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且f(x)是Pm(x)elx型(其中Pm(x)=x,l=2).與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y¢¢-5y¢+6y=0,它的特征方程為 r2-5r+6=0.特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1=2,r2=3.于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 Y=C1e2x+C2e3x.由于l=2是特征方程的單根,所以應(yīng)設(shè)方程的特解為 y*=x(b0x+b1)e2x.把它代入所給方程,得-2b0x+2b0-b1=x.比較兩端x同次冪的系數(shù),得,-2b0=1, 2b0-b1=0.由此求得,

59、b1=-1.于是求得所給方程的一個(gè)特解為.從而所給方程的通解為.提示:y*=x(b0x+b1)e2x=(b0x2+b1x)e2x,(b0x2+b1x)e2x¢=(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x,(b0x2+b1x)e2x¢¢=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x.y*¢¢-5y*¢+6y*=(b0x2+b1x)e2x¢¢-5(b0x2+b1x)e2x¢+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+2(2b0x+b1)×2+(b0x2+b1x)×22e2x-5(2b0x+b1)+(b0x2+b1x)×2e2x+6(b0x2+b1x)e2x=2b0+4(2b0x+b1)-5(2b0x+b1)