第9講高等數(shù)學(xué)

1、第九講 向量代數(shù)與空間解析幾何及多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用(數(shù)學(xué)一)§9.1 向量代數(shù)考試要求：理解向量、方向角、方向余弦的概念;掌握向量的表示及運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積）；了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件.一.向量：（1）向量的坐標(biāo)表示式：設(shè)，則的坐標(biāo)表示式為.（2）向量的模：(3)方向角:向量與坐標(biāo)軸正向的夾角(方向余弦).， .(4)單位向量:.與非零向量同方向的單位向量:.二.向量的運(yùn)算（1）向量的線性運(yùn)算:，則1); 2).（2）數(shù)量積:1)定義：= ()(數(shù))2)坐標(biāo)表示式：設(shè)，則 .3)兩向量的夾角:（3）向量積:1)定義：一個(gè)向量：大?。海较?,構(gòu)成右手法則

2、 結(jié)論：要找既垂直于又垂直于的向量可取為2)運(yùn)算律：（不符合交換律）3)的幾何意義：以,為鄰邊的平行四邊形的面積.4)向量積的坐標(biāo)表示式：，則 .（4）向量的混合積：，則.三.向量的關(guān)系:（1)平行:.（2)垂直: .（3）共面的.?？碱}型與典型例題題型一向量運(yùn)算【例1】設(shè)，則.解=【例2】.給定兩點(diǎn)和，求的坐標(biāo)表示式，模，方向余弦，三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角及與平行的單位向量.解，,.【例3】已知，,且，(A)2(B)2(C)(D)1解由于，而，則= ,從而=.故.選(A).題型二向量運(yùn)算的應(yīng)用及向量的位置關(guān)系【例4】.已知，（1），則;（2），則;（3）共面，則.解： .【例5】.已知向量，若，

3、求的坐標(biāo)表示式.解：取.，.§9.2空間平面與直線考試要求：掌握平面方程和直線方程及其求法，直線和平面之間的位置關(guān)系.一.平面方程（1）點(diǎn)法式方程:過(guò)點(diǎn),且法向量為的平面方程為.（2）一般式方程：(3) 截距式二.直線方程（1）對(duì)稱式:（2）參數(shù)方程：（）（3）一般方程：三、直線與直線的位置關(guān)系：直線與直線的夾角:兩直線的方向向量的銳夾角稱為這兩條直線的夾角.設(shè)兩條直線的方向向量為 ，.注1)兩直線平行和兩直線垂直的充要條件是什么? 2)如何判斷兩直線相交?四、直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的夾角：直線和它在平面上投影直線的夾角（）。設(shè)直線的方向向量是 ，平面的法向量，注：平面與直線

4、平行； 直線與平面垂直.五、點(diǎn)到平面的距離:空間一點(diǎn)到平面的距離 -公式六、點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)(,)到直線的距離為題型三建立直線方程【例6】求過(guò)點(diǎn)(-1,-4,3)且與下面兩直線和都垂直的直線.解法1設(shè),解法2解法3過(guò)點(diǎn)(-1,-4,3)且與垂直的平面3x-y-10z=-29,過(guò)點(diǎn)(-1,-4,3)且與垂直的平面4x-y+2z=6.所求直線方程為【例7】過(guò)點(diǎn)(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z=10,又與直線相交的直線方程.解法1設(shè)所求直線L的方程為，,由于該直線與平面3x-4y+z=10平行，則又因?yàn)樗笾本€與直線相交，則將，代入得由式和式可得,.令n=28,則l=16,m=19,則所求

5、直線方程為解法2過(guò)點(diǎn)(-1,0,4)且與平面3x-4y+z=10平行的平面的方程為3(x+1)-4y+(z-4)=0,即3x-4y+z=1,為求平面:3x-4y+z=1和直線的交點(diǎn)，解方程組由所求直線上點(diǎn)(-1,0,4)和(15,19,32)知其方程為解法3過(guò)點(diǎn)(-1,0,4)且與平面3x-4y+z=10的平面方程為3(x+1)-4y+(z-4)=0,即3x-4y+z=1.過(guò)直線的平面束方程為將點(diǎn)(-1,0,4),的坐標(biāo)代入上式得.將代入上式得過(guò)點(diǎn)(-1.0.4)和直線的平面方程為10x-4y-3z=-22則所求直線方程為題型四建立平面方程【例8】求過(guò)原點(diǎn)且與兩直線，及都平行的平面方程.解法1

6、顯然，及的方向向量分別為和.則所求平面的法向量為.平面過(guò)原點(diǎn),則所求平面的法向量為,即解法2由題設(shè)知，兩條已知直線的方向向量分別為和.設(shè)Px,y,z為所求平面上任一點(diǎn)，由題設(shè)知向量與共面，則【例9】求過(guò)直線且垂直于平面的平面方程.解法1，解法2平面束題型五與平面和直線位置關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題【例10】直線和直線是否相交?如果相交求其交點(diǎn),如果不相交求兩直線間距離.解直線的方向向量，直線的方向向量為.上的點(diǎn),則=-2，2，-1，與直線和共面的充要條件是向量混合積為零，即.故當(dāng)時(shí)，直線和相交, 時(shí)，直線和不相交,1) 當(dāng)時(shí)，為求得直線與的交點(diǎn),令，則2) 當(dāng)時(shí),為求得直線和之間距離，考慮直線和的方向向量

7、和向量，由兩直線之間的距離公式知【例11】設(shè)直線，,求與直線都垂直且相交的直線方程.解由題設(shè)知,直線和的方向向量分別為則所求直線方向向量為.過(guò)直線且平行于s的平面的方程是.則所求直線方程為【例12】.求到直線的距離.解1：設(shè)直線上任一點(diǎn)， ， 解2：過(guò)于垂直的平面方程，再求交點(diǎn)§9.3 空間曲面與曲線 考試要求：了解曲面方程與空間曲線方程的概念;了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程;會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影線的方程.一、空間曲面的方程(1)一般方程 (2)參數(shù)方程 二、空間曲線的方程(1)參數(shù)方程 (2)一般方程 三、常見(jiàn)曲

8、面與曲線(1)母線平行于軸的柱面方程中缺哪個(gè)變量，方程就代表母線平行于那個(gè)軸的柱面.(2)旋轉(zhuǎn)面母線為 繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為(3)二次曲面橢球面 雙曲面單葉雙曲面 雙葉雙曲面 拋物面橢圓拋物面 雙曲拋物面 (4)螺旋線四、空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線曲線消去z得關(guān)于平面的投影柱面，則在平面上的投影曲線為同理，可得關(guān)于其他兩個(gè)平面的投影曲線.題型六建立柱面方程【例13】求以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面.解將代入得，即為所要求的柱面.【例14】求以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于直線的柱面方程.解過(guò)曲線上點(diǎn)且平行于直線的直線方程為，消去方程組中的得，.化簡(jiǎn)可得為所求柱面方程.題型七建立旋轉(zhuǎn)面方程【例1

9、5】求下列曲線繞指定的軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)面的方程1)，分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn).2)，分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn).解1)繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：；繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：.2)繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：，即；繞軸旋轉(zhuǎn)面方程：.【例16】求直線繞軸旋轉(zhuǎn)面方程.解設(shè)為旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)為，這里，則，又滿足，則，代入上式知，即.題型八求空間曲線的投影曲線方程【例17】求曲線在面和面上的投影曲線方程.解在面上的投影為，在面上的投影為.【例18】求直線在平面上的投影直線方程.解1.投影平面的法向量,投影平面方程為即.投影直線方程為.解2.將直線的方程寫(xiě)成一般式,過(guò)的平面束方程為,則. 投影平面方程為【例19】曲線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲

10、線的方程和投影柱面的方程. 解：關(guān)于平面的投影柱面方程：關(guān)于平面的投影線：. 關(guān)于平面？ 關(guān)于平面？【例20】.設(shè)直線L在OYZ平面上的投影直線為，在OXZ平面上的投影直線為，求直線L在OXY平面上的投影直線方程.解：直線的方程為： 消得：.§9.4方向?qū)?shù)、梯度、曲面的切平面、曲線的切線考試要求：1.了解空間曲線的切線與法平面及空間曲面的切平面與法線的概念，會(huì)求它們的方程。2.理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法一、空間曲面的切平面與法線設(shè)曲面的方程為，則曲面上點(diǎn)處的切平面方程為 該點(diǎn)的法線方程：注: 曲面方程為，轉(zhuǎn)化為二、 空間曲線的切線與法平面設(shè)曲線的方程為，在曲線上對(duì)應(yīng)的

11、點(diǎn)處切線方程:.法平面方程為注:空間曲線的方程為，如何求任一點(diǎn)切線和法平面方程？ 切線方程： 法平面方程：空間曲線的方程為，在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程如何求？三、方向?qū)?shù)與梯度1、方向?qū)?shù)的定義:注(1)表示在點(diǎn)沿方向的變化率,即表示函數(shù)在點(diǎn)沿著這個(gè)方向函數(shù)增長(zhǎng)快慢. (2)的存在性及計(jì)算：若函數(shù)在點(diǎn)是可微的，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在且其中為方向的方向角. (3)設(shè)在點(diǎn)處可微, 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)為. 其中為方向的方向角.2、梯度的定義：.注：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值,梯度的模為.題型九建立曲面的切平面和法線方程【例21】求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程.解令，則于是，或取故所求切平面方程為，即.法線方程為.【例22】設(shè)直線在平面上，而平面與曲面：相切于點(diǎn)，求之值.解法1曲面在點(diǎn)處的法線向量為于是切平面方程為即(1)由，得代入(1)式得因而有由此得出解法2由解法1知，的方程為，過(guò)的平面束為即令則.題型十建立空間曲線的切線和法平面方程【例23】求曲線在點(diǎn)處的切線方程和法平面方程解由于，在處切線向量為.則所求切線方程為法平面方程為即【例24】求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程.解曲面在點(diǎn)處的法向