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1、2012-2013學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生矩陣分析考試試卷(A) 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三四五六總分得分一、（共30分，每小題6分）完成下列各題： （1）設(shè)空間中的向量，分別求和的維數(shù).解：和的維數(shù)為3和1（2） 設(shè)，是酉空間中兩向量，求內(nèi)積 及它們的長(zhǎng)度（）. （0， 2, 2）；（3）求矩陣的滿秩分解.解：（4）設(shè)矩陣，求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形及其行列式因子.解：（5）設(shè)是矩陣范數(shù)，給定一個(gè)非零向量，定義 ，驗(yàn)證是向量范數(shù). 二、（10分）設(shè)中的線性變換在基下的矩陣表示為，（1）（5分）求的值域的維數(shù)及一組基； （2）（5分）求 的核的維數(shù)及一組基.解：（1）由題意知 T 1,2,3=線性變

2、換T的值域?yàn)門(mén)（V）= 所以A （V）的維數(shù)為2， 基為（2）矩陣A的核為AX=0的解空間。不難求得AX=0的基礎(chǔ)解系是2, -1, 1T, 因此的維數(shù)為1， 基為. 三、（8分）求矩陣的正交三角分解，其中是酉矩陣，是正線上三角矩陣.解： =四、（8分）設(shè)，求矩陣范數(shù)，.（這里）.解：，（2分） ，（2分） （2分） ， （2分） （2分）五、（共24分，每小題8分）證明題：（1）設(shè)是正定Hermite矩陣，是反Hermite矩陣，證明是可逆矩陣.（2）設(shè)是階正規(guī)矩陣，證明是Hermite矩陣的充要條件是的特征值為實(shí)數(shù).（3）若，證明為非奇異矩陣，且，這里是誘導(dǎo)范數(shù).六、（共20分，每小題5分）設(shè)， （1） 求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形（寫(xiě)出具體步驟）； （2） 求的初等因子、最小多項(xiàng)式及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形； （3） 求相似變換矩陣及其

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