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1、2012-2013學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生矩陣分析考試試卷(A) 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三四五六總分得分一、(共30分,每小題6分)完成下列各題: (1)設(shè)空間中的向量,分別求和的維數(shù).解:和的維數(shù)為3和1(2) 設(shè),是酉空間中兩向量,求內(nèi)積 及它們的長(zhǎng)度(). (0, 2, 2);(3)求矩陣的滿秩分解.解:(4)設(shè)矩陣,求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形及其行列式因子.解:(5)設(shè)是矩陣范數(shù),給定一個(gè)非零向量,定義 ,驗(yàn)證是向量范數(shù). 二、(10分)設(shè)中的線性變換在基下的矩陣表示為,(1)(5分)求的值域的維數(shù)及一組基; (2)(5分)求 的核的維數(shù)及一組基.解:(1)由題意知 T 1,2,3=線性變
2、換T的值域?yàn)門(V)= 所以A (V)的維數(shù)為2, 基為(2)矩陣A的核為AX=0的解空間。不難求得AX=0的基礎(chǔ)解系是2, -1, 1T, 因此的維數(shù)為1, 基為. 三、(8分)求矩陣的正交三角分解,其中是酉矩陣,是正線上三角矩陣.解: =四、(8分)設(shè),求矩陣范數(shù),.(這里).解:,(2分) ,(2分) (2分) , (2分) (2分)五、(共24分,每小題8分)證明題:(1)設(shè)是正定Hermite矩陣,是反Hermite矩陣,證明是可逆矩陣.(2)設(shè)是階正規(guī)矩陣,證明是Hermite矩陣的充要條件是的特征值為實(shí)數(shù).(3)若,證明為非奇異矩陣,且,這里是誘導(dǎo)范數(shù).六、(共20分,每小題5分)設(shè), (1) 求的Smith標(biāo)準(zhǔn)形(寫出具體步驟); (2) 求的初等因子、最小多項(xiàng)式及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形; (3) 求相似變換矩陣及其
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