用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器

1、 學(xué)生姓名專業(yè)班級 學(xué)院名稱題 目用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器課題性質(zhì)課題來源指導(dǎo)教師同組姓名主要內(nèi)容用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并分析濾波器傳輸函數(shù)的零極點；信號經(jīng)過該濾波器，其中300Hz，600Hz，濾波器的輸出是什么？用Matlab驗證你的結(jié)論并給出的圖形。任務(wù)要求1、掌握用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器的原理和設(shè)計方法。2、求出所

2、設(shè)計濾波器的Z變換。3、用MATLAB畫出幅頻特性圖。4、驗證所設(shè)計的濾波器。參考文獻1、程佩青著，數(shù)字信號處理教程，清華大學(xué)出版社，20012、Sanjit K. Mitra著，孫洪，余翔宇譯，數(shù)字信號處理實驗指導(dǎo)書（MATLAB版），電子工業(yè)出版社，2005年1月3、郭仕劍等，MATLAB 7.x數(shù)字信號處理，人民郵電出版社，2006年4、胡廣書，數(shù)字信號處理 理論算法與實現(xiàn)，清華大學(xué)出版社，2003年1需求分析： 用雙線性變換法設(shè)計原型低通為切比雪夫I型的數(shù)字IIR高通濾波器，要求通帶邊界頻率為500Hz，阻帶邊界頻率分別為400Hz，通帶最大衰減1dB，阻帶最小衰減40dB，抽樣頻率為

3、2000Hz，用MATLAB畫出幅頻特性，畫出并分析濾波器傳輸函數(shù)的零極點；信號經(jīng)過該濾波器，其中300Hz，600Hz，濾波器的輸出是什么？用Matlab驗證你的結(jié)論并給出的圖形。2 概要設(shè)計： 數(shù)字濾波器介紹數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置,其輸入、輸出均為數(shù)字信號,實質(zhì)上是一個由有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比,

4、數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關(guān))、穩(wěn)定性好(僅運行在0與l兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當(dāng)選擇，使得濾波后的滿足設(shè)計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限

5、持續(xù)時間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型來實現(xiàn)，其差分方程為： (1-1)系統(tǒng)函數(shù)為： （1-2）設(shè)計IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標(biāo)，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。IIR數(shù)字濾波器設(shè)計原理    IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 （1-3）假設(shè)MN，當(dāng)MN時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一個(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實際上是求解濾波器的系數(shù)和 ，它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則）去逼近

6、系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。設(shè)計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器通?？梢詺w納為如圖所示的兩種常用方法。雙線性變換頻率沖激響應(yīng)不變法模擬高通、帶通和帶阻數(shù)字原型低通模擬原型低通數(shù)字高通、帶通和帶阻沖激響應(yīng)不變法交換頻率模擬原型低通模擬高通、帶通和帶阻方法1方法2交換雙線性變換 圖1-1 數(shù)字濾波器設(shè)計的兩種方法 方法1： 首先設(shè)計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換成所需要的模擬高通、帶通或帶阻濾波器，最后再使用沖激不變法或雙線性變換成相應(yīng)的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法2 ：先設(shè)計一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應(yīng)不變法或

7、雙線性變換法將它轉(zhuǎn)換成數(shù)字原型低通濾波器，最后通過頻率變換把數(shù)字原型低通濾波器變換成所需要的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法一的缺點是，由于產(chǎn)生混疊是真，因此不能用沖激不變法來變換成高通或阻帶濾波器，故一般采用第二種方法進行設(shè)計。 本課程設(shè)計先構(gòu)造一個切比雪夫模擬低通濾波器，然后將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬帶通濾波器，最后利用雙線性變換將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器。切比雪夫濾波器 目的：構(gòu)造一個模擬低通濾波器。為了從模擬濾波器出發(fā)設(shè)計IIR數(shù)字濾波器，必須先設(shè)計一個滿足技術(shù)指標(biāo)的模擬濾波器，亦即要把數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的指標(biāo)，因此必須先設(shè)計對應(yīng)的模擬原型濾波器。模擬濾波器的理

8、論和設(shè)計方法己發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。這里介紹切比雪夫濾波器。切比雪夫濾波器特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止 處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式來逼近所希望的 。切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器

9、要小。切比雪夫濾波器的振幅平方函數(shù)為 (1-4)式中c為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關(guān)的參量，值越大通帶不動愈大。VN（x）是N階切比雪夫多項式，定義為 (1-5)切比雪夫濾波器的振幅平方特性如圖所示：N為偶數(shù)，cos2( )=1，得到min， （1-6）N為奇數(shù)，cos2( ，得到max， （1-7）圖1-2 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 有關(guān)參數(shù)的確定:  a、通帶截止頻率： 預(yù)先給定;  b、與通帶波紋有關(guān)的參數(shù),通帶波紋表示成 （1-8） 所以, ,     給定通帶波紋值 分貝數(shù)后，可求得 。   

10、、階數(shù)N:由阻帶的邊界條件確定。 、A2為事先給定的邊界條件,即在阻帶中的頻率點處 ,要求濾波器頻響衰減到1/A2以上。 (1-9) (1-10) (1-11) （1-12）    因此，要求阻帶邊界頻率處衰減越大，要求N也越大，參數(shù)N， 給定后，查閱有關(guān)模擬濾波器手冊，就可求得系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。雙線性變換法目的：將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通濾波器為了克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因為從S平面到平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上

11、。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如圖1-3圖1-3雙線性變換的映射關(guān)系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)（1-13）式中,T仍是采樣間隔。當(dāng)1由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式（1-9）寫成(1-14)將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得(1-15) 再將S1平面通過

12、以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：（1-16)（1-17)式（1-10）與式（1-11）是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換式（1-9）與式（1-10）的雙線性變換符合映射變換應(yīng)滿足的兩點要求。首先,把z=ej，可得（1-18）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（1-12），得因此（1-19）由此看出，當(dāng)<0時，|z|<1；當(dāng)>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z

13、平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應(yīng)關(guān)系。S平面整個j軸單值地對應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個關(guān)系如式（1-12）所示，重寫如下：（1-20）上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關(guān)系，如圖1-4所示。由圖1-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)進一步增加時，增長得越來越慢，最后當(dāng)時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而

14、混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖1-4雙線性變換法的頻率變換關(guān)系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（1-12）及圖1-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖1-5所示。圖1-5雙線性變換法幅度和

15、相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。數(shù)字濾波器設(shè)計實現(xiàn) 設(shè)計步驟根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設(shè)計一個IIR帶通濾波器，其中帶通的中心頻率為wp0=0.55，;通帶截止頻率wp1=0.45, wp2=0.65;通帶最大衰減Ap=1dB;阻帶最小衰減As=40dB;阻帶截止頻率ws2=0.75(1)確定性能指標(biāo)在設(shè)計帶通濾波器之前,首先根據(jù)工程

16、實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo): 通帶截止頻率wp1=0.45,wp2=0.65;阻帶截止頻率ws1=0.3，ws2=0.75；阻帶最小衰減As=40dB和通帶最大衰減Ap=1dB;中心頻率wp0=0.55。(2)頻率預(yù)畸變用=2/T*tan(w/2)對帶通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預(yù)畸變,得到帶通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp1,Wp2;阻帶截止頻率Ws1，Ws2的轉(zhuǎn)換。雙線性變換法一般T=2s。通帶截止頻率Wp1=(2/T)*tan(wp1/2)Wp2=(2/T)*tan(wp2/2)阻帶截止頻率Ws1=(2/T)*tan(ws1/2)Ws2=(2/T)*tan(

17、ws2/2)(3)模擬帶通性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通性能指標(biāo) BW=Wp2-Wp1； %帶通濾波器的通帶寬度 W0=Wp1*Wp2； WP=1； %歸一化處理 WS=WP*(W02-Ws12)/(Ws1*BW)；(4)模擬低通濾波器的構(gòu)造借助切比雪夫(Chebyshev)濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)。(5)模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器 調(diào)用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)化為模擬帶通濾波器。(6)模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。(7)輸入信號檢驗濾波器性能 輸入不同頻率的正弦波，觀察輸出波形，檢驗濾波器

18、性能。 程序流程圖開始讀入數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)將指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化模擬低通濾波器的指標(biāo)設(shè)計歸一化的模擬低通濾波器階數(shù)N和3db截止頻率模擬域頻率變換，將G(P)變換成模擬帶通濾波器H(s)用雙線性變換法將H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)輸入信號后顯示相關(guān)結(jié)果結(jié)束圖3-1程序流程圖3 運行環(huán)境Window xp4 開發(fā)工具和編程語言Matlab 6.55 詳細(xì)設(shè)計MATLAB程序clc;clear all;Fp=500;%通帶截止頻率Fs=400;%組帶截止頻率Ap=1;%通帶最大衰減As=40;%阻帶最小衰減Ft=2000;%抽樣頻率Wp=2*pi*Fp/Ft;Ws=2*pi*Fs/Ft;wp

19、=tan(Wp/2);ws=tan(Ws/2);ws1=1 %歸一化wp1=wp/ws%估計濾波器的階數(shù)N,Wn=cheb1ord(ws1,wp1,Ap,As,'s');%設(shè)計濾波器B,A=cheby1(N,1,Wn,'s');BT,AT=lp2hp(B,A,wp);num,den=bilinear(BT,AT,0.5)z,p,k=tf2zp(num,den)%顯示傳輸函數(shù)disp('分子系數(shù):');disp(num);disp('分母系數(shù):');disp(den);%計算增益響應(yīng)w = 0:pi/255:pi;h = freqz

20、(num,den,w);g = 20*log10(abs(h);%繪制增益響應(yīng)figure;plot(w/pi,g);grid;%繪制切比雪夫高通濾波器幅頻特性axis(0 1 -100 1);xlabel('omega/pi');ylabel('增益/dB');title('切比雪夫高通濾波器');figure;zplane(z,p); %繪制傳輸函數(shù)零極點title('傳輸函數(shù)的零極點');f1=300;f2=6000;t=0:0.0001:1x1=sin(2*pi*f1*t);x2=sin(2*pi*f2*t);x=x1+x

21、2;figure;subplot(2,2,1)%繪制x1的波形plot(x1);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x1(t)');title('x1的波形');subplot(2,2,2)%繪制x1的波形plot(x2);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x2(t)');title('x2的波形');subplot(2,2,3)%繪制輸入x的波形plot(x);grid on;axis(0,50*pi,-3,3);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('輸入信號x的波形')%X=fft(x);y=filter(num,den,x);%數(shù)字濾波器輸出subplot(2,2,4);%