第九篇 解析幾何 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、第8講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1考查圓錐曲線中的弦長問題、直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立、根與系數(shù)的關(guān)系、整體代入和設(shè)而不求的思想2高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運(yùn)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面把握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系會(huì)判斷已知直線與曲線的位置關(guān)系(或交點(diǎn)個(gè)數(shù))，會(huì)求直線與曲線相交的弦長、中點(diǎn)、最值、定值、點(diǎn)的軌跡、參數(shù)問題及相關(guān)的不等式與等式的證明問題基礎(chǔ)梳理1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程AxByC0(A、B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)0，

2、消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0.(1)當(dāng)a0時(shí)，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則0直線與圓錐曲線C相交；0直線與圓錐曲線C相切；0直線與圓錐曲線C無公共點(diǎn)(2)當(dāng)a0，b0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行2圓錐曲線的弦長(1)圓錐曲線的弦長直線與圓錐曲線相交有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這條直線上以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段叫做圓錐曲線的弦(就是連接圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所得的線段)，線段的長就是弦長(

3、2)圓錐曲線的弦長的計(jì)算設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|·|y1y2|.(拋物線的焦點(diǎn)弦長|AB|x1x2p，為弦AB所在直線的傾斜角)一種方法點(diǎn)差法：在求解圓錐曲線并且題目中交代直線與圓錐曲線相交和被截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，設(shè)出直線和圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓錐曲線的方程并作差，從而求出直線的斜率，然后利用中點(diǎn)求出直線方程“點(diǎn)差法”的常見題型有：求中點(diǎn)弦方程、求(過定點(diǎn)、平行弦)弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線問題必須提醒的是“點(diǎn)差法”具有不等價(jià)性，即要考慮判別式是否為正數(shù)一條規(guī)律“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)

4、系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()A相交 B相切C相離 D不確定解析直線ykxk1k(x1)1恒過定點(diǎn)(1,1)，而點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交答案A2(2012·泉州質(zhì)檢)“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析與漸近線平行的直線也與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)答案A3已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為()A3 B2 C2 D4解析根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為

5、1(b0)，則將xy4代入橢圓方程，得4(b21)y28b2yb412b20，橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，(8b2)24×4(b21)·(b412b2)0，即(b24)(b23)0，b23，長軸長為22.答案C4(2012·成都月考)已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，由題意知c3，a2b29，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：兩式作差得：，又AB的斜率是1，所以將4b25a2代入a

6、2b29得a24，b25，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.答案B5(2011·泉州模擬)ykx2與y28x有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值為_解析由得ky28y160，若k0，則y2；若k0，則0，即6464k0，解得k1.故k0或k1.答案0或1考向一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【例1】(2011·合肥模擬)設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A. B2,2C1,1 D4,4審題視點(diǎn) 設(shè)直線l的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，利用0解得解析由題意得Q(2,0)設(shè)l的方程為yk(x2)，代入y28x得k2x24(k22)x4

7、k20，當(dāng)k0時(shí)，直線l與拋物線恒有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，16(k22)216k40，即k21，1k1，且k0，綜上1k1.答案C 研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，但對于選擇題、填空題，常充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解【訓(xùn)練1】 若直線mxny4與O：x2y24沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A至多為1 B2 C1 D0解析由題意知：2，即2，點(diǎn)P(m，n)在橢圓1的內(nèi)部，故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè)答案B考向二弦長及中點(diǎn)弦問題【例2】若直線l與橢圓C：y21交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求AOB

8、面積的最大值審題視點(diǎn) 聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系后代入弦長公式，利用基本不等式求出弦長的最大值即可解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|；(2)當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxm.由已知，得，即m2(k21)把ykxm代入橢圓方程，整理，得(3k21)x26kmx3m230.x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)·3.當(dāng)k0時(shí)，上式334，當(dāng)且僅當(dāng)9k2，即k±時(shí)等號(hào)成立此時(shí)|AB|2；當(dāng)k0時(shí)，|AB|，綜上所述|AB|max2.當(dāng)|AB|最大時(shí)，AOB面積取最大值Smax×|AB|m

9、ax×. 當(dāng)直線(斜率為k)與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，則|AB|·|x1x2| |y1y2|，而|x1x2|，可根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后再進(jìn)行整體代入求解【訓(xùn)練2】 橢圓ax2by21與直線xy10相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程解法一設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，koc，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|x2x1|2，其中x1、

10、x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故24·4，將ba代入得a，b.所求橢圓的方程是1.法二由得(ab)x22bxb10.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|·.|AB|2，1.設(shè)C(x，y)，則x，y1x，OC的斜率為，.代入，得a，b.橢圓方程為y21.考向三圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問題【例3】(2011·湘潭模擬)已知橢圓y21的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求過點(diǎn)O、F，并且與直線l：x2相切的圓的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍審題視點(diǎn) (1)

11、求出圓心和半徑，得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線AB的點(diǎn)斜式方程，由已知得出線段AB的垂直平分線方程，利用求值域的方法求解解(1)a22，b21，c1，F(xiàn)(1,0)，圓過點(diǎn)O，F(xiàn)，圓心M在直線x上設(shè)M，則圓半徑r，由|OM|r，得 ，解得t±，所求圓的方程為2(y±)2.(2)設(shè)直線AB的方程為yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F且不垂直于x軸，方程有兩個(gè)不等實(shí)根如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分線NG的方程為yy0

12、(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型【訓(xùn)練3】 (2012·金華模擬)已知過點(diǎn)A(4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x22py(p0)相交于B、C兩點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，4.(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍解(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l

13、的斜率是時(shí)，l的方程為y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，又4，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得拋物線G的方程為x24y.(2)設(shè)l：yk(x4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由得x24kx16k0，x02k，y0k(x04)2k24k.線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，對于方程，由16k264k0得k0或k4.b(2，)考向四定值(定點(diǎn))問題【例4】(2011·四川)橢圓有兩頂點(diǎn)A(1,0)、B(1,0)，過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P.直

14、線AC與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)當(dāng)|CD|時(shí)，求直線l的方程(2)當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí)，求證：O·O為定值審題視點(diǎn) (1)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式可求出斜率從而求出直線方程；(2)關(guān)鍵是求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及其與P點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，從而證得·為定值證明過程中要充分利用已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化(1)解因橢圓焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由已知得b1，c1，所以a，橢圓方程為x21.直線l垂直于x軸時(shí)與題意不符設(shè)直線l的方程為ykx1，將其代入橢圓方程化簡得(k22)x22kx10. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1x2，x1

15、3;x2，|CD|·.由已知得，解得k±.所以直線l的方程為yx1或yx1.(2)證明直線l與x軸垂直時(shí)與題意不符設(shè)直線l的方程為ykx1(k0且k±1)，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1·x2，直線AC的方程為y(x1)，直線BD的方程為y(x1)，將兩直線方程聯(lián)立，消去y得.因?yàn)?x1，x21，所以與異號(hào)2·2.又y1y2k2x1x2k(x1x2)1·，與y1y2異號(hào)，與同號(hào)，解得xk.因此Q點(diǎn)坐標(biāo)為(k，y0)O·O·1.故O·O為定值 解決圓錐曲線中的

16、定值問題的基本思路很明確：即定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積等，其不受變化的量所影響的一個(gè)值即為定值，化解這類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量，解題過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計(jì)算要準(zhǔn)確【訓(xùn)練4】 (2011·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：y21.如圖所示，斜率為k(k0)且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x3于點(diǎn)D(3，m)(1)求m2k2的最小值；(2)若|OG|2|OD|·

17、|OE|，求證：直線l過定點(diǎn)(1)解設(shè)直線l的方程為ykxt(k0)，由題意，t0.由方程組得(3k21)x26ktx3t230.由題意0，所以3k21t2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，所以y1y2.由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此xE，yE，此時(shí)kOE.所以O(shè)E所在直線方程為yx，又由題設(shè)知D(3，m)，令x3，得m，即mk1，所以m2k22mk2，當(dāng)且僅當(dāng)mk1時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)由0得0t2，因此當(dāng)mk1且0t2時(shí)，m2k2取最小值2.(2)證明由(1)知OD所在直線的方程為yx，將其代入橢圓C的方程，并由k0，解得G.又E，D，由距離公式及t0得|OG

18、|222，|OD| ，|OE| ，由|OG|2|OD|·|OE|得tk，因此直線l的方程為yk(x1)，所以直線l恒過定點(diǎn)(1,0)規(guī)范解答17怎樣求解析幾何中的探索性問題【問題研究】 解析幾何中探索性問題的結(jié)論往往不明確，需要根據(jù)已知條件通過推理論證或是計(jì)算對結(jié)論作出明確的肯定或是否定，因此解決起來具有較大的難度【解決方案】 明確這類問題的解題思想：即假設(shè)其結(jié)論成立、存在等，在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果得到了一個(gè)合情合理的推理結(jié)果，就肯定假設(shè)，對問題作出正面回答，如果得到一個(gè)矛盾的結(jié)果，就否定假設(shè)，對問題作出反面回答【示例】(本題滿分12分)(2011·遼寧)如圖，已知

19、橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e.直線lMN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.(1)設(shè)e，求|BC|與|AD|的比值；(2)當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由 第(1)問，設(shè)C1的方程，C2的方程同樣由C1的系數(shù)a，b來表示，再分別求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而可求|BC|AD|；第(2)問利用kBOkAN，得t與e、a的關(guān)系式，再由|t|a，求e的范圍解答示范 (1)因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)C1：1，C2：1，(ab0)設(shè)直線l：xt(|t|a)，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得A(t，)，B.(4分)當(dāng)e時(shí)，ba，分別用yA，yB表示A，B的縱坐標(biāo)，可知|BC|AD|.(6分)(2)t0時(shí)的l不符合題意t0時(shí)，BOAN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即，(8分)解得t·