幾何證明的好方法

1、幾何證明的好方法一一截長(zhǎng)補(bǔ)短有一類兒何題其命題主要是證明三條線段長(zhǎng)度的“和”或“差”及其比例關(guān)系。這-類題目一般可以采取“截氏”或“補(bǔ)短”的方法來(lái)進(jìn)行求解。所謂“截 長(zhǎng)”，就是將三者屮最長(zhǎng)的那條線段分為二，使其中的條線段與已知線段相等，然后證明其中的另-段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短” ，就是將 一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等。 然后求出延長(zhǎng)后 的線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的 三角形進(jìn)行求解。截K法：(1) 過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線(2) 在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法(1) 延長(zhǎng)短

2、邊。(2) 通過(guò)旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。兒種截長(zhǎng)補(bǔ)短解題法類型我們大致可把截長(zhǎng)補(bǔ)短分為下面兒種類型；類型a±b=ca±b=kc類型a±b類型cc2=a b對(duì)于類型,可采取直接截氏或補(bǔ)短，繞后進(jìn)行證明。或者化為類型證明。對(duì)于，可以將a±b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，然后證明這個(gè)三角形為特殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個(gè)角為30°的直角三角形等。對(duì)于類型，般將截長(zhǎng)或補(bǔ)短后的 a±b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，與類 型相同。實(shí)際上是求類型中的k值。c b對(duì)于類型，將c2=ab化為一二的形式，然后通過(guò)相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)a c行

3、證明。在證明相似三角形的過(guò)程中，可能會(huì)用到截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方法。例:BA在正方形ABCD中，DE二DF, DG CE,交CA于G, GH AF,交AD于P,交CE延長(zhǎng)線于H,請(qǐng)問(wèn)三條粗線DG. GH, CH的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）BA方法二（好證不好想）BM A例題不詳解。（第2頁(yè)題目答案見(jiàn)第 3、4頁(yè)）（1）正方形ABCD中,點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上,EAF=45° o求證：EF=DE+BF（變形a正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，EAF=45° .請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、DE、BF又冇什么數(shù)量關(guān)系EAF=45°。正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延

4、長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上,請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、DE、BF 乂有什么數(shù)量關(guān)系(變形cBDC=120° » 請(qǐng)正三角形ABC中，E在AB丄，F(xiàn)在AC丄EDF=45。DB=DC問(wèn)現(xiàn)在EF、BE、CF又冇什么數(shù)量關(guān)系(1)變形d正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 在 CD 上，點(diǎn) F 在 BC 上， EAD=15° ,FAB=30° o AD= 3求AEF的面積(1)解:(簡(jiǎn)單思路)延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使得DG=BF,連接AG。山四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=90°AD=AB乂 DG=BF所以 ADG ABF (SAS)GAD= FABAG=AF山四邊形

5、ABCD是正方形得DAB=90° = DAF+ FAB=DAF+ GAD= GAF所以 GAE= GAF- EAF=90° -45 0 =45°GAE= FAE=45乂 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF (SAS)EF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡(jiǎn)單思路）BEF= BF-DE在BC上截取BG,使得BG=DF,連接AGo山四邊形ABCD是正方形得ADE= ABG=90°AD=AB乂 DE=BG所以 ADE ABG (SAS)EAD= GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90° = DAG+ GAB=DAG+ E

6、AD= GAE所以 GAF= GAE- EAF=90° -45 o =45°GAF= EAF=45°乂 AG=AEAF=AF所以 EAF GAF (SAS)EF=GF=BF-BG=BF-DE變形b解：（簡(jiǎn)單思路）EF=DE-BF在DC上截取DG,使得DG=BF,連接AGo III四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=90°AD=AB乂 DG=BF所以 ADG ABF (SAS)GAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90° = DAG+ GAB=BAF+ GAB= GAF所以 GAE= GAF EAF=90°

7、-45 0 =45°GAE= FAE=45又 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF (SAS)EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡(jiǎn)單思路）EF二BE+FC延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G使得CG二BE,連接DG°III ABC是正三角形得ABC= ACB=60°乂 DB二DC, BDC=120°所以 DBC= DCB=30°DBE= ABC+ DBC=60° +30° =90°ACD= ACB+ DCB=60° +30 ° =90°所以 GCD=180° ACD=90°

8、;DBE= DCG=90°又 DB二DC, BE=CG所以 DBE DCG (SAS)EDB= GDCDE=DG乂 DBC=120°= EDB+ EDC = GDC+ EDC= EDG 所以 GDF= EDG- EDF =120° -60° =60°GDF= EDF=60°乂 DG=DEDF=DF所以 GDF EDF (SAS)ef=gf=cg+fc=be+fc變形d解：（簡(jiǎn)單思路）E延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使得DG=BF,連接AG。過(guò)E作EH AG.前面如(1)所證，ADG ABF, EAG EAFGAD= FAB=30° , S

9、 EAG=S EAF在 Rt ADG 中，GAD=30° , AD二、百AGD=60° , AG=2設(shè) EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中DHG=£x, AH=x3勺AG=2=HG+AHZx+x.EH=x=3；33S EAF=S EAG=EH AG 2=3、3.（第5頁(yè)題目答案見(jiàn)第 6頁(yè)）(2)正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于0,點(diǎn)E在BD上，AE平分DAC.求證：AC/2=AD-E0(2)加強(qiáng)版正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延長(zhǎng)線上，CM二AN,點(diǎn)E在BD上.NE平分DNMo請(qǐng)問(wèn)MN. AD. EF有什么數(shù)最關(guān)系(2)解:(簡(jiǎn)單思路)B過(guò)E作

10、EG AD于G因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形ADC=90° ,BD 平分 ADC, AC BD所以 ADB=ADC/2=45°因?yàn)锳E平分DAC, EO AC, EG AD所以 EAO=EAG,DGE= AOE= AGE=90° 乂 AE二AE,所以 AEO AEG (AAS)所以 AG二AO, EO=EG乂 ADB=45° ,DGE=90°所以DGE為等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD 七 O 二 AG 二 AO 二 AC/2(2)加強(qiáng)版解：(簡(jiǎn)單思路)MN/2=AD-EF過(guò)E作EG AD于G,作EQ AB于Q,過(guò)B做BP MN于P按

11、照(2)的解法，可求證，GNE FNE ( AAS)DGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為止方形，ABC= GAQ= BCM=90°BD 平分 ABC, BC=BAABD= ABC/2=45° ,又 EQB=90°EQB為等腰Rt三角形， BEQ=45° 因?yàn)?GAQ= EGA= EQA=90°所以四邊形AGEQ為矩形,AH=ZZHM=ACDZDBH【例1】BC AC BC ACre=PMGCA-CC9PZPBC=A=ZZZQAPPAC ZHAG ZUZZBDH=ZZAPCMBAB=BCEQ=AG=AD-EFE

12、Q77 ABACBCCPCPBC AC PCPC可廣？ ？777777 9PC CB CAPC ?9 2 PA PB PC PC? ?Gtmu err*CA? MN NC MN NCBP BPAN MN AN 尸NVoM 2 CM2 子竺DC嚴(yán)fCD CDDC DC DC2?AC工-BC些JPCCB CA CB cacb?BCCD CD2 2 2MD2 MC2MAgMBmdmc2t"2MAgMBMC (MD MC) 2MAg 2MBMA gMB MA gMB MAgMBABC. ACBBDCEO BECDBCM ABD ABBDM MN BC CE AE BC CE 求證，BE+DF=AE.MD-2ML ABC MAgMBDMN 60 MN ZDBA NA 60° BD CE【例 2】 五邊形 ABODE 中.AB=AE. BC+DE二CD. Z ABC+ZAED=180求證：AD 平分 Z CDE【例3】如圖所示，ABC是邊氏為1的正三仰形.BDC是頂角為120的等腰三用形.D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的MDN 點(diǎn)M、N分別在AB . AC ±求 AMN的周長(zhǎng).板塊二.全等與角度【例7】如圖.在 中.，是的平分線，且，求ABCABC BAC 60 AD BACAC AB BD的度數(shù)由已知條件可以想到將折線AB