運用導數解決含參函數問題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第 5卷(2011年)中 學 課 程 輔 導 ·教 學 研 究Vol 5 (2011)第 2期第 145146頁Secondary SchoolCurriculum Coaching·Teaching ResearchNo2 P145-P146運用導數解決含爹函數問題廖助會摘要：導數不僅是高中數學的重要內容之一，也是高考的考查重點。本文從五個方面對含參函數問題進行了分析與研究，著重介紹利用導數解決這些問題的相應方法，以期對學生的備考有所幫助。關鍵詞：高考；導數；含參函數中圖分類號：G6336文獻標識碼：A文章編號：19927711(2011)02-

2、0145-02專心-專注-專業(yè)運用導數解決含參函數問題既是高中教學的重點和難點，又是歷年高考的熱點。這類問題既能全面地考查學生對導數及其運算的運用能力，又能綜合地考查學生對函數與方程思想、分類與化歸思想、構造思想、數形結合思想、等價變換思想等以及綜合運用知識解決新情境、新問題的能力。這既體現了新的課程理念，又強調了數學的實際應用，有利于考查學生的實踐能力。由于含參函數問題本身具有復雜性，大多數學生在解決這類問題時往往感到束手無策。本文結合近幾年高考試題中出現的“含參 函數”問題 。從“已知函數的切線，利用導數求出參數的值”、“已知 函數的單調性，利用導數求出參數范圍”、“已知函數的最值，利用導

3、數求出參數范圍”、“已知函數的極值，利用導數求出參數范圍”及 “利用導數解決含參函數中的恒成立問題 ”五個方面對高考中出現的含參函數問題進行分析與研究著重介紹利用導數解決這些問題的相應方法。以期對學生的備考有所幫助。一、 已知函數的切線，利用導數求出參數的值已知函數的切線方程或切線斜率，可利用導數的方法求出切點坐標或求出曲線中的有關參數進而可以研究曲線的其他性質。例 1(2009年高考全國理科卷 I)已知直線 y=x+l 與曲線 y=ln(+口)相切，則 a的值為 ( )。A1B2C一lD一2解：設切點 P(xo'Yo)，則 yo=xo+1=In(xo+a)，· =·

4、;=，得 o+a=l。o oyo=OXo=一1 a=2兩者的區(qū)別：設函數 y=廠()在某個區(qū)間內可導，若f )>o(廠( )<0)，則f(x)為增函數 (減函數)；反過來，若f(x)為增函數 (減函數 )，1f ( )I>0(廠( )0)。例 2(2010年高考江西文科卷 )設函數廠( )=6x+3(a+2)x2+2ax。(1)若f(x)的兩個極值點為 ， ，且 XlX：=1，求實數a的值：(2)是否存在實數 0，使得廠( )是 (一，+o。)上的單調函數?若存在，求出 a的值；若不存在，說明理由。解：廠(x)=18xZ+6(a+2)x+2a(1)由題意可知 ， ：，為f (

5、 )=0的兩根，從而2= l，得o=9；(2)因為 =36(0+2)4x18x2a=36(a2+4)>O所以不存在實數 o使得 f(x)是 R上的單調函數。評注：若函數f(x)在區(qū)間(a，b)上是單調函數，則在區(qū)間(a，b)內導函數廠 ( )0或 廠( )0恒成立。三、已知函數的最值，利用導數求出參數范圍函數的最值是指函數在某個區(qū)間上的最大(小)值。導數的引入拓展了高考數學命題的范圍，擺脫了對二次函數的依賴，借助導數求高次函數、指數函數、對數函數、三角函數等的最值。在解決這類問題時，經常用到分類討論、等價轉化及數形結合等數學思想，根據所給條件建立有關參數的關系從而求得參數的取值范圍。例

6、3(2010年高考江西理科卷)設函數 f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>O)，若廠()在(0，1】上的最大值為 1，求 a的值。故答案選 B評注：本題根據導數的幾何意義：函數在某點處的導數就是函數在該點處的切線的斜率，列出方程求得切點坐標，進而求出參數的值。二、已知函數的單調性。利用導數求出參數范圍在給定的條件下，函數 y=f(x)可能是單調的(增函數或減函數 )，也可能不單調，要根據具體問題進行探究，判斷出導函數f ( )的符號，列出方程或不等式求出參數的值或參數的取值范圍。在利用導數解決函數的單調性問題時，要注意以下解：由題意可得 ()=÷一 協 碧+n，當 (0

7、，1】，f ( )>0，即，( )在區(qū)間(o，1】上是單調遞增函數：故)在區(qū)間(0，1上的最大值為廠(1)= 1，即 a=l。評注：本題通過導數得到函數f(x)的單調性，結合區(qū)間(0，1】的端點得到函數f(x)的最大值，從而確定參數作者簡介：廖助會，任教于云南騰沖縣第一中學。圖l廖助會運用導數解決含參函數問題a的值。四、已知函數的極值，利用導數求出參數范圍在解決這類問題時，將問題轉化為研究函數的單調性，而函數的單調性問題又常常轉化為含有參數的一元二次不等式問題，從而達到考查函數與方程、分類與化歸、數形結合的數學思想。例 4(2010年高考全國文科卷 I)已知函數f(x)= 3_3戳2+3

8、x+1，且 )在區(qū)間(2，3)中至少有一個極值點，求 a的取值范圍解：由題意可得：廠( =3xz-6ax+3，則 =(一6a)一4x 33=36(a2_1)當 A0即一1n1時 ，廠( )>t0，廠( )為增函數，故廠( )無極值點；當 A>0即 <一1或 a>l時f( )=0有兩個根 l=一x-dq ， 葉、 一1由題意知，2<a一、 丁 <3 或 2<a+、 丁 <3 式無解，式解得要< 妻+j因此n的取值范圍是寺，昔J。評注：本題主要利用導數研究函數的單調性與極值問題，同時貫穿了函數與方程思想、數形結合思想、分類與化歸思想。例5(20

9、10年高考北京文科卷)設定函數 )號x3+bx+cx+d(a>O)，且方程 ( )一9x=0的兩個根分別為1，4o若廠( )在(一。，+oo)內無極值點，求 a的取值范圍。解：由)： x3+bxcx+d得f (x)=ax2+2bx+c因為廠()一9x=ax2+2bx+c一 =0的兩個根分別為 l、4， 一,fa+2b+c 9= OIl6n+86+c 36：0得 26=95n，c=4a由于 a>O，所 以 )=a +bx+cx+d在 (一o。，+。)內無極值點”等價于廠(x)=axZ+2bx+c>10在 (一，+ )內恒成立”所以 2b)2-4ac：9(1)(9)0得aEfl，

10、9】因此 a的取值范圍是1，91。評注：若可導函數)在區(qū)間(o，b)內無極值點，則在區(qū)間(a，b)內導函數f ( )0或 廠( )0恒成立。五、利用導數解決含參函數中的恒成立問題含參數的函數恒成立問題是高考熱點題型之一，這類問題往往涉及面廣，題目難度大綜合性強，解決此類問題所需的數學思想、方法較多。通過下面的例題介紹幾種解決含參函數恒成立問題的方法。例 6(2010年高考遼寧理科卷)已知函數)=(口+1)l礎+ 2+1(a<-I)，如果對任意 l， (0，+。)， 1) (2)f>4Il，求a的取值范尉。解：由題意得： )的定義域為(0，+)，··f()：+2似

11、：2axa+10 廠( )在(0，+ )內為減函數。設任意 X1，2(0，+)，且 l 2，則-廠(1) 2) LfCx1)，(2)I>14Il2I 2)f(xI)4(lz2)即f(x2)+缸2廠(1)+缸l 令 g(x)-fx)+4x，貝0g，( )-f，( )+4：± +2(+4：2ax2+4x+a+l由可知 g( )在 (0，+)內為減函數，所以)：2oxZ+4x+a+l< 0，從而 。=一2故 a的取值范圍為(一o。，一21。評注：本題利用導數解決含參函數中的恒成立問題。其中采用了等價轉化法、構造法與分離變量法。先通過導數得出函數f(x)的單調性，把恒成立問題轉化

12、成變量的關系式，并運用構造法構造出新函數 g(x)；再從 g ( ) = 2ax 4x+a+l0中把所求參數 分離出來 從而使所，求參數。的取值范圍轉化成求 =二一2紅+ JZ 。+ l(0 <+)的最小值。本文借助導數這一數學工具，通過利用導數研究函數的單調性、最值、極值，把歷年高考巾出現的含參函數問題分成五類進行分析，根據函數與方程思想、數形結合思想、分類與化歸思想、等價轉化思想等，得出解決含參函數問題的幾種方法，如數形結合法、構造法、分類討論法、變量分離法等。當然，運用導數解決含參函數問題的方法還有很多，參數問題形式多樣，方法靈活多變，對某些含參函數的問題，不一定用某種方法，而是幾

13、種方法的融合。參考文獻：1】曾安雄巧用導數 “導”出參數【J高中數學教與學，2010(6)2梁小金運用導數解決含參函數問題的策略J】高中數學教與學，2010(7)(作者單位：云南騰沖縣第一中學 )Applying DiferentialCoeficientto SolveFunction Containing ParameterLIAO ZhuhuiAbstract：Differentials coeficient is not nly one of important contents in senior high schoolmathematics teaching butalso the testing point in NMTThispaper analyzes and studies function containing parameterfromivef aspects，mai