借圖形之力促概念建立

1、借圖形之力，促概念建立百分數(shù)的認識教學案例研究【研究背景】數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學，數(shù)和形的關系非常密切。把數(shù)和形結 合起來,能夠使抽象的數(shù)學知識形象化，形象的圖形數(shù)學化。用數(shù)形結合思想幫助理解算理、 數(shù)量關系，早已在數(shù)學教學中充分重視、應用，并效果不菲。百分數(shù)的認識是人教版六 年級上冊第六單元的第一課時，是小學階段百分數(shù)學習的起始，是拓展學生“數(shù)”的知識的 重要一課。如何轉變傳統(tǒng)單一的概念建構模式，運用數(shù)形結合的方法，有效促進學生對百分 數(shù)概念的深刻理解和建構呢？我們以“借形助數(shù)”為切入口，進行了麿課研究。授課老師是 有十幾年教齡的許老師。第一次試教過程：材料太少一一感悟欠深（片斷

2、一：百分數(shù)的引入）1圖1出示3名籃球隊員的投籃成績。（圖1）投中個數(shù)投籃總個數(shù)1號5202號7253號1150師：這是三位隊員的投籃成績，從數(shù)學的角度看，你認為誰投籃最準？2、接著教師引導得出應該先求出投中個數(shù)占投籃總數(shù)的幾分之幾，適時出示圖2投中個數(shù)投籃總個數(shù)投中個數(shù)占投籃總數(shù)的幾分之幾投中個數(shù)占投籃總數(shù)的百分之幾1號5205/2025%2號7257/2528%3號115011/5022%（圖2）師：這里的分數(shù)和百分數(shù)，哪一個能更清晰地看出2號隊員投籃最準？為什么？師小結：百分數(shù)比一般的分數(shù)更便于比較。（片斷二：百分數(shù)的意義教學）1、請學生說說命中率28%勺意義。2、PPT出示82頁情境圖中

3、的百分數(shù)。師：這里有許多不同的百分數(shù)，請同學們選擇一個自己喜歡的，向大家介紹這個百分數(shù)的意義生答，師引導概括為： 命中率28%： （投中個數(shù)）是（投 籃 總數(shù)）的28%。 電腦軟件安裝14%： （已安裝的）是（總數(shù)）的14%。 車輛銷售比去年同期增長120%： （增長的數(shù)量）是（去年同期）的120%。引導小結：百分數(shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾，百分數(shù)也叫百分率或百分比3、練習辨析，小結?！狙芯空邔Φ谝惠唽嵺`的評價】（1）百分數(shù)的學習是學生對“數(shù)”學習的拓展。為什么要學習百分數(shù)，是“概念為本”教 學的核心。教學中，能突出概念學習的核心，創(chuàng)設“三個學生投籃研究命中率”的問題情境 導入百分數(shù)的學

4、習，既符合學生實際，也符合概念為本教學的要求，是必要且有效的。（2）引入部分用“圖表”的形式讓學生比較3個隊員誰投籃最準，形式簡練、清晰，易于 學生比較、感受。但三個人物的材料太少，在感受百分數(shù)的優(yōu)越上還不夠突出。（3）探究百分數(shù)意義部分的學習材料來源于課本，形式上也作了引導鋪墊，可以說，重 難點是突出的。但是，這樣照本宣科的處理，并沒有引導學生真正理解百分數(shù)的意義。尤其 是“車輛銷售比去年同期增長120%”這個百分數(shù)的理解就更加困難，許多學生并不能真正理 解，對百分數(shù)意義的感悟不夠深刻?！静扇〔呗浴?新課標指出：教師是學生數(shù)學活動的組織者、引導者與合作者。教師要積極利 用各種教學資源，創(chuàng)造性

5、地使用教材，提供豐富而典型的學習材料。經過老師們的討論和研 究，我們達成了共識：教材是教學的依據(jù)，教材提供的情境、材料是有限的。在實際教學中， 我們應根據(jù)學生實際，靈活、創(chuàng)造性地補充、豐富學習材料。因為，學生形成抽象的數(shù)學概 念，總是從對具體的學習材料進行充分感知開始的?；谶@個理解，許老師開始了第二次實踐：第二次實踐過程：只重形態(tài)理解不透（片斷一：百分數(shù)引入）1、如前所示出示圖1，討論三個隊員的投籃情況，引出分數(shù)、百分數(shù)。2、師：?；@球隊共有10名隊員。這是10名隊員的投籃成績。多媒體表格的方式補充出示共10個隊員的投籃成績。（圖3）隊員投中個數(shù)投籃總數(shù)投中個數(shù)占投籃總數(shù)的幾分之幾投中個數(shù)占

6、投籃總數(shù) 的百分之幾（命中率）1號5202號7253號11504號3105號5156號7287號10268號23509號114010號930師：這里有校籃球隊10個隊員的投籃成績，用分數(shù)你們能馬上判定誰的投籃最準？ 生：（安靜了好一會兒）太多了，不能馬上比出來，要通分。師（利用多媒體迅速把10個分數(shù)通分，呈現(xiàn)通分后的分數(shù)：10個分數(shù)的公分母特別大） 生：哇，分數(shù)這么大！還是不能一下子看清哪個分數(shù)最大。師：如果用百分數(shù)來比較呢？師適時把10個同學的投籃命中率用百分數(shù)呈現(xiàn)。師：現(xiàn)在你能告訴大家，誰的投籃最準？（片斷二）：（百分數(shù)的意義教學）1、 說說投籃命中率28% 25% 22%勺意義。引導小結

7、，命中率：（投中個數(shù)）是（投籃總數(shù)）的百分之幾。2、師：這樣的百分數(shù)教材中也舉了很多。請同學們在教材中選擇一個你喜歡的百分數(shù)， 向大家介紹這個百分數(shù)表示什么意思？理解“安裝完成了14%的意義、“車輛同期銷售增長120%這兩個百分數(shù)的意義。師引導小結，同樣板書成（）是（）的百分之幾的形式。3、生活中，像這樣的百分數(shù)非常多。請你舉一個你身邊的百分數(shù)，說一說它的意義。（老師擇機板書成（）是（）的百分之幾。）4、 師：黑板上有這么多各式各樣、大小不同的百分數(shù)，請大家思考：上面的這些百分 數(shù)，有哪些相同的地方？到底什么是百分數(shù)？引導出示百分數(shù)表示（一個數(shù)）是（另一個數(shù)）的百分之幾【第二次討論】研究組的老

8、師觀課后，一起坐了下來。第二次的教學實踐中， 對于感受百分數(shù)的優(yōu)越這一環(huán)， 老師們都反映： 運用多媒體的“圖 表”形式讓學生感受分數(shù)和百分數(shù)在比較上的不同，由于材料充分，學生已經很明顯地感受 到了百分數(shù)在比較上的優(yōu)越。這一點，是比較成功的。看來，形態(tài)上的“圖表”引用在讓學 生感受“為什么要學習百分數(shù)”上是有效的。可是，在理解概括百分數(shù)的意義這一環(huán)節(jié)中，雖然也列舉了不少生活中、數(shù)學書中不同 的百分數(shù)，并把它們具體的意義排列成了一排，從列舉的量上來說，應該是夠充分了。但是， 本次實踐中，學生對百分數(shù)意義的理解，依靠更多的是對情境圖中百分數(shù)的模仿遷移，或是 對老師引導時小心翼翼的揣測。對到底什么是百

9、分數(shù)？也就是百分數(shù)的本質意義到底是什么， 學生的認識理解不夠明晰和深刻。那么，針對我們的學生實際，怎樣的教學才能變抽象為形 象，變表面為深刻，讓學生真正理解百分數(shù)的本質意義呢？【第二次反思】 老師們的討論和學生的回答猶如利器劃過心田， 許老師限入了深深的思 考。是啊，老師們都知道，百分數(shù)的實質其實是一個數(shù)和另一個數(shù)比較的一種結果，是一種 用百分率（百分之幾）來反映的比較結果?？吹竭@個百分數(shù)，直接想到的是兩個量之間的一種 比率關系。而學生對于百分數(shù)的認識，難道更多的只停留在“有百分號”的認識上嗎？都說 概念課提供的例子一定要充分，難道這個充分僅僅是指量的增加嗎？在量變的基礎上如何實 現(xiàn)向質的轉變

10、，引導學生真正理解百分數(shù)本質意義？在此，需要一個把手可視、可思、可支 撐?！静扇〔呗浴?老師們重新對“借形助數(shù)”進行了思考與分析，認為：數(shù)形結合方法的實 質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“形”不僅僅是指材料呈現(xiàn)方式上的， 即形式上的形，當然還包括各類圖像、實物、幾何圖形等等。如果在百分數(shù)的本質理解中， 也有合適的“圖”來幫助學生理解“百分數(shù)是兩個量比較結果的一種比率關系” ，那么學生對 百分數(shù)意義的理解將會更加深刻。下面是許老師的第三次實踐。第三次實踐：片斷1：（導入教學不變）片段2：（百分數(shù)的意義教學）形數(shù)結合深刻建構師：同學們，通過剛才的比較，我們已經知道了2號隊員的命中率

11、最高：28%誰能向大 家具體地解釋一下，這個28%勺意思？生：28%表示2號隊員的投中個數(shù)是投籃總個數(shù)的28%師：如果他投籃的總個數(shù)是100個，那他投中的個數(shù)是？生齊：28個。師：我聽明白了。命中率28%是每投100個球，中28個。那如果共投200個球呢，中幾個？1000個球呢，他投中了幾個？你是怎么想的？如果投了50個球呢？如果投中了28個，總共投了幾個？師：同學們說得非常好。如果老師用這樣的100個方格來表示2號隊員的投籃總數(shù)，你覺得他投中的數(shù)量可以怎么表示？（師出示百格圖）生1:可以橫著涂滿28格。生2:豎著涂28格也可以。生3:橫著豎著都可以，無論怎么涂，只要涂上28格就行。（師用多媒

12、體依次展示了三種不同的涂色方法，每次都涂上28個。）小結：28%表示占了100格的28格，無論怎么涂，只要占了這樣的大小就行。師：如果老師用200個小方格表示投籃總數(shù)，那么他投中的個數(shù)可以怎么表示？（師多媒體演示200格里面涂上56格）師：你還有其它的涂法嗎？（再演示第二種不同的涂法）師多媒體一起出示百格圖中的28格、200格圖中的56格、50格圖中的14格 師：請同學們觀察這三幅圖中的28%你有什么發(fā)現(xiàn)？生1:好象是一樣的。生2:涂著色的大小是一樣的。生3:總的格子雖然不同，圖中的格子數(shù)也不同，但是，從前面看，每幅圖中涂色的大小是一樣的。師：是呀，總格數(shù)和涂色的方格都不同，但是，28%所占的

13、大小是一樣的。師：繼續(xù)演示：如果用這樣的10個方格表示投籃的總數(shù)，投中的個數(shù)大約是多少?生答：大約是2個多，3個不到，準確地說是2.8個師繼續(xù)圖示：如果把這10格翻轉，縮減成這樣的一條線段表示投籃的總個數(shù)，2號隊員投中的個數(shù)大概是多少？請你比劃比劃。1-總生答略。師利用多媒體課件把100格圖、200格圖、50格圖、10格圖、線段圖放在一起，引導學 生分析感受：這些圖例都可以用28%表示。從而引導小結：命中率28%是 （投中個數(shù)）和（投 籃總數(shù)）比較的一種結果，表示（投中個數(shù)）占（投籃總數(shù)）的28%反映的是這兩個量之 間的一種比率關系。如此，在上述的問題情境中，以“問題”為導向，借助直觀的格子圖

14、、線段圖，通過不斷 的層層追問，進一步深化了學生對百分數(shù)意義的認識。在這個過程中，因為有了形象的“圖” 作為支撐，再通過不斷的追問引導，學生在思維上、情感上經歷了模糊、若有所思、茅塞頓 開、悠然心會的過程，對百分數(shù)的意義和性質都有了更深切的體會。而后，教師再引導學生交流了許多生活中常見的百分數(shù)素材（如：班級男女生人數(shù)百分比、 校園綠化覆蓋率、電腦下載率等等引導抽象出百分數(shù)的意義）【課后收獲】第三次實踐得到了專家朱樂平老師的肯定與指導。他認為，借形思數(shù)是一 種有效地建構數(shù)學概念的好辦法。特別是在“百分數(shù)的認識”中，能想到用格子圖、線段圖 幫助學生深刻理解百分數(shù)的本質意義更是一次有意義的嘗試，在其

15、它的概念教學中，我們也 可以引薦。是的，“數(shù)形結合”，不僅僅是指形態(tài)上的巧妙遷移，更重要的，是要將抽象的數(shù) 學概念和形象的實物、圖形、線段結合起來，變抽象為直觀，把抽象的數(shù)學概念直觀化，同 時，又將形的變化慢慢地抽象成數(shù)學符號，從而完成了抽象一一形象一一抽象的數(shù)學化過程 看來，用圖形這根“拐杖”幫助學生理解抽象的百分數(shù)意義是有效且可行的?！狙芯繂⑹尽慷鞲袼拐f過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學?！睌?shù)形結合就是根 據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量 關系的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找 解題思

16、路，使問題化難為易，化繁為簡。華羅庚先生也說：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入 微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)學概念教學中，如何運用數(shù)形結合的方法，促進 學生更深刻的建構概念、理解概念？通過本次的實踐研究，有幾點啟示：一、 “概念為本”教學的核心，是要有意義的建構概念。為什么要學習百分數(shù)？有了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、負數(shù)，為什么還要學習百分數(shù)，學習百 分數(shù)有什么意義？新課標指出：數(shù)學學習活動必須建立在學生的認識發(fā)展水平和已有的知識 經驗基礎之上。要關注學生的持續(xù)研究意識。所以，百分數(shù)意義的教學，從生活中導入，引 導學生探究學習百分數(shù)的必要性和意義，讓學生真切地感受到，百分數(shù)的學習是有意義的， 也

17、是必要的。同時，要重視提供生動有趣的、有意義的學習素材，向學生提供充足、豐富而 典型的感性材料，引導學生觀察比較，豐富自己的感性認識。二、形數(shù)結合，豐富形的內涵。數(shù)形結合方法的實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來。這里的“數(shù)”可以是 數(shù)學術語、數(shù)學符號、數(shù)學公式及用語言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指 幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料， 以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學信息的 方式等等。 在實際教學中， 以“形”助“數(shù)”，形數(shù)結合，要根據(jù)不同的學習內容，不同的 學生，因地制宜。形態(tài)上的比較，實物的演示操作，線段、圖形的觀察分析研究，都可以成 為幫助學生理解數(shù)學概念的拐杖。三、及時“數(shù)學化”，完整學生概念的建構。借圖形之力，促概念建立。說到底，構建概念是目的，圖形只是手段。在引導學生對形 進行觀察比較的同時，要適時引導學生對形進行分析、思考、概括，從而合理地“數(shù)學化”。如第三次實踐中，老師在引導學生比較百格圖、20